中小學數學問題提出教學的目標與原則

任紅，張玲

1. 成都石室中學，成都 610041；2. 西南大學 數學與統計學院，重慶 400715

愛因斯坦曾指出提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅是一個數學上或實驗上的技能而已，而提出新的問題、新的可能性、從新的角度去看舊的問題，卻需要創造性的想象力，標志著科學的真正進步.顧明遠先生也曾強調新世紀的教育要求學生獨立思考、敢想敢做、勇于創新，不能提出問題的學生不是一個好學生.提出問題不僅僅是對自我的發掘與提升，更是通過一個點去點亮另一個點，通過一扇門去打開更多門，從而發現世界、創造世界的根本路徑.一方面，培養學生未來生活學習所需要的思考和創造能力是新時代教育所需；另一方面，問題提出教育的理念，在于通過克服權威主義，使教師和學生成為教育過程的主體，通過自主探究讓學生參與知識建構的過程，最大程度地將“被講解—被接受”的狀態解放為“被認知”的狀態，實現學生學習能力、實踐能力與創新能力的培養與解放.所以作為重要教學手段和教育目標的問題提出，有理由成為學校課程的一個重要組成部分.從關注圍繞“問題解決教學”到“問題提出教學”的教育變革，有理由為滿足不斷升級和個性化的教育需求提供新的門徑.當前，“問題提出”已經成為我國課程標準探討的關鍵詞之一，西南師大版小學數學教材已經開始滲透問題提出的理念.本文擬從教學實踐入手，理論結合案例，對問題提出教學的目標與原則進行探討，以期為一線教育工作者深入地認識問題提出教學提供線索與門徑.

1 問題提出教學

問題提出教學的思想淵源，可追溯至2 000多年前孔子的啟發式教學與蘇格拉底的產婆術.現代意義上的問題提出教學，孕育于問題教學，即以問題為核心的教學方式.最早可追溯至公元1世紀我國古代的第一部以問題集形式呈現的數學專著——《九章算術》.作為獨立的課堂教學活動，它區別于問題解決教學，但又與問題解決相依相伴.教師在課堂教學中為學生創造在具體提供的情境中提出問題的機會，并留有充足的時間讓學生在所提供的信息中充分利用假設修改已有的問題的題設進而創造新問題.基于學生所提出的問題，教師再依據教學目標，合理篩選使用問題引導學生解決問題.盡管對于“問題提出教學”尚未形成統一的定論，依據學習效果框架以及問題提出的特征，宋乃慶教授等提出問題提出教學是教師結合課程教材中的教學任務和學習目標，從已知的教學條件和環境出發設計問題提出的教學任務，并通過課堂言語互動的教學過程，幫助學生深入地學習學科知識，培養學生問題解決能力和創新能力的協調發展[1-3].具體而言，問題提出教學的目標在于幫助學生理解知識，培養學生問題意識、發現問題、解決問題能力，激發學生創造力.

2 問題提出教學的目標

問題提出教學的實質是在課堂上提供給學生提出問題的機會，通過提出問題學習相關知識.促進學生學習和學生發展是問題提出發揮其作為教學手段屬性的切實可實現的目標.其中學生學習可以概括為掌握基本知識與基本技能，而學生發展是以培養什么樣的人為基準點考慮，最重要的價值導向是培養富有創造力、創新思維的人.

2.1 以促進學生理解知識為首要目標導向

在教學實踐中，教師無論采用何種教學手段都是為了追求同一個目的，即高質量、低消耗地使學生更加便捷地學好，達到讓學生接受知識、形成技能技巧的預期目的[4].考慮是否采用新的教學手段，首個要素是這個教學手段是否契合學生所需的知識，它的直接貢獻是服務于學生學習知識，所以進行問題提出教學的首要目標導向是促進學生進行知識的理解與積累.

問題提出教學對于教師的主要挑戰，是如何設置問題提出教學任務，讓學生在參與問題提出教學任務的過程中加深對教學任務中所蘊含的知識的理解與積累.作為高認知需求的問題提出任務，它不同于簡單的“記憶性任務”和“無聯系的程序性任務”，需要提問者參與理解問題提出情境中的概念與關系，探究問題提出數學概念或關系的本質，提取和使用相關的知識和經驗，分析任務并積極檢查任務的限制條件，同時需要對自己的認知過程進行自我監控和自我調節[5].所以對于問題提出教學任務本身而言，它具有實現學生知識理解與積累的特質.

