一類p規范型非線性系統預設性能有限時間H∞跟蹤控制

李小華 胡利耀

近幾年,憑借快速的收斂性和較強的魯棒性,有限時間控制方法已經成為控制理論研究的熱點[1-4],并且已經獲得了許多的研究成果[5-9].其中,有一類文獻針對有限時間跟蹤控制問題進行了研究[6-9].文獻[6]針對一個五階移動機器人系統采用Backstepping技術設計了系統的有限時間跟蹤控制器,使得系統的跟蹤誤差在有限時間內收斂到平衡點;文獻[7] 利用加冪積分技術,研究了空間飛行器的有限時間跟蹤控制問題;在文獻 [8]中,作者利用齊次域方法,解決了四旋翼飛行器的有限時間跟蹤控制問題.但是對于p規范型非線性系統,很少有文章研究其有限時間跟蹤控制問題.經查找僅有文獻 [9]結合加冪積分技術和凸組合方法,針對一類切換p規范型非線性系統設計了一個狀態反饋跟蹤控制器,該跟蹤控制器能夠保證系統的跟蹤誤差在有限時間內收斂到平衡點的小的鄰域內.但是上述方法均不能保證系統跟蹤誤差的整個暫態過程被限制在一個給定的范圍內,而跟蹤誤差波動太大對實際系統而有一定風險的.并且,大多數文獻中的系統停息時間均與初始狀態有關.

因為預設性能控制方法能夠同時兼顧到系統的暫態和穩態性能[10],所以國內外許多專家學者對此進行了大量的研究[11-13].然而,目前大多數關于預設性能的控制方法均存在一個共性問題,即在對系統進行誤差轉換時已設定了該誤差的有界性,然后再去證明它的有界性[10-13],這是不合理的.而文獻 [14]提出一種新的誤差轉換函數,在解決預設性能控制問題時不需要提前設定誤差的有界性,從而避免了該共性問題.但該方法只能保證系統在t→∞時系統狀態誤差收斂到平衡點的一個小的鄰域內,對于解決一類對收斂時間要求較高的控制問題時不太理想.為此,文獻 [15] 將預設性能控制方法和有限時間控制方法相結合,提出了一種有限時間性能函數,并利用所提出的性能函數,設計了一類非嚴格反饋非線性系統的有限時間跟蹤控制器,該控制器能夠保證系統的跟蹤誤差在任意給定的時間內收斂到平衡點的一個預先給定的鄰域內,并且停息時間與系統的初始狀態無關.然而,該設計方法仍然存在預設性能的共性問題.并且文獻 [14-15]只考慮了系統的冪p=1的情況.而我們知道,許多實際的系統是p規范型形式的非線性系統,其系統的冪p/=1,例如欠驅動弱耦合的機械系統[16]等等,文獻[14-15]給出的方法不能直接用于這類p規范型系統中,且它們也沒有考慮外部擾動對系統的影響.

對于系統的外部擾動可以采用H∞控制方法來抑制其影響.該方面的成果已有許多[17-22].其中有一些成果是針對于非線性系統的H∞控制問題[19-22].特別有文獻 [22]對一類嚴格反饋非線性系統設計了有限時間H∞控制器,但該H∞控制器是在系統為漸近穩定的前提下得到的,對于只能滿足有界穩定的系統,該設計方法是失效的.應該說明的是,目前還沒有關于p規范型非線性系統的H∞控制的研究報道.

本文基于預設性能控制方法,結合加冪積分技術、H∞控制方法以及神經網絡自適應技術,針對于一類帶有外部擾動的非嚴格反饋p規范型非線性系統設計了一個自適應神經預設性能有限時間H∞控制器,該控制器能夠保證被控系統的跟蹤誤差在任意給定的停息時間內收斂到平衡點的一個預先給定的鄰域內,系統是實際有限時間穩定的,并且跟蹤誤差始終在有限時間性能函數約束的范圍內,同時外部擾動對系統的影響能夠被抑制.

本文的主要貢獻為:1)首次考慮了一類帶有外部擾動的非嚴格反饋p規范型非線性系統的預設性能有限時間H∞控制問題,并且首次將有限時間性能函數和加冪積分器技術相結合;2)由于外部擾動及系統的高次冪的影響,文獻 [14]中所提出的預設性能方法并不能直接應用.為了避免預設性能控制方法存在的共性問題,本文基于文獻 [14]中的思想,提出一種新的預設性能控制器的設計方法.該方法亦避免了該共性問題;3)不同于文獻[22],本文解決了非線性系統為有界穩定時設計H∞控制器的困難;4)與文獻[14-15]相比,系統的冪p被放寬到奇整數之比的形式;并且考慮了系統帶有外部擾動的情況.

