平衡損失函數(shù)下具有兩水平共同效應(yīng)的信度模型

王思敏,李巖,紀(jì)彩玲,買淑萍

(寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,寧夏 銀川 750021)

信度理論是進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)保費(fèi)厘定的一個(gè)重要方法,在非壽險(xiǎn)精算中占有重要的地位并得到了廣泛的應(yīng)用。自Bühlmann[1]從貝葉斯的觀點(diǎn)出發(fā),通過(guò)假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)之間相互獨(dú)立且歷史索賠在給定風(fēng)險(xiǎn)下為獨(dú)立同分布,在平方誤差損失最小下建立了無(wú)分布限制的經(jīng)典信度模型以來(lái),學(xué)者對(duì)信度理論展開(kāi)了研究。關(guān)于信度理論的詳細(xì)介紹,具體可見(jiàn)文獻(xiàn)[2]。然而,在實(shí)務(wù)中,風(fēng)險(xiǎn)不一定是相互獨(dú)立的,可能存在某種相依關(guān)系。事實(shí)上,人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到,在許多重要的保險(xiǎn)情景中,此類獨(dú)立性的假設(shè)與實(shí)際是相違背的。例如,在惡劣的天氣條件下,一輛汽車的碰撞會(huì)引發(fā)多輛汽車相繼碰撞,從而導(dǎo)致多次索賠;同一樓層的住戶會(huì)面臨共同的火災(zāi)或地震風(fēng)險(xiǎn)等。目前,學(xué)者已關(guān)注到這一問(wèn)題,并研究了具有相依結(jié)構(gòu)的信度模型。如Yeo等[3]首次提出用共同效應(yīng)(隨機(jī)潛在風(fēng)險(xiǎn)參數(shù))來(lái)刻畫風(fēng)險(xiǎn)間的相依性,研究了正態(tài)分布下的信度保費(fèi)估計(jì)；Wen等[4]研究了具有共同效應(yīng)的Bühlmann和Bühlmann-straub模型,得到了無(wú)分布形式的信度估計(jì)；Wen[5]假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)間存在相關(guān)性,研究了具有等相關(guān)的信度估計(jì)；鄭丹等[6]研究了風(fēng)險(xiǎn)內(nèi)部具有相依結(jié)構(gòu)的信度模型；Poon等[7]考慮了空間條件相依和風(fēng)險(xiǎn)相依的信度模型,并給出了結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計(jì)。

以上研究均以平方損失函數(shù)為基礎(chǔ),所得結(jié)果稱為純保費(fèi)。但在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中,純保費(fèi)不可能被保險(xiǎn)公司收取,而且利用平方損失函數(shù)得到的保費(fèi)估計(jì)在有些情況下并不精確。已有學(xué)者注意到由保費(fèi)估計(jì)過(guò)高或過(guò)低引起的損失并不相同,他們采用平衡損失函數(shù)對(duì)保費(fèi)和風(fēng)險(xiǎn)的合適程度進(jìn)行刻畫,并取得了豐富的成果,如黃維忠[8]研究了平衡損失函數(shù)下具有風(fēng)險(xiǎn)相依結(jié)構(gòu)的回歸信度模型；Zhang等[9]進(jìn)一步在平衡損失函數(shù)下討論了帶有利率且風(fēng)險(xiǎn)和時(shí)間相依的信度估計(jì)；李新鵬等[10]則研究了平衡損失函數(shù)下更一般的風(fēng)險(xiǎn)相依的信度模型。

綜合以上研究成果,本文研究平衡損失函數(shù)下具有兩水平共同效應(yīng)的信度保費(fèi)估計(jì),即個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)和組合風(fēng)險(xiǎn)分別存在相依性。事實(shí)上,一個(gè)組合的索賠可以直接影響其他組合。例如,在汽車保險(xiǎn)中,不同類型的汽車分布在不同的組合。在一惡劣的天氣條件下，一個(gè)組合中的汽車和其他組合中的車輛發(fā)生碰撞而導(dǎo)致索賠,這是常見(jiàn)的。因此,有必要同時(shí)考慮組合風(fēng)險(xiǎn)的相依性。Ebrahimzadeh等[11]通過(guò)引入兩水平共同效應(yīng)的信度模型推廣了Wen等[4]的結(jié)果,然而,他們只是用平方損失函數(shù)對(duì)保費(fèi)和風(fēng)險(xiǎn)的合適程度進(jìn)行刻畫。因此,本文將在平衡損失函數(shù)下討論具有兩水平共同效應(yīng)的信度估計(jì)。