教學方法受教育的目標、教學內容制約[6]，在“目標—內容—方法”關系鏈中，如何根據教學內容的本質屬性，設計問題提出教學任務，達到實現促進學生知識理解與積累的目標，是教師需要考量的重要內容.下面將以問題提出教學的基本模式“教師設置問題提出任務—課堂互動—實現教學目標”為框架，給出具體的教學案例，幫助讀者理解在進行問題提出教學中如何實現促進學生知識理解與積累的這一教學目標.

例1[7](a) 計算3/4-1/2；(b) 寫出一個問題來表示這個算式；(c) 畫一幅圖表征你的問題并解釋.

[任務評析]

該任務適用于學生學完分數運算，學生通過用問題表征分數減法來理解分數以及分數減法的意義.教師可以通過學生提出的問題反觀學生對于分數意義的理解，此外還增加了圖表征等方式來多渠道地反映學生對分數，以及分數減法的理解.

[課堂互動]此處省略師生具體互動過程，附上兩個互動后的表征問題的圖示(圖1).

圖1 問題表征圖示

問題1：媽媽將一塊披薩分成4塊，給我3塊，吃了一半，還剩多少？

問題2：媽媽將一塊披薩分成4塊，給我3塊.將另一塊披薩分成兩塊，給妹妹一塊，請問我的披薩比妹妹多多少？

[目標達成分析]

從Tuluk-Ucar的調查發現，職前教師完成第一個分數計算任務的正確率是100%，而完成任務二(即，提出合適問題)的教師占比為24%～40%.從任務一我們無法直接觀測出學生是否真正理解分數、分數減法的含義，如果僅僅從正確率看，我們甚至會認為職前教師已經完全掌握了分數的減法運算的技能.但從任務二的完成情況，可以深入剖析出職前教師對于分數、分數減法的理解狀況.而且可以發現一些不合適的問題反映出學生對于分數理解的困惑與誤區.部分被試在用問題表征算式時容易混淆參考單位，比如在分別表征3/4和1/2時，無法明確每個部分所指的單位1，而且這種混淆居多出現在用“拿走”(take-away)表征減法語義的問題中(見圖1左).此外，不同情景下，分數具有不同的意義，Kieren教授提出了對于分數的5種理解方式：部分—整體、比、商、測量和算子[8].從職前教師表征的問題可以發現，他們更傾向于用整數來表示分數，而并非將分數作為一個數.比如，有問題如此“媽媽將一塊披薩分成四塊，給我3塊.媽媽將另一塊披薩分成兩塊，給妹妹一塊.請問我比妹妹多多少塊”.綜上，學生通過參與問題提出活動，反思并呈現出自己是如何理解分數以及分數的減法，教師通過學生所提問題，分析學生對于分數與分數減法的理解程度與障礙，采取有針對性的補救性教學，最終幫助學生多角度理解分數及分數的減法.

2.2 以提高學生問題解決能力為重要目標導向

一切生活皆為問題解決[9].培養學生問題解決的能力對于教育者而言尤為重要，它是學生在社會上的立身之本.幾十年來，“問題解決”一直也是各國課程改革與發展所關注的更古不變的主題之一.而問題提出作為課程和教學研究的關注點的一個重要的動機在于它能潛在地幫助學生成為更好的問題解決者.聯結問題提出與問題解決的課程改革已經滲透在不同國家的課程標準中.盡管問題提出并不像問題解決那般廣為人所知，但是問題提出作為提高學生問題解決能力的表現方式已經不是一個新的觀點.所以在問題提出教學中，如何通過培養學生探究解決自己或同伴所提出的問題是問題提出教學最直接的歸宿.

問題提出教學中，教師可以設置發生在解決問題之前、之中和之后的問題提出任務[10].關于解決問題之后的問題提出任務，如波利亞的問題解決四步法之最后一步，對問題陳述或答案進行回顧與反思，讓學生解題后思考“可以提出一個相似的問題嗎、能在別的什么題目中利用這個結果或者這種方法嗎”等.學生通過深度識別、判歸同類或異類問題解決的心理加工過程，反思提出新問題的結構、類別與模式，反思問題的解決方法，提出相似結構類別的或相同解決方法的問題，從而加深對同類問題以及解決方法的識別與理解.當學生再次碰到同種或相似問題時，更容易產生聯結，觸類旁通，快速求解問題.其次關于發生在“解決問題”之中的問題提出任務，學生可以通過再表述問題或提出子問題來架起解決問題的橋梁，實現解決問題的目標.問題解決是從問題的初始狀態到目標狀態的變化過程，中間會經歷若干個重新表述問題以及建立一系列更加精細的問題的狀態，達克爾認為在對原始問題連續的再表述的個性化處理中，就會出現問題提出[11]，以形成描述解決問題中間過程狀態的問題.有經驗的、正確的問題提出，在一定程度上縮短解決問題過程中路徑試誤的時間，從而迅速有效地解決問題.問題解決的中間狀態處理得越好，提出的子問題越好，越有利于解決者更快更好地解決問題.從而達到促進學生解決問題能力的目標.面對“解決問題”之前的問題提出任務，往往需要從給定的、人為的或自然的情境中產生問題.人類歷史上希爾伯特提出的23個數學問題對推動20世紀數學的發展起了積極的推動作用.

