方程Z（SL（n））＝φe（n）（e＝3，4，6）的正整數(shù)解

杜 珊，廖群英，王慧莉

（四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610066）

1 序言及主要結(jié)果

數(shù)論函數(shù)是數(shù)論研究中的一個(gè)重要課題，也是研究數(shù)論問(wèn)題不可或缺的工具.18 世紀(jì)，歐拉首次提出了歐拉函數(shù)的概念：正整數(shù)n 的歐拉函數(shù)φ（n）定義為序列1，2，…，n中與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)［1］.該函數(shù)在RSA 公鑰密碼體制建立中扮演著重要角色［2］.2002 年，為了將Lehmer 同余式的模從素?cái)?shù)平方推廣到任意整數(shù)的平方，Cai［3］定義了正整數(shù)n的廣義歐拉函數(shù)：對(duì)給定正整數(shù)e，正整數(shù)n的廣義歐拉函數(shù)φe（n）為序列中與n互素的數(shù)的個(gè)數(shù)，易證

其中μ（n）為n的麥比烏斯函數(shù).顯然，當(dāng)e ＝1 時(shí)，φ1（n）＝φ（n），即著名的歐拉函數(shù)；特別地，e|φ（n）時(shí)，有.目前為止，已經(jīng)得到e ＝3，4，6 的準(zhǔn)確計(jì)算公式和e ＝5 的部分計(jì)算公式［5-7］，以及某些特殊的e，φe（n）的計(jì)算公式［8-9］.

對(duì)于任意正整數(shù)n，數(shù)學(xué)家Smarandache定義n的Smarandache函數(shù)S（n）為滿足n|m！的最小正整數(shù)n，并提出了很多有趣的數(shù)論問(wèn)題［10］.偽Smarandache函數(shù)Z（n）定義為最小的正整數(shù)m，使得1 +2 +…+m能被n整除［11］，即

而Smarandache LCM函數(shù)SL（n）則定義為最小的正整數(shù)m，使得1，2，…，m 的最小公倍數(shù)能被n 整除［12］，即

2005 年之后，許多學(xué)者研究了關(guān)于Smarandache LCM函數(shù)、偽Smarandache 函數(shù)和廣義Euler函數(shù)相關(guān)性質(zhì)及方程問(wèn)題，并取得了一些好的結(jié)果［13-16］.同時(shí)，也有很多學(xué)者研究了相關(guān)的復(fù)合方程問(wèn)題，例如：朱杰等［17-18］研究了方程Z（n）＝φe（SL（n））的可解性，并給出了全部的正整數(shù)解；楊張媛等［19］給出了方程Z（SL（n））＝（n）（e ＝1，2）的所有正整數(shù)解；基于歐拉函數(shù)是積性函數(shù)和相關(guān)函數(shù)的基本性質(zhì)，張利霞等［20-22］給出了方程S（SL（n））＝φe（n）和Z（SL（n））＝φe（n）（e ＝1，2）的所有正整數(shù)解.但是當(dāng)e ＞2 時(shí)，φe（n）不是積性函數(shù)，故文獻(xiàn)［22］提出如下猜想.

猜想方程Z（SL（n））＝φ3（n）有可數(shù)個(gè)解.

本文證明了上述猜想，進(jìn)而利用e ＝4，6 時(shí)廣義歐拉函數(shù)φe（n）的準(zhǔn)確計(jì)算公式，討論了數(shù)論函數(shù)方程

的可解性，即證明了如下主要結(jié)果.

定理1.1若e ＝3，則方程（1）的解為n ＝45，72，90.

定理1.2若e ＝4，則方程（1）的解為n ＝5p，10p，8p1，12p2，其中，p、p1、p2為奇素?cái)?shù)且p ≥7，p1≥11，p2≥5.

定理1.3若e ＝6，則方程（1）的解為n ＝7p，14p，其中p ＞7 為奇素?cái)?shù).

2 相關(guān)引理

為后文敘述方便，設(shè)n、s為正整數(shù)，記Ω（n）為n的素因子個(gè)數(shù)（重復(fù)計(jì)數(shù)），ω（n）為n 的不同的素因子個(gè)數(shù)，并規(guī)定Ω（1）＝ω（1）＝0.為證明本文的主要結(jié)果，需要如下幾個(gè)引理.

引理2.1［23］設(shè)正整數(shù)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為n ＝，則

特別地，當(dāng)p為素?cái)?shù)且α≥1 時(shí)，SL（pα）＝pα.

引理2.2［24］對(duì)任意素?cái)?shù)p ≥3 及α ∈N，Z（pα）＝pα-1；當(dāng)p ＝2 時(shí)，Z（2α）＝2α+1-1.

引理2.3［6］若，其中α，αi≥0，pi是不同的素?cái)?shù)，且gcd（pi，3）＝1（i ＝1，2，…，s），則

引理2.6［21］1）若n ＝3α，α ＞1，則；

2）若n ＝2α，α ＞2，則φ4（n）＝；

3）若n ＝2α3β＞6，則

3 主要結(jié)果的證明

定理1.1 的證明當(dāng)e ＝3 時(shí)，方程（1）即為Z（SL（n））＝φ3（n）.顯然，n ＝1，2，3 不是方程的解.

現(xiàn)設(shè)n ＞3.若n ＝3α（α ＞1），則由引理2.1～2.2 可知Z（SL（n））＝Z（3α）＝3α-1.再由引理2.6可知φ3（3α）＝2 ×3α-2，此時(shí)方程（1）即為3α-1 ＝2 ×3α-2，顯然無(wú)解.故不妨設(shè)，其中，p1、…、ps為互不相同的素?cái)?shù)，且s≥1，α≥0，α1，…，αs≥1.

