一類傳送帶問題解的存在性

魯雄，王躍

1. 貴陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教育部，貴陽 550081；2. 貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴陽 550025

根據(jù)文獻(xiàn)[1]的介紹，D’Alembert和Euler首次提出了用來描述彈性弦在橫向上微小振動(dòng)過程中弦的變化模型.后來，文獻(xiàn)[2]考慮了由固定端點(diǎn)間弦的長(zhǎng)度變化而引起的張力微小變化，形成了著名的Kirchhoff模型

(1)

(2)

這里v表示傳送帶軸向速度，vT>0是常量，f(x，u)≡0.受此影響，令ε=1-v2，我們考慮模型(2)受異號(hào)源和反作用控制下的一種推廣，即研究問題

(3)

本文的主要結(jié)果如下：

證

(4)

也就是說泛函I的臨界點(diǎn)與問題(3)的解等價(jià).

下面我們分3部完成定理1的證明.

第一步 泛函I滿足P.S.條件.

(5)

(6)

取v=un，則由(5)式得

注意到0<λ<λ1，

則由

從而有

(7)

由(7)式可知

因此

于是

因此{(lán)unk}是{un}中強(qiáng)收斂的子列，故滿足P.S.條件.

第二步 在定理1的條件下，當(dāng)ε≥0時(shí)，對(duì)任意μ>0，可證問題(3)有一個(gè)正解.

因此有

由此可知

其中

由f(x)∈L2(Ω)和0<λ<λ1，通過直接計(jì)算，得

由此可見，I(u)是強(qiáng)制的且下方有界的連續(xù)泛函.

因此，對(duì)任意μ>0，由于f∈L2(Ω)且f(x)>0(a.e.x∈Ω)，那么當(dāng)n→∞時(shí)，有

并且I(u*)=0，即u*是I的一個(gè)全局極小點(diǎn).顯然u*≠0.從而問題(3)至少有1個(gè)非平凡解.

第三步 在定理1的條件下，當(dāng)ε>0時(shí)，存在μ*=μ*(ε，λ)>0，對(duì)任意的μ∈(0，μ*)，問題(3)至少存在3個(gè)非平凡解.

u+=max{u，0}u-=min{u，0}

那么

u+u-≡0u=(u++u-)

即I(v*)

其次，令

對(duì)任意μ∈(0，μ*)，有

也就是說

因此在H-上，類似u*的證明，可得問題(3)存在解u**∈H-.更進(jìn)一步，根據(jù)Pucci三解定理[24]知，泛函I存在異于u*和u**的第三個(gè)臨界點(diǎn)u***.因此，在定理1的條件下，問題(3)存在3個(gè)不同解，這就完成了定理1的證明.

本文根據(jù)Ekeland變分原理證明了問題(3)在適當(dāng)假設(shè)條件下解的存在性和多重性.另外，根據(jù)文獻(xiàn)[22]的介紹，當(dāng)ε=0時(shí)，問題(3)稱為臨界轉(zhuǎn)速問題，此時(shí)的基本固有頻率消失，具有發(fā)散不穩(wěn)定性.通常的研究中會(huì)假設(shè)ε屬于次臨界的轉(zhuǎn)速范圍，即ε>0，這種轉(zhuǎn)速可以理解為發(fā)動(dòng)機(jī)在額定功率內(nèi)的轉(zhuǎn)速.對(duì)于燃油或者燃?xì)獾炔牧献鳛榘l(fā)動(dòng)機(jī)原料的裝置，一般來說技術(shù)人員的穩(wěn)定操作總可以使得速度低于臨界速度.然而，在電力系統(tǒng)特別是交變電流控制的發(fā)動(dòng)機(jī)中，由于電壓、電流的不穩(wěn)定，會(huì)導(dǎo)致速度的不穩(wěn)定，當(dāng)電流過強(qiáng)時(shí)，速度可能會(huì)超過臨界速度，即ε<0，此時(shí)會(huì)有燒壞發(fā)動(dòng)機(jī)的危險(xiǎn).而當(dāng)電流過弱時(shí)，又可能因?yàn)樗俣冗^慢而導(dǎo)致發(fā)動(dòng)機(jī)線圈發(fā)熱而燒壞.注意對(duì)于燃油或者燃?xì)獾炔牧献鳛榘l(fā)動(dòng)機(jī)原料的裝置，速度過低便會(huì)自動(dòng)熄火而不會(huì)燒壞發(fā)動(dòng)機(jī).人們總希望添加適當(dāng)?shù)耐?hào)源或者異號(hào)源以及其他形式的裝置(非線性項(xiàng)g(x，u)≠0)，來自動(dòng)控制速度不高于臨界速度，同時(shí)又不低于可能燒壞發(fā)動(dòng)機(jī)的最低速度，以保證發(fā)動(dòng)機(jī)正常運(yùn)行.u3表示異號(hào)源，f(x)為反向作用，系數(shù)λ，μ可以理解為控制系數(shù).異號(hào)源和反向作用主要用來控制發(fā)動(dòng)機(jī)過快的速度，以使得轉(zhuǎn)速不超過臨界速度.根據(jù)問題的需要，并注意到ε=0時(shí)的臨界速度，因此在物理意義上，問題(3)中的參數(shù)ε應(yīng)該屬于區(qū)間[0，1]，但從數(shù)學(xué)研究的角度，將研究范圍稍加擴(kuò)寬也無妨，因此問題(3)的研究是有實(shí)際意義的.