2.3 以激發學生創造力為根本目標導向

學校教育中，創造力表現為學生對事物提出新的見解，它不同于專業水平的創造力，并不需要達到非凡的成就才能稱其具備好的創造力[12].問題提出活動具備激發學生創造力的潛力，主要表現為兩個方面，其一，問題提出活動本身長期被看作是一種創造性思維的活動.它需要從一堆信息中，以新的、不同的視角，從已有的空間到預期的空間中探索、發現、選擇種種新的聯系，發現新的可能性，提出新的問題.以純數學和應用數學研究為例，研究者通常面臨的是結構不良的問題或情境，需要通過猜想或者假設、探索，以提出一種新的可能性的問題，從而建立已有情境與未知結果間的聯結.其二，提出問題需要創造力.創造力的主要成分是收斂思維與發散式思維[13]，對應表現為對模式屬性的識別與歸納，對問題的敏感性，構思的流暢性、靈活性與原創性，構思結構的廣度等.這些思維屬性是提出問題過程中重要的思維品質.故而開展問題提出教學有利于發展學生的創造性思維，為實現培養創造性人才提供方法與路徑.

流暢性、靈活性和原創性作為創造性思維的主要特性，是問題提出教學激發學生創造力的著力點.思維的流暢性表現為學生迅速產生很多想法，靈活性表現為學生能迅速產生不同類型或不同范疇的想法，原創性表現為學生所產生想法的新穎性.在數學教育領域，一個創造性思維強的問題提出者，可以迅速地提出很多恰當的、不同類型的、“特別”的問題.發展學生創造性思維的流暢性、靈活性和原創性，是相互獨立但又相互依存的.學生能產生越多問題的想法、提出更多的問題，往往能反映學生思維的流暢性越好，但并不是提問的數量便足以說明學生的創造性思維.比如圖2點圖的問題提出活動中[14]，提出100個關于“第N副圖有幾個白點(從1～100改變N的數字大小)”的問題的學生與提出99個關于“第N副圖有幾個白點(從1到99改變N的數字大小)”的問題的學生相比，并不能說明前者的創造性思維比后者高.還需從思維的靈活性層面看學生是否能產生更多不同類型、不同解答策略所需的問題.比如在點圖的例子中，學生在提出“第N副圖有幾個白點”的問題之上，還可以提出“第N副圖白點和黑點點數之和是多少” “第N副圖白點和黑點點數之間的關系” “用N表示出白點的點數”等求和、比例關系、規律總結的不同類型問題，提出問題的種類越多，往往能反映學生思維的靈活性越好.此外，在思維的原創性層面，學生產生越多區別于常見種類的、新穎的問題，預示著學生創造性思維的原創性越好.比如，區別于以上常規類的“某圖點數問題” “某圖點數和問題” “某圖黑白點數關系問題” “用圖數表示點數問題”，可以逆向思維“有N個白點的是第幾幅圖”.

圖2 點圖

3 問題提出教學的原則

問題提出教學以問題為引領，強調學生在提出問題與解決所提問題的過程中實現自我知識建構，關注學生的問題意識與創造性思維，注重自主探究與自我建構的教學過程.基于問題提出教學的本質與內涵，從有效教學的視角探討問題提出教學的原則，落腳在教師設計問題提出教學任務時，重點考慮如何最大化地發揮問題提出的教育價值，實現教學目標乃至激發學生創造力的育人目標.從可操作性層面，實施問題提出教學需要關注以下原則：

