“軟”任務著地 尋數學本質
——在小學數學教學中滲透數學思想

劉忠寶

（福建省漳州市長泰區陳巷中心小學，福建漳州 363901）

引 言

數學思想是學生經過思維活動而產生的結果，雖然也被納入教學目標，但它的抽象性使其在某種意義上成為教師的“軟”任務。所以，很多教師在課堂上會忽略對學生數學思想的培養。為了提高學生的數學學習能力和解題能力，在實際教學過程中，教師要有意識地讓學生感受到數學思想的內涵，進而幫助學生在了解數學本質的過程中形成基本的數學素養，為學習能力的提升打好基礎[1]。

一、數形結合思想

數形結合思想是學生最容易理解的一種數學思想，即將代數與圖形結合在一起來進行相關知識理解的解題思想[2]。從實際的教學情況來看，教師在課堂上往往只告訴學生這里或那里可以用畫圖來輔助解答問題，而學生自己在解答問題時卻鮮有畫圖輔助的習慣。學生缺少用畫圖輔助解題的意識，在很大程度上影響了學習質量和學習效率。那么，在實際教學過程中，教師該如何將數形結合思想滲透到數學課程的教學中呢？

（一）基礎知識教學中的滲透

近些年教材經過了多次修訂。我們不難發現，插圖在教材中的占比增長明顯，這恰好是教師滲透數形結合思想的良機。教師可以從低年級開始，進行數形結合思想的滲透，借助教材中的插圖來將抽象的概念和關系直觀化、簡單化、形象化，進而幫助學生樹立借助圖片、圖形來輔助理解相關數學知識的意識。

例如，在教學“加法”的相關知識時，為了讓學生能夠從低年級就樹立數形結合思想，教師在相關問題的講解過程中，可以適時地滲透這一數學思想。

例1：

對于例1這一類題型（如圖1），從嚴格意義上說，它不屬于數形結合思想滲透的范疇，只不過因為小學低年級學生抽象思維能力較弱，需要結合圖形來理解相關數學概念。但這是教師給學生滲透數形結合思想的切入口。所以，在這一類習題的解答過程中，教師可以先組織學生觀察圖片，并鼓勵學生用數學語言來對圖片信息進行合理的表達。比如，第一張圖中的“3+□=□”，學生可以表達為三只白兔子在一起玩耍，過了一會兒又來了一只灰兔子，現在一共有多少只兔子？教師引導學生在這樣的練習中感受數與形之間的關系，能降低學生數學學習的枯燥感，提高學生的學習積極性。

圖1

（二）習題解答中的滲透

數形結合思想是提高學生解題能力的重要數學思想之一，尤其是解答應用題時，學生運用數形結合思想不僅能理解題意，還能找到題目中的等量關系，進而快速解題，積累解題經驗，養成良好的解題習慣。

例2：某公司修一條長為2850 米的公路，已知前3天，該公司每天修150米，但要求后續的工程12天完成，思考該公司平均每天修多少米才能按要求完成任務？

教師可以引導學生按照圖2進行思考，以幫助學生找到已知量和未知量之間的關系，進而找到試題的解答思路。教師在教學時一定要引導學生結合題干自己畫圖，并隨著年級的增長，逐漸增加學生結合題意自己畫圖的次數，以真正達到逐步滲透數學思想的目的。

圖2

二、數學方程思想

方程思想是指通過方程及方程組的構建來引導學生解決問題。這一思想在小學數學高年級階段才會出現，有利于培養學生的數學思維[3]。那么，在教學過程中，教師該如何滲透數學方程思想呢？

（一）一題多解中滲透方程思想

一題多解是培養學生數學發散思維的有效方式之一。學生在一題多解的訓練過程中也能提高知識的靈活應用能力。但是，如何在一題多解中滲透方程思想呢？簡單來說，就是學生在解答問題時要運用方程或方程組來提高解題能力。

還以前文的例2為例，根據數形結合思想，學生可以依據圖形傳達出來的等量關系得出答案：（2850-150×3）÷12=200（米）。此時，教師可以借助方程思想，引導學生思考：如果假設該公司平均每天修x米就可以在12 天完成，我們能找到哪些等量關系？這樣的引導不僅符合學生的認知水平，還能加深學生的理解，對提高學生的數學解題能力有積極的促進作用。所以，在應用題的解答過程中，教師可以通過開展這種一題多解活動，將方程思想滲透到解題過程中，以此來幫助學生發現數學的本質規律。

（二）公式逆用中滲透方程思想

數學解題時存在好多公式逆用的現象，目的是考查學生的知識靈活運用能力，但這也給學生解題增加了難度。所以，在這種情況下，方程思想可以幫助學生按照正向的思想來解答問題，以降低試題解答的難度，提高學生的解題效率[4]。

例3：梯形的上底為5 cm，下底為10 cm，面積為90 cm2，求該梯形的高。

學生都知道梯形的面積公式是“（上底+下底）×高÷2”，學生如果不借助方程思想進行試題的解答，而是借助公式逆用的方式，在逆向運算的過程中就很容易出現計算上的錯誤。比如，“除以2”就很容易丟掉。此時，教師引導學生借助方程思想就會讓問題解答變得更為簡單，即設該梯形的高為x，由題意得到（5+10）x÷2=90，這樣計算難度就會降低，答題正確率相對較高。總之，在一些公式逆用的過程中，教師要鼓勵學生借助方程思想進行解答，以此來提高學生的問題解答效率。

