強嵌入在群作用下的遺傳性質*

李國強，王顯金

（1.貴州財經大學 數統學院，貴州 貴陽 550025；2.重慶大學 數統學院，重慶 401331）

0 引言

在文[1]中，Gromov介紹了度量空間粗嵌入的概念，并指出度量空間粗嵌入到希爾伯特空間或者一致凸巴拿赫空間可能對粗幾何Novikov猜測具有重要幫助。隨后，在文[2]中，郁國樑證明了具有有界幾何的度量空間如果能夠粗嵌入到希爾伯特空間，則該空間上的粗Baum-Connes猜測成立，進而粗Novikov猜測也成立。在文[2]中，郁還給出了順從性的推廣形式——性質A，證明了具有性質A的度量空間能夠粗嵌入到希爾伯特空間。后來，性質A和粗嵌入得到了廣泛的研究。[3-6]在文[4]中，作者證明了性質A在群擴張下的保持性。和性質A不一樣，粗嵌入在群擴張下是不穩定的。[7]在文[8]中，Ji，Ogle和W.Ramsey提出了強嵌入的概念，并證明了強嵌入在任何群擴張下都是保持的。

強嵌入也是一種粗幾何不變量，它強于粗嵌入又弱于性質A。在文[9]中，J.Xia和X.Wang研究了強嵌入的各種保持性問題和在有限分解復雜度下的不變性；在文[10]中，J.Xia和X.Wang研究了強嵌入在群作用下的遺傳性，本文中我們推廣了這個結論。

1 準備知識

設X是一個離散度量空間。如果對任意R>0和x∈X，存在NR使得|B(x,R)|≤NR，其中|?|表示單位球B(x,R)中元素的個數，則稱X具有有界幾何。如果存在C>0使得對任意x,y∈X，總有d(x,y)≥C，則稱X是一致離散的。在本文中，我們假設所有的度量空間是一致離散的且具有有界幾何，這類空間包含許多有趣的例子，比如：有限生成群。設B是一個巴拿赫空間，為了書寫方便，我們記B1={η∈B:||η||=1}。對任意R,ε>0，稱映射ξ:X→B具有(R,ε)-變差，如果對任意x,y∈X，我們有d(x,y)≤R?||ξx-ξy||≤ε。

定義1[8]設X為度量空間，稱X是可強嵌入的當且僅當對任意R,ε>0，存在希爾伯特值映射β:X→(l2(X))1滿足：

(1)β具有(R,ε)-變差；

由性質A和粗嵌入的等價定義知，強嵌入是介于二者之間的一種粗幾何性質，強于粗嵌入而弱于性質A。因此，可強嵌入且具有有界幾何的度量空間上的粗Baum-Connes猜測成立。

對一族度量空間來說，我們還經常用到在某種一致控制意義下的強嵌入。

定義2[8]設(Xi)i∈I是一族度量空間，稱(Xi)i∈I是等度可強嵌入的，如果對任意R,ε>0，存在一族希爾伯特值映射βi:Xi→(l2(Xi))1滿足：

(1)對每個i∈I，βi都具有(R,ε)-變差；

設X是一個集合，?i:X→[0,1]是X上的一族連續函數，且滿足對任意x∈X，有，則我們稱{?i}i∈I為X上的一個單位分解。假設U={Ui}i∈I是X的一個覆蓋，X上的單位分解{?i}i∈I滿足對任意i∈I，supp?i?Ui，則我們稱{?i}i∈I為從屬于覆蓋U的單位分解。

引理1[10]設X為度量空間，如果對任意R,ε>0，存在X上的單位分解{?i}i∈I滿足：

(1)對任意x,y∈X，若d(x,y)≤R，則；

(2){?i}i∈I從屬于X的等度可強嵌入覆蓋U={Ui}i∈I，

則X是可強嵌入的。

設U={Ui}i∈I是度量空間X的一個覆蓋。對任意x∈X，如果x至多包含在U的k個元素中，則稱k為覆蓋U的重數。設R>0，對X中任意一個以R為半徑的球B(R)，如果B(R)至多與U中的n個元素相交，則稱n為覆蓋U的R-重數。設L>0，如果X中任意一個半徑不超過L的球都能包含在覆蓋U的某個元素中，則稱覆蓋U的勒貝格數為L。如果對任意U′,V′∈U且U′≠V′我們有d(U′,V′)>L，則稱覆蓋U是L-分離的。

設k≥0,L>0，如果存在覆蓋U的一個劃分U=U0∪U1∪…∪Uk，且每個Ui，(i=0,1,…,k)是L-分離的，則稱覆蓋U是(k,L)-分離的。

注意到，如果X的覆蓋U是(k,2L)-分離的，則U的L-重數≤k+1。

若令U(L)={x∈X:d(x,U)≤L}，UL={U(L):U(L)∈U}。如果X的覆蓋U的L-重數≤k+1，則覆蓋UL的重數≤k+1，勒貝格數為L。

定義3[11]設X為度量空間，X具有有限漸近維，如果存在k≥0使得對任意L>0，存在X的一個勒貝格數至少為L、重數為k+1的一致有界覆蓋。則滿足上述條件的最小的k稱為X的漸近維數，記asdimX=k。

引理2[11]設X為度量空間，U={Ui}i∈I是X上重數為k，勒貝格數為L的覆蓋。則存在從屬于覆蓋U的單位分解{?i}i∈I使得對任意x,y∈X，有

下面將介紹群的粗擬作用(coarse quasi-action)的概念，它是群的擬作用的推廣。[12]