1 問題描述和預備知識

1.1 系統描述

本文考慮如下一類非嚴格反饋p規范型非線性系統:

其中,x=[x1,···,xn]T∈Rn為系統的狀態向量;y ∈R是系統的輸出;u∈R為系統控制輸入.gi(x),fi(x)和φi(x)為未知的C1函數;wi(t)∈L2[0,T] 為非零外部擾動;系統的冪pi≥1 為兩個奇整數之比的形式.該系統滿足如下假設:

假設 1.系統(1)中函數gi(x)(i=1,2,···,n)的函數符號已知,并且存在未知正常數b使得b≤|gi(x)|＜∞.不失一般性,假設gi(x)＞0.因此b≤gi(x)＜∞.

本文考慮系統的跟蹤控制,要求被跟蹤信號yd(t)滿足:

假設 2.被跟蹤的信號yd(t)及其k階導數連續且有界,k=1,2,···,n.

1.2 預備知識

為了得到主要的結果,下面給出一些有用的引理與定義.

引理1[19].對于任意的實數ε＞0,下面不等式成立:

其中,常數s＞1,q＞1 并且滿足(s-1)(q-1)=1.

引理2[23].對于xi,i=1,···,n和實數 0＜? ＜1,有下面的不等式成立:

若 0＜?=?1/?2≤1,其中?1＞0和?2＞0 均為奇整數,則

其中,x和y為任意實數.

在本文中,采用徑向基函數神經網絡 (Radial basis function neural network,RBFNN)在線逼近未知非線性函數f(Z).即

其中,σi為基函數的中心,κi為高斯函數的寬度.我們知道,只要采用足夠多的節點數l,RBFNN 能夠逼近在緊集Ω?Rm上的任意連續函數f(Z)[24].即

其中,?*T為理想的常數權向量,定義為

δ(Z)是逼近誤差且滿足|δ|≤δ*,其中,δ*為有界正常數.

引理3[25].對于任意的正整數r,n及神經網絡中的基函數S(Z)=[s1(Z),···,sl(Z)]T,不等式 (7)成立.

其中,=[z1,···,zn]T和Zr=[z1,···,zr]T為輸入向量.

引理4 (Gronwall 不等式)[26].假 設x(t),F(t)和χ(t)≥0是定義在t∈[a,b] 上的連續實值函數.如果不等式

成立,則有

定義1[15].考慮以下非線性系統

其中,x是狀態向量;h(x):Ω→Rn是一個在原點的開鄰域 Ω 上連續的函數,并且滿足h(0)=0.如果當t ≥T(x0)時,對任意的初始條件x(0)=x0都有‖x‖≤?,其中? ＞0是一個常數,0＜T(x0)＜∞表示該系統的停息時間.則系統 (10)是實際有限時間穩定的.

注1.本文的停息時間與系統初始狀態無關.

定義2.對于非線性系統(1),如果滿足:1)對于任意的初始狀態,存在一個Lyapunov函數V＞0滿足≤-ζV+;2)不等式 (11)成立

則稱系統 (1)滿足有界H∞性能指標.其中,ζ,Θˉ均為正實數;e1(t)=y(t)-yd(t)表示系統跟蹤誤差,d(x0)是一個正數,w(t)∈L2[0,T] 是非零外部擾動,γ為給定的干擾抑制系數.

定義 3[15].如果光滑函數α(t)滿足:1)α(t)＞0;2)(t)≤0;3)limt→Tfα(t)=αTf;4)當t≥Tf時,α(t)=αTf,則稱其為有限時間性能函數,其中,αTf和Tf為任意的正實數.

在本文中,有限時間性能函數被選擇為

其中,α0≥1,αTf＞0和Tf＞0均為設計參數.并且α(t)的初始值為α(0)=α0+αTf.易知,該有限時間性能函數(12)滿足定義3.其光滑性的證明見文獻[15].

這里借用文獻[14]中的思想定義誤差轉換函數為

本文的控制目標為:針對p規范型非線性系統 (1)設計一個自適應神經預設性能有限時間H∞跟蹤控制器,使得當|e1(0)|＜α(0)時,該控制器能夠保證系統的跟蹤誤差e1(t)=y(t)-yd(t)被約束在有限時間性能函數(-α(t),α(t))內,并能夠在任意給定的停息時間內收斂到平衡點附近預先給定的鄰域內,且閉環系統 (1)的所有信號是實際有限時間穩定的;外部擾動對系統性能的影響能夠得到抑制.