1 模型假設(shè)與準(zhǔn)備知識(shí)

考慮M個(gè)投資組合的保單合同,每個(gè)組合有K個(gè)投保人,且每個(gè)投保人有n年的索賠經(jīng)歷。定義Xmij為第m個(gè)組合中第i個(gè)投保個(gè)體在第j年的索賠金額,記隨機(jī)矩陣Xm=(X′m1,X′m2,…,X′mi)′,表示投資組合的索賠矩陣m=1,2,…,M,其中Xmi被定義為第m個(gè)投資組合中第i個(gè)投保個(gè)體,記Xmi=(Xmi1,Xmi2,…,Xmin)′,表示個(gè)人i的索賠向量(i=1,2,…,K)。類似于經(jīng)典的信度模型,本文的目標(biāo)是在所有觀測(cè)到的索賠經(jīng)驗(yàn)X1,X2,…,XM下,預(yù)測(cè)下一時(shí)期的索賠Xmi,n+1。為了克服平方損失函數(shù)帶來(lái)的誤差過(guò)高或過(guò)低的不足,本文在平衡損失函數(shù)下,建立具有兩水平共同效應(yīng)的信度模型,給出Xmi,n+1的信度估計(jì)。下面給出模型所需要的假設(shè)。

假設(shè)1 共同效應(yīng)隨機(jī)變量Γ具有已知的數(shù)學(xué)期望和方差。

假設(shè)2 隨機(jī)矩陣Xm,m=1,2,…,M相互獨(dú)立且同分布。

假設(shè)3 對(duì)固定的組合m,給定Γ,共同效應(yīng)隨機(jī)變量Λm的期望和方差分別為:

EΛmΓ=μλ(Γ),

假設(shè)4 對(duì)組合m和個(gè)體i,風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θmi是獨(dú)立同分布的。

假設(shè)5 給定Γ,隨機(jī)變量Θmi,Λm獨(dú)立同分布。

假設(shè)6 對(duì)固定的組合m與固定的個(gè)體i,給定Γ和Λm,隨機(jī)變量(Xmi,Θmi)獨(dú)立同分布。

假設(shè)7 對(duì)固定的組合m和固定的個(gè)體i,給定Γ,Λm和Θmi,索賠Xmi1,Xmi2,…,Xmin獨(dú)立同分布且:

EXmin|Θmi,Λm,Γ=μ(Θmi,Λm,Γ),

Var(Xmin|Θmi,Λm,Γ)=σ2(Θmi,Λm,Γ)。

此外,記

EμΘmi,Λm,Γ|Λm,Γ=μΛm,Γ,

EμΛm,Γ|Γ=μ(Γ),

EμΓ=μ,

為統(tǒng)計(jì)目標(biāo)保費(fèi)δ0miX,記

Eδ0miX=μ,

Covδ0miX,Xljt=dmilj,

此外,記

與經(jīng)典的信度模型類似,基于所有歷史索賠X1,X2,…,XM估計(jì)未來(lái)保費(fèi)Xmi,n+1的非齊次信度,必須解決下列最優(yōu)問(wèn)題:

(1)

令L(X,1)和Le(X)分別表示樣本的非齊次與齊次函數(shù)類：

LX,1=

(2)

(3)

且

(4)

引理1 在假設(shè)1—假設(shè)7下,有以下結(jié)論:

(1)Xmi的期望為

E(Xmi)=μ1n,

m=1,2,…,M；i=1,2,…,K。

(5)

式中1n表示n個(gè)元素都為1的列向量。

(2)X的協(xié)方差矩陣為

(6)

式中?表示矩陣的kronecker積。

(3)歷史索賠X和未來(lái)索賠Xmi,n+1的協(xié)方差矩陣為

(7)