若3α＝max｛3α，|i ＝1，2，…，s｝，又α∈｛0，1｝，故n ＝6.此時(shí)由引理2.1～2.2可知Z（SL（6））＝Z（3）＝2，又φ3（6）＝1，顯然此時(shí)方程無(wú)解.

對(duì)比等式兩邊的奇偶性可知s ＝1，即

又α∈｛0，1｝，則

矛盾.故ps為奇素?cái)?shù)，且ps≡5（mod 6），則由引理2.2可知Z（SL（n））＝Z（）＝-1，再由引理2.3，方程（1）即為

對(duì)比等式兩邊的奇偶性可知s≥2.若s ＝2，由（2）式可得

則（ps-1）|2，與ps≡5（mod 6）矛盾，故s≥3.由（2）式得

由s≥3 且pi≡2（mod 3）（1≤i≤s），故至少存在s-1 個(gè)pi滿足pi≥5（1≤i≤s），不妨設(shè)ps-1≥5.則

由（3）式可得

矛盾，即此時(shí)方程無(wú)解.

2）α≥2 或α∈｛0，1｝且存在pi≡1（mod 3）（1≤i≤s）.

故此時(shí)方程（1）為2·3α-2φ（t）＝3α-1.考慮等式兩邊3 的個(gè)數(shù)可知α ＝2，從而φ（t）＝4，即t ＝5，8，10，12.又gcd（t，3）＝1，故t ＝5，8，10，相應(yīng)的n ＝45，72，90，經(jīng)檢驗(yàn)均為方程的解.

故方程（1）為

對(duì)比等式兩邊的奇偶性可知矛盾.故ps為奇素?cái)?shù)，由引理2.2 知

對(duì)比等式兩邊ps的個(gè)數(shù)可知αs＝1，即

從而φ（ts）＝3，矛盾.

綜上，定理1.1 得證.

定理1.2 的證明當(dāng)e ＝4 時(shí)，方程（1）即為Z（SL（n））＝φ4（n）.顯然，n ＝1，2，3，4 不是方程的解.

現(xiàn)設(shè)n ＞4.若n ＝2α（α≥3），則由引理2.1～2.2 可知

則（ps-1）|2s，又ps≡3（mod 4），故ps＝3.若s ＝1，則φ（ts）＝φ（2α）＝1，再由（4）式可得

矛盾.故s≥2，又ps＝3 且pi≡3（mod 4）（i ＝1，2，…，s），故pi≥7（1≤i≤s-1），則

再由（4）式可得

矛盾，即此時(shí)方程無(wú)解.

2）α≥2 或α∈｛0，1｝且存在pi≡1（mod 4）（1≤i≤s）.

若2α＞max，…，s｝，則α≥3，由引理2.1～2.2 可得

對(duì)比等式兩邊ps的個(gè)數(shù)可知αs＝1，即

則φ（ts）＝4，從而ts＝5，8，10，12，相應(yīng)的n ＝5p，10p（p ＞5），8p1（p1≥11），12p2（p2≥5），其中p、p1、p2均為素?cái)?shù).經(jīng)檢驗(yàn)均為方程的解.

綜上，定理1.2 得證.

定理1.3 的證明當(dāng)e ＝6 時(shí)，方程（1）即為Z（SL（n））＝φ6（n），顯然，n ＝1，2，3，4，5，6 均不是解.

設(shè)n ＝2α3β＞6（α，β≥0）.若β ＝0，則α≥3，由引理2.1～2.2，Z（SL（n））＝2α+1-1，再由引理2.6，

故矛盾；若β ＝1，則α ≥3，由引理2.1～2.2，Z（SL（n））＝2α+1-1，再由引理2.6，

矛盾；若β≥2，由引理2.6，

若2α＞3β，則α≥4，由引理2.1～2.2，Z（SL（n））＝2α+1-1，方程（1）為

等式兩邊奇偶性不同，矛盾.若3β＞2α，則由引理2.1～2.2，

方程（1）為

對(duì)比等式兩邊3 的個(gè)數(shù)，可知β ＝2，從而φ（2α）＝8，即α ＝4，與3β＞2α矛盾，故此時(shí)方程無(wú)解.不妨設(shè)

其中，p1、…、ps為互不相同的素?cái)?shù)，且s≥1，α≥0，α1，…，αs≥1.令，則gcd（ts，ps）＝1，有以下4 種情況.

若s ＝1，則φ（ts）＝φ（3β）≤2，再由（6）式，

矛盾；若s ＝2，由（5）式可得

又ps＝5，故矛盾.若s≥3，則至少存在s-1 個(gè)pi滿足pi≥11（1≤i≤s），此時(shí)pi-1 ＞23.不妨設(shè)ps-1≥11，從而

再由（6）式可知

矛盾，故此時(shí)方程無(wú)解.

2）α ＝1，β∈｛0，1｝且pi≡5（mod 6）（i ＝1，2，…，s）.

故（ps-1）|2s，又ps≡5（mod 6），則s≥2.若s ＝2，則ps＝5 且p1≥11，從而φ（ts）＝φ（3β·）≥10.由（7）式可得

矛盾.對(duì)s≥3，由（7）式及類似定理1.3 的1）的證明可得

矛盾，故此時(shí)方程無(wú)解.

3）α≥2，β∈｛0，1｝且pi≡5（mod 6）（i ＝1，2，…，s）.

對(duì)比等式兩邊2 的個(gè)數(shù)，可知矛盾.

矛盾，故此時(shí)方程無(wú)解.

4）β≥2，或β∈｛0，1｝且存在pi≡1（mod 6）（1≤i≤s）.

綜上，定理1.3 得證.