為了簡化推導過程,本文將函數gi(x),fi(x),φi(x),wi(t)以及一些相關的函數簡寫為gi,fi,φi,wi.

2 主要結果

下面將根據控制目標對系統 (1)設計一個自適應神經預設性能有限時間H∞跟蹤控制器.

首先,給出一系列坐標變換

第1步.選擇Lyapunov 函數為

其中,β1＞0 為設計參數.考慮式 (13)和式 (14),對V1求導,可得

因為函數 Φ1中包含有未知連續函數,所以這里使用神經網絡對其進行估計.根據式 (5),有

利用引理1 和引理3,有

λ1＞0為設計參數.

將式 (21)代入式 (19)并整理,有

其中,h＞0 是一個設計參數.則式 (22)能夠改寫為

為了使后面的推導更易于表達,將式(16)改寫為

第i(2≤i ≤n-1)步.選擇Lyapunov 函數為

βi＞0為設計參數.

根據式 (14),式 (27),式 (28)及引理2,易有式 (29)～(34)成立.

因為式 (30)～(34)的證明過程是容易的,限于篇幅,此處省略.

根據引理2 與式 (14),有

因此,式 (31)～(34)能夠改寫為

下面分別對式 (40)中一些項進行處理.根據式 (36)及引理1,易得

類似地,根據式(37)～(39)及引理1,可得

將式 (41)～(45)代入式 (40)并整理,有

因為 Φi為未知連續函數,所以利用神經網絡對其進行估計.類似于式 (20)和式 (21),利用引理1、引理3 和式 (5),有

λi＞0為設計參數.

將式 (47)代入式 (46),有

第n步.選擇新的Lyapunov 函數為

其中,

βn＞0為設計參數;ε ＞0 為實數.

注 2.特別地,在Lyapunov 函數選擇中加入ε是為了確保Vn＞0恒成立,其目的是為了便于證明H∞性能指標.它只是一個輔助參數,并不參與最終控制器的設計,因此其具體值并不需要知道.

類似于第i步,有

因為 Φn中包含未知項,根據引理1,可得

其中,λn＞0 為設計參數.

將式 (55)代入式 (54)并整理,式 (54)能夠改寫為

由此可得最終的控制律u和自適應律為

至此,本文的主要結果可給出如下:

定理1.對于滿足假設1 和假設2 的p規范型非線性系統 (1),如果初始條件滿足|e1(0)|＜α(0),并且控制律和自適應律按照式 (23),(48),(57)和式 (24),(49),(58)來選取,則系統 (1)滿足:1)跟蹤誤差e1(t)能夠被預先給定的有限時間性能函數α(t)約束,且在一個預先給定的停息時間Tf內收斂到平衡點的一個預先給定的鄰域內,并且該停息時間Tf與系統初始狀態無關;2)所有信號是實際有限時間穩定的;3)外部擾動對系統的影響能夠被H∞性能抑制.

證明.定理1 的證明過程分為以下3 個部分.

1)跟蹤誤差e1(t)滿足預設性能指標的證明

選擇系統總的Lyapunov 函數為

因為V1≥0,V2≥0,···,Vn-1≥0 并且Vn＞0,易知V ＞0恒成立.根據式 (26),式 (29)及式 (53),有

考慮式(61)和式(62)并選擇ζ=min{c/2,h},有

應該指出,當|e1(0)|的值較大時,只需要增大設計參數α0而不需要改變αTf,即可滿足條件|e1(0)|＜α(0).

2)系統所有信號均為實際有限時間穩定的證明

由于e1(t)能夠在有限時間內收斂到給定的界中,易知等所有的系統信號是實際有限時間穩定的.因此,這里詳細的證明過程省略.

3)系統(1)滿足H∞性能指標的證明

為了驗證該系統滿足H∞性能指標,定義一個輔助函數如下

根據式(62)和(65)式,不等式(66)成立.

因為V＞0 且Θ有界,因此必存在一個常數τ使得

對式(67)兩邊積分,可得

接下來,利用反證法驗證 F(t)＞0.假設 F(t)≤0,則V(t)滿足

這與V ＞0矛盾.則F＞0成立.即

根據式(71),易有

注3.本文的設計方法能夠使得系統在有界穩定的情況下滿足H∞性能指標.

3 仿真研究

本節給出兩個仿真例子驗證所提方法的有效性和優越性.