三、數學建模思想

數學建模思想是指將與數學有關的情境通過數學語言來進行描述，或者建立與數學之間的聯系，進而讓學生體會到數學與生活之間的聯系。這對提高學生的知識靈活應用能力有很大的促進作用。但是，學生建模能力的培養和提高相對來說難度較大，需要學生具備較高的理解能力和數學思維能力。

例如，“雞兔同籠”問題是教師對學生滲透數學建模思想常用的一類試題。在教學時，教師可以先組織學生對教材內容進行思考，如借助多媒體向學生展示“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”為了幫助學生理解，為后續數學建模打好基礎，教師引導學生以小組為單位來將這一情境轉化成常見的數學試題形式。比如，雞兔同籠，已知頭有35 個，腳有94 只，請問雞有多少只？兔有多少只？然后，教師可以組織學生思考與討論，并鼓勵學生借助多種解題方法對這一問題進行解答，這樣不僅能夠達到發散學生數學思維的目的，還能深化學生對數學知識的認識，提高其學習效率。除此以外，教師還可以通過“舉一反三”的方式來進行同類建模，比如，某人打算儲備210 升水，想要將其分別裝在大、小兩種瓶子里面，已知大瓶可以裝3 升/瓶子，小瓶1 升裝2 瓶，已知共裝了140 瓶，問大、小瓶各裝了多少瓶？對于該題來說，他的本質與“雞兔同籠”問題是一樣的。所以，在解答該題時，教師就可以引導學生以“雞兔同籠”的模型來進行思考。這樣不僅能夠幫助學生建立問題之間的聯系，還有利于學生拓展知識面。這種建模思想的滲透，極大地提高了學生的解題能力。

四、數學轉化思想

數學轉化思想是可以在教學中滲透也可以在解題中滲透的思想，其目的是將復雜的問題簡單化，將未知的問題轉化成已知的問題，將整體問題轉化成若干個小問題?？傊?，數學轉化思想就是通過轉化的方式來提高學生的學習質量和解題效率，進而讓學生在獨立思考和自主轉化的過程中形成解題能力。

（一）將整體問題轉化成若干個小問題

例如，某人讀了一本故事書，目前已讀和未讀的頁數比為4 ∶5，如果繼續讀10 頁，那么正好讀了全書的一半，請問全書一共有多少頁？

這是一道相對復雜的試題，這里的關鍵量是比例。為了提高學生的解題能力，滲透數學轉化思想，在解答該題時，筆者引導學生將這一問題進行了如下轉化。

（1）某人正在讀一本書，如果該書總頁數是x的話，且已讀和未讀的頁數比是4 ∶5，請問已讀多少頁？未讀多少頁？

（2）在這個基礎上，如果再讀10 頁的話，那么正好讀了全書的一半，請問該書的一半是多少頁？

筆者將原本的一個問題按照題干拆分成了兩個問題，問題之間雖然有交叉，但更容易找到等量關系。從該題的轉化過程來看，我們還引入了方程，設了未知數，這也利于對方程思想的滲透。所以不難看出，將這種整體問題轉化成若干小問題的方式不僅可以讓問題簡單化，還能讓學生在轉化的過程中理清題意。

（二）將新的知識轉化成舊的知識

在教學“梯形的面積公式”相關內容時，教師可以通過將梯形分割或拼接成已經學過的平行四邊形、三角形、長方形的方式，來引導學生進行推導。這種方法能鍛煉學生的數學思維，提高學生的推理證明能力和學習效率。

五、歸納推理思想

歸納推理思想指的是由部分到整體，從個別到一般的推理，是鍛煉學生歸納能力及邏輯推理能力的數學思想之一。所以，在小學數學教學過程中，教師要有意識地給學生搭建歸納推理的平臺，通過鼓勵學生獨立思考和探究來達到鍛煉和提高學生歸納能力和邏輯推理能力的目的，進而為學生數學素養的全面提升打好基礎。

例4：分析下面的數字（如圖3），在這一三角數陣找規律。

圖3

求：第7 行，左起第3 個數是多少？第10 行，左起第5 個數是多少？第1997 行，左起第3 個數是多少？

教師組織學生以小組為單位對這一組數據進行觀察和分析，并引導學生對每行每列之間的關系進行思考，嘗試找到數與數之間的關系，比如，第4 行中的數字3 與第3 行中的數字有什么關系？按照這個思路，教師可以繼續引導學生對第5 行與第4 行之間的數字關系進行分析，比如，第5 行中的第2 個數字4 是第4 行第1 位數和第2 位數之和，從而引導學生一步步思考，嘗試在這三角矩陣中對第7行和第10行上的數字進行推導。但是，對于第1997 行的數字，采用這種列舉的方式顯然是行不通的。所以，在思考該題時，筆者再次引導學生思考行數與每行數字之間的關系。總之，引導學生大膽思考，從這一矩陣中橫向、縱向及斜向中尋找數字之間的關系，不僅能夠鍛煉和提高學生的數學推理能力，還利于學生在分析與思考的過程中形成一定的數學邏輯思維。

結 語

由此可見，數學思想在小學數學教學中的滲透既可以提高學生的解題能力，鍛煉學生的數學思維，又能深化學生的認知，使學生輕松掌握數學的本質。所以，教師要有意識地向學生滲透數學思想，要通過恰當活動的開展及學生自主性的凸顯來確保學生掌握基本的數學思想，進而為學生數學學習能力的提高打好基礎。當然，數學思想并不只有上文提到的這幾種，還包括整體思想、分類思想等，這些都是數學解題中常用到的思想。但需要說明的是，在數學問題的解答過程中，通常不是借助某一種思想進行解答，而是多種思想共同使用，這同時也考查了學生的數學綜合能力。