式中em和ei分別是第m個(gè)和第i個(gè)元素為1,其他元素都為0的向量。

(4)X的協(xié)方差矩陣的逆矩陣為

(8)

其中

以上證明可參考文獻(xiàn)[11]。

為得到未來(lái)索賠Xmi,n+1的非齊次與齊次信度估計(jì),引理2、引理3給出關(guān)于隨機(jī)變量在線性空間的投影及平滑公式,其證明可參考文獻(xiàn)[2]。

則有使EY-A-BY-A-BX′在矩陣的非負(fù)定意義下達(dá)到的最小解為:

由引理2可知,Xmi,n+1在L(X,1)和Le(X)上的最優(yōu)估計(jì)分別為:

(9)

(10)

式(9)與式(10)分別表示Xmi,n+1在X上的非齊次投影與齊次投影。

對(duì)于退化的隨機(jī)變量Xmi,n+1=E(Ymi) ,∑YmiX=0,式(10)可以簡(jiǎn)化為

(11)

引理3對(duì)于任意的兩個(gè)閉集M?M′∈L2,隨機(jī)變量Y∈L2,則有

projY|M′=projprojY|M|M′。

2 信度估計(jì)

為得到Xmi,n+1的非齊次信度估計(jì),需求解式(1),利用正交投影的方法,得到未來(lái)保費(fèi)Xmi,n+1信度估計(jì)。

定理1在假設(shè)1—假設(shè)7及引理1、引理2下，Xmi,n+1的最優(yōu)非齊次信度估計(jì)為

Zi2-Zi3-Zi4-Zi5)μ,

(12)

其中

證明引入變量

Ymi=ξδomiX+1-ξXmi,n+1,

其中ξ是一個(gè)與其他隨機(jī)變量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且Pξ=1=1-Pξ=0=ω,ω是權(quán)重,所以式(1)等價(jià)于

(13)

根據(jù)引理2,可知Xmi,n+1的信度估計(jì)為

(14)

由Ymi定義可知

EYmi=EξδomiX+1-ξXmi,n+1=

EEξδomiX+1-ξXmi,n+1|ξ=

ωEδomiX+1-ωEXmi,n+1=μ。

(15)

注意到,EX|ξ=EX,從而Cov(EYmi|ξ,EX|ξ)=0。

所以

∑YmiX=ωCovδomiX,X+

1-ωCovXmi,n+1,X=

1-ω∑Xmi,n+1X。

(16)

結(jié)合引理1,可得

μ+ωG1+1-ωG2。

(17)

注意到

(18)

借用Ebrahimzadeh[11]中的結(jié)論

所以

(19)

結(jié)合式(17)—式(19)可得

當(dāng)μ未知時(shí),定理1不能直接運(yùn)用,需將式(1)的估計(jì)限制在樣本的齊次函數(shù)類中計(jì)算它的齊次信度估計(jì)。

證明由引理3,可知

projprojXmi,n+1LX,1LeX,

(21)

Zi3-Zi4-Zi5)proj(μLeX,

從而式(20)成立。

注1 在定理1中,當(dāng)ω=0時(shí),則可得到平方損失函數(shù)下具有兩水平共同效應(yīng)的信度估計(jì):

1-Z1-Z2-Z3μ,

(22)

其中信度因子為:

Z3=

這便是Ebrahimzadeh[11]中的結(jié)果,可以說(shuō)定理1是其的推廣。

(23)

其中信度因子為:

(24)

3 參數(shù)估計(jì)

命題1結(jié)構(gòu)參數(shù)μ的無(wú)偏估計(jì)為

(25)

由于

EμΘmi,Λm,Γ=μ,

則

(26)

證明記Θm=(Θmi,…,ΘmK)′和

σ2Θmi,Λm,Γ,

從而

所以,結(jié)構(gòu)參數(shù)σx的無(wú)偏估計(jì)為

(27)

因?yàn)?/p>

注意到

所以

從而命題3得證。

(28)

注意到

所以

(29)

證明記

利用條件方差公式,

從而

所以

4 結(jié)束語(yǔ)