例1.為了驗證本文控制方法的有效性,考慮文獻 [27]中的系統.不同的是,在系統中加入了非嚴格反饋項f1(x)以及外部擾動項w1(t)和w2(t).系統的數學描述如下:

從圖1 和圖2 可知,即使被控系統初始狀態不同并且存在外部擾動,系統的跟蹤誤差e1(t)仍能被有限時間性能函數α(t)約束,并在給定的停息時間 0.6 s 內收斂到給定的區間 (-0.01,0.01);且系統輸出y(t)能夠在給定時間內跟蹤上信號yd(t),驗證了本文控制方法的有效性.

圖1 跟蹤誤差e1Fig.1 Tracking errore1

圖2 系統輸出y跟蹤效果Fig.2 Tracking effects of the system outputy

例2.為了驗證本文控制方法的實用性和優越性,采用文獻 [22]中的機械臂系統.不同的是,一個較大的外部擾動w1(t)被加入到該系統中.這里將本文控制方法與文獻 [22]的方法進行對比研究.系統數學描述如下:

其中,J=3.287,r=2.3126,g=9.8,D=18.6918,F=24.25;w1(t)=5e-0.5tcos(5πt)和w2(t)=0.5e-0.5t×sin(4πt)為系統外部擾動.這些參數的具體物理意義見文獻 [28].為了能夠與文獻 [22]的方法進行比較,這里考慮鎮定問題,即e1=x1.選擇設計參數k=1;λ1=λ2=1;α0=0.8;αTf=0.03;=1.2;h=1;β1=β2=1;Tf=0.5;自適應參數的初始值=0.5;初始狀態選擇為x(0)=[0.4,0.8]T;神經網絡的選擇與系統S1相似.根據定理1 及文獻 [22]分別得到兩種方法對應的控制器進行仿真.當沒有外部擾動時,仿真結果如圖3～5所示.圖3 給出了兩種不同控制方法所得到的狀態x1曲線;圖4 給出本文控制輸入u曲線,圖5 為文獻 [22]的控制輸入u曲線.類似地,當外部擾動存在時,保持兩種方法的控制器不變,仿真結果如圖6～8 所示.從圖3～5 可知,比起文獻 [22],本文控制方法收斂速度更快,并且控制器的抖震現象較輕.因此,本文控制方法更實用.根據圖6～8 可知,即使系統存在較大的外部擾動,本文方法仍能使被控系統具有較好的動態性能,而文獻[22]的控制方法則受到了很大的影響.但是應該說明的是,本文方法使被控系統具有更快收斂速度的同時,會需要較大的控制輸入信號.

圖3 無外部擾動時狀態x1Fig.3 Statex1 without external disturbance

圖4 無外部擾動時本文的控制輸入uFig.4 Control inputuof this paper without external disturbance

圖5 無外部擾動時文獻 [22]的控制輸入uFig.5 Control inputuof [22] without external disturbance

圖6 存在外部擾動時狀態x1Fig.6 Statex1 with external disturbance

為了驗證本文控制方法在高頻變化的擾動下仍能保證較好的控制性能,這里將擾動w1(t)改為信噪比為10.8306 dB的高斯白噪聲信號.仍考慮鎮定問題.設計參數與初始條件等均不變.對應的仿真結果如圖9 和圖10.圖9 為狀態x1曲線;圖10 為外部擾動w1(t)曲線.從圖9 可知,即使對于高頻變化的外部擾動,本文控制方法仍有較好的控制性能.

圖7 存在外部擾動時本文的控制輸入uFig.7 Control inputuof this paper with external disturbance

圖8 存在外部擾動時文獻 [22]的控制輸入uFig.8 Control inputuof [22] with external disturbance

圖9 白噪聲擾動下的狀態x1Fig.9 Statex1 with white noise disturbance

圖10 外部擾動w1(t)Fig.10 External disturbancew1(t)

4 結論

本文主要研究了一類帶有外部擾動的非嚴格反饋p規范型非線性系統的預設性能有限時間H∞跟蹤控制問題.針對一類p規范型非線性系統提出了一種新的預設性能控制設計方法.并在此方法的基礎上,結合加冪積分技術、H∞控制方法以及神經網絡自適應技術,設計了自適應神經預設性能有限時間H∞跟蹤控制器.該方法避免了預設性能的共性問題.所設計的控制器能夠保證系統的跟蹤誤差被約束在有限時間性能函數 (-α(t),α(t))內.并能夠在預先給定的停息時間內收斂到平衡點的一個預先給定的鄰域內,且該停息時間與系統初始狀態無關.同時,外部擾動對系統的影響能夠被抑制.