光學系統下的單透鏡圖像修復方法研究

李 剛

山東農業工程學院，山東 濟南 250000

0 引言

隨著科學技術的不斷發展，我國對分辨率圖像的要求越來越高。由于單透鏡光學成像比較昂貴，在使用過程中，對于其質量要求有明確的嚴格限制，光學系統下圖像修復成為制約我國技術發展的重要因素。只有對單透鏡圖像修復方法展開更加深入的研究分析，才能不斷促進我國單透鏡圖像修復技術的應用發展。

1 單透鏡光學系統成像原理

光學單透鏡系統是由一塊光學玻璃組成的光學系統，這種透鏡類型不同于黏著透鏡。單透鏡的兩個表面形狀不同，可以將單透鏡分為凸透鏡、凹透鏡、雙凸透鏡、雙凹透鏡等。單透鏡的球差可以用自由表面消除，但彗差等其他像差會被放大[1-2]。

單面凸透鏡可以聚焦圖像，如圖1所示。如果平行光通過一個透鏡，由于透鏡材料的不同，折射面兩側的折射率不同，導致光線被轉移。通過改變反射鏡的曲率，不同波段的光可以匯聚到一個地方。然而，由于像差的存在，單個透鏡無法在一點上完全收斂所有平行線，從而導致模糊。

圖1 單面凸透鏡對平行光線匯聚成像示意圖

在光學系統下，其傳輸順序是按照從一個表面到下一個表面的方式進行的。不同表面之間的變形導致光的變形。因此，整個光學系統的光程計算是基于每個折射面的光束計算的。

2 單透鏡光學系統點擴散函數仿真

2.1 光學系統的點擴散函數

描述圖像降質過程的數學模型如式（1）所示：

從式（1）可以看出，光學像差對圖像質量的影響可以用點定價函數來表示，在通過光系統的每個點生成的光束經過之后，當能夠準確描述光學系統的點擴散函數時，可以較好地解決光學系統的圖像退化問題。

2.2 點擴散函數空變仿真

光學系統下的圖像處理常常采用點擴散函數空變仿真的方式進行，大多數都是空間不變，模糊圖像的每個部分都具有函數。對單個透鏡進行檢驗，發現單個透鏡的像差嚴重，光斑隨空間的變化明顯，使單個透鏡的點擴散函數不被視為空間變量即可。為了更好地描述單透鏡圖像質量的惡化，需要提取不同視場下的點擴散函數，這將有助于下一步的復原算法研究。

3 圖像復原問題的數學模型

3.1 降質圖像退化過程

從數學角度看，圖像退化結果可以表示為原始高質量圖像與點擴散函數的卷積加上探測器隨機噪聲的結果。原始清晰圖像在各種因素作用下的退化過程可用數學模型表示為

根據傅里葉轉換原理，該模型在頻域的表示形式如下：

因為圖像不是連續的，所以在實際的圖像處理中，需要將式（2）離散化：

式（4）的意義是清晰圖像的每一點都乘p，通過將擴散效應擴展到圖像的每個點并加入噪聲，可以實現最終模糊圖像的離散表示。

3.2 模糊圖像復原問題

圖像的模糊問題可以表示為點擴散函數的折疊效應和偶然加性噪聲的過程。如果偶然噪聲小到可以忽略n(x,y)的影響，則式（2）可以表示為

圖像退化降質問題簡單地歸結為原始HD圖像與點擴散函數的卷積，而反問題的核心是退化圖像的反褶積。因為折疊問題在空間上不容易解決，所以將其轉化為頻域形式，其表達式為

根據傅里葉變換理論，空間區域內的折疊可以轉化為頻率范圍內的乘法，這就是為什么折疊形式可以通過式（6）轉換為乘積形式，如式（7）所示：

理論上，如果圖像的偶然噪聲很小，可以忽略噪聲的影響，直接用點擴散函數和模糊圖像進行解構，得到清晰的圖像，但實際情況往往比較復雜，探測器產生的隨機噪聲和測量誤差是不可避免的，不可忽視。

3.3 圖像復原的非適定性

建立圖像炭和圖像恢復的數學模型，圖像模糊問題可以看作是原始高清晰度圖像與點擴散函數卷積后的偶然噪聲效應，其核心是反褶積。然而，退化圖像的恢復一直是圖像處理領域的一個難題，主要原因是退化圖像的恢復是一個問題，而對不適定問題的解決往往條件較差：（1）問題有不少于一個解（問題的解存在）；（2）只有一個唯一解（問題的解具有唯一性）；（3）問題的解取決于數據的連續性（問題的解決具有穩定性）。不完全符合上述限制條件，則認為該問題不是適定問題，而是針對不適定問題，由于其條件性質較差，無法得到精確解。式（5）可表示為

為了直接解決圖像恢復問題，相應的p（x，y）和i（x，y）的求解必須使式（8）近似為真。

4 圖像復原算法

4.1 圖像復原的先驗約束

將退化圖像的圖像重復問題轉化為適當的定性問題。圖像的灰度梯度中有許多統計規則。這些統計規則可以作為先驗信息，限制圖像重復的方向，使圖像的重復解接近真實清晰圖像[3]。這是統計規則在計算機視覺領域中經常使用的，如圖像的恢復、馬賽克的去除、單個圖像的高分辨率實現。信息學的視角變得越來越無效，這就是為什么需要在圖像中添加有效的信息成分，通過引入圖像來清除圖像。因此，合理的先驗設計是解決圖像恢復問題的關鍵[4]。

基于對自然圖像的各種統計研究，兩個相鄰像素之間的差值通常較小或接近零。矩陣的稀疏分布是指矩陣中大部分位置的值為零或接近零，其統計圖形式如圖2所示。圖2（a）為自然拍攝的圖像，圖2（b）為在三個顏色通道的x方向上的顏色值統計。

圖2 自然圖像及其梯度統計

在圖像復原的數學模型中，這種稀缺分布很容易將標準L0、L1、L2的梯度矩陣G定義為，矩陣G的范數l0代表矩陣G中非零元素的個數，且值越小，矩陣中的非零元素就越少。

4.2 基于正則化方法的圖像復原算法

圖像重復算法的模糊性主要表現在即使指定了精確的點擴散函數，恢復模糊、退化圖像的問題仍然存在。這類壞條件問題不能用數學方法直接求解，解決這類條件惡劣問題的方法是通過一定的限制條件得到一個粗略的模糊解。目前，針對這類模糊圖像恢復問題，常用的方法為正則化的方法。實際處理過程中通常使用交替迭代的方法對此最小化問題進行求解。

5 結論

圖像重復設置差，是導致圖像退化和模糊的主要因素，文章通過數學描述圖像刪除和恢復的正反問題，解決了圖像恢復問題中的分辨率問題中的圖像重復問題以及點擴散函數以及圖像重復的外圍條件。根據單透鏡攝影的特點，在產生規則的極限壓力之前，需要選擇合適的圖像，以減小解的范圍以確保恢復后的圖像盡可能接近理想的清晰圖像。