3.1 開放性原則

在問題提出課堂教學中，設計有效的教學任務，使得既能將數學概念或知識嵌入任務中以達到學習知識和技能的基本要求之外，還能達到發展學生創造性思維的作用，對于教學任務的設計要求很高.問題提出教學與問題解決教學最為本質的區別是它能提供給學生更多的學習機會，所以考察問題提出教學最根本的原則是所設置的問題提出任務是否可以給學生提供更多的學習機會.相比“5+4=___”這種封閉性、認知需求很低的任務，研究表明，開放式(open-ended)任務情境，更有利于培養學生創造性思維.因為開放式任務可以提供學生更多思維的空間與可能性，刺激學生對于任務情境、條件、任務目標的思考，根據理解產生多個特定的目標和可能的多個正確的解決方案.在下一節中將介紹一些可操作性的設置問題提出任務的策略與方法.在此不做教學任務設計的相關贅述，僅具體舉例說明相比之下，不同的教學任務會提供給學生不同程度的學習機會.

圖3 數列

例2[15]

任務1：如圖3，這個模式會繼續延續.我想要編制一些能用這個模式求解的數學問題，以供高中或大學一年級學生求解，請你幫我提出盡可能多的數學問題.

任務2：如圖3，這個模式會繼續延續.我想要編制一些能用這個模式或者改變模式求解的數學問題，以供高中或大學一年級學生求解，請你幫我提出盡可能多的數學問題.

任務1是一道滿足一定結構的數字規律題，學生可能會提出一個類似“第n行數的和是多少”、“前n行數的和是多少”、“第n行第2個數是多少”、“每一行的第1個數之間滿足什么關系”的數學問題.這樣的情景隸屬于“模式”情景.而任務2相比任務1給學生提供的思維空間更大，學生不僅可以在滿足圖示模式的基礎上提出數學問題，還可以通過更改模式、更改條件，提出更多的新的數學問題，提供給學生更多的思考空間.

3.2 情境性原則

任何學習愿望都是在一定的情景中產生的，只有具有強烈吸引力的情景教學才能激勵學生對學習的需要，促進教學任務的實現[16].情景設置的方式對于激發學生學習動機的作用有著顯著的差異.同一個任務用不一樣的情境引導語來表述，其教學效果也不一樣.究其原因，激發學生內部動機的刺激特點，通常有新奇性、驚異、復雜性、趣味性、矛盾，以及不確定性等.有研究表明確定度過高的信息，學習者的心意不致喪失均衡，因而知性沖突較弱，內部動機不能充分激發起來.所以教師在設置問題提出教學任務時，需要充分考慮情景表述的方式方法.下面以一例說明.

例3[17]

任務1：d(n)表示整數n的正因子.證明，當且僅當n為平方數時，d(n)為奇數.

任務2：哪一個正整數有一個奇數因子(證明你的猜想).

任務3：想象有n個全部關閉的鎖和n個人.假設第1個人獨自打開每一個鎖；然后第2個人從第2號鎖開始每兩個鎖關閉一個鎖；第3個人從第3號鎖開始每3個鎖改變1個鎖的開合狀態(也就是，如果原來是鎖住的，那么這個人將其打開，如果原來是打開的則將其關閉).如果這個過程持續下去一直到所有n個人都完成一遍，那么哪些鎖是打開的？

以上3個問題實際上都是同一個問題，只是用了不同的表達方式.第1個問題是個干巴巴的數學證明問題；第2個很簡潔，只是給定了一個需要猜想的問題，而非一個需要證明的陳述句；第3個則以一種非常獨特的方式提出了一個數學問題.Butts認為第3種問題的呈現形式可能更容易激發學習者潛在的主動解決問題的愿望，把問題從不同角度呈現出來，以增加學生探索和學習的機會.

3.3 合理性原則

問題提出教學的首要條件是設計、改變、使用恰當的問題提出教學任務，為了最大程度地實現學生知識、技能教學目標的達成，需要注意任務的開放性特征與情境性特征.那么在問題提出教學過程中，如何合理處理學生所提出的問題，是達成教學目標需要考慮的必經之路.面對問題提出教學任務，學生可以根據自我認知體驗提出不同的問題.哪些問題需要進行分析，哪些問題需要摒棄，哪些問題需要優化再處理，對于教師而言，以上是進行問題提出教學的重難點問題.如果所提問題是促進教學沿著知識建構生成的路徑，那么可以引導學生重點思考該問題的解決方案.如果所提問題離知識生成目標較遠，教師如何引導學生優化問題，甚至將“不合理”問題歸類處理實現“變廢為寶”是進行問題提出教學的藝術之處.