(1)f是恰當的(proper)，如果對Y中任意有界子集B，逆像f-1(B)在X中是有界的。

(2)f是擴張的，如果存在非減函數γ:[0,∞]→[0,∞]使得對任意x,x′∈X，有

(3)如果f既是恰當的又是擴張的，則f稱為粗映射。

兩個映射f,f′:X→Y被稱為相近的(close)，如果存在常數C≥0，使得d(f,f′)≤C。X,Y是粗等價的(coarse equivalent)，如果存在粗映射f:X→Y和粗映射f′:Y→X，使得f°g和g°f分別與Y和X上的恒等映射是相近的。

定義5[13]稱映射f:G×X→X為群G度量空間X上粗擬作用，如果對每個g∈G，fg:X→X是粗等價映射且滿足

(1)所有的fg都是粗映射，且存在非減函數γ:[0,∞]→[0,∞]使得對任意g∈G，有

(2)存在一個數A≥0使得d(fid,idX)≤A；

(3)存在一個數B≥0使得對任意g,h∈G，有d(fg°fh,fgh)≤B。

玉米淀粉經過擠壓蒸煮后，糊化度明顯升高，糊化度能達到90%以上。玉米淀粉經過擠壓機的擠壓和閃蒸后，在室溫下冷卻，這為RS3的形成提供了條件[9]。濾餅中RS3數量多，則產生的葡萄糖相應減少，影響經濟效益，因而需要尋找較優的系統參數組合，使產生的RS3質量分數最少。

從上述定義，我們知道，對任意g∈G，有

2 主要結果

在這一部分，我們將推廣文[13]中的結論。首先回顧擬穩定子的概念。設G是一個有限生成群且粗擬作用在度量空間X上，選定X中一點x0。對T>0，群作用的擬穩定子為

另外，我們總是可以把G看成帶有字長度量的度量空間。

定理1設G是一個有限生成群且粗擬作用在度量空間X上。如果X具有有限漸近維，且存在X中一點x0使得對任意T>0，擬穩定子WT(x0)是可強嵌入的，則G是可強嵌入的。

證明：

由于軌道Gx0是X的子空間，所以Gx0也具有有限漸近維。不失一般性，我們可以假設G在X上的作用是傳遞的。

設S是G一個對稱有限生成集，d是相對于S的字長度量。令

定義映射π:G→X為π(g)=gx0。如 果G等距作 用在X上，則π:G→X是λ-李普 希茨。但在命 題的條 件下，π:G→X是γ(λ)-李普希茨，其中γ滿足定義5(1)。事實上，對任意g∈G和s∈S，我們有

假設asdimX≤k，給出L>0。由定義3知，存在X的一個勒貝格數為L、重數為k+1的一致有界覆蓋U={Ui}i∈I，記覆蓋U的L-鄰域為ν={Vi}i∈I，則ν也是X的一個重數為k+1的覆蓋。因為ν是一致有界的，則對任意i∈I，存在T>0和xi∈Xi使得Vi?B(xi,T)。

另一方面，我們可取gi∈G使得xi=gi x0。由定義5，我們有d(g-1i xi,x0)≤A+B，

則

由π:G→X的定義知，

所以我們得到g-1i(Vi)=WA+B+γ(T)(x0)。

注意到{π-1(Vi)}i∈I與WA+B+γ(T)(x0)的一族子空間等距。因為WA+B+γ(T)(x0)是可強嵌入的，則我們有{π-1(Vi)}i∈I是等度可強嵌入的。同理，{π-1(Ui)}i∈I也是等度可強嵌入的且覆蓋G。

我們將利用引理1來完成證明。對任意R,ε>0，令L≥。

由于U是X的一個勒貝格數為L、重數為k+1的一致有界覆蓋，由引理2知，存在從屬于覆蓋U的單位分解{?Ui}Ui∈U滿足對任意x,y∈X，有

另外，因為{π-1(Vi)}i∈I是等度可強嵌入的，則存在一族映射βi:π-1(Vi)→(l2(π-1(Vi)))1

使得對任意i∈I，βi具有-變差。對任意i∈I，定義映射φi:G→[0,1]為

下面我們證明{φi}i∈I是G上滿足引理1的單位分解。

首先，對任意g∈G，我們有

注意到suppφi?π-1(Ui)，則{φi}i∈I是G上的單位分解且從屬于覆蓋{π-1(Ui)}i∈I。

其次，對任意g,g′∈G,d(g,g′)≤R，如果g∈{π-1(Ui)}i∈I，則存在Ui使得π(g′)∈Ui(γ(λ)R)，其中，Ui(γ(λ)R)是Ui的γ(λ)R-鄰域。如果L足夠大，則

這樣我們有，

由引理1知，G是可強嵌入的。證畢。

因為引理1也適用于粗嵌入到希爾伯特空間和正合性(在具有有界幾何度量空間下和性質A等價)，[4]所以對于粗嵌入到希爾伯特空間和正合性具有類似的結論，具體描述如下:

定理2[4]設X為度量空間，如果對任意R,ε>0，存在X上的單位分解{?i}i∈I滿足：

(1)對任意x,y∈X，若d(x,y)≤R，則；

(2){?i}i∈I從屬于X的等度可粗嵌入的(等度正合的)覆蓋U={Ui}i∈I，

則X是可粗嵌入的(正合的)。

定理3設G是一個有限生成群且粗擬作用在度量空間X上。如果X具有有限漸近維，且存在X中一點x0使得對任意T>0，擬穩定子WT(x0)是可粗嵌入的(正合的)，則G是可粗嵌入的(正合的)。