Minkowski空間中含平均曲率算子的擬線性微分系統(tǒng)Dirichlet問題徑向正解的唯一性

苗亮英, 何志乾

(1. 青海民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 西寧 810007; 2. 青海大學(xué) 基礎(chǔ)部, 西寧 810016)

0 引 言

Minkowski空間中給定平均曲率方程在微分幾何和廣義相對論中應(yīng)用廣泛, 例如相對論狀態(tài)下的質(zhì)點運(yùn)動狀態(tài)研究[1]及非線性電動力學(xué)理論中的Born-Infeld模型[2-3]等. 目前, 關(guān)于其正解的存在性和多解性研究已取得了豐富成果[4-13], 其中Coelho等[4]研究了一維Minkowski空間給定平均曲率型方程Dirichlet問題

(1)

正解的存在性和多解性, 用變分法和拓?fù)涠确椒ǖ玫搅藛栴}(1)至少存在1個、 2個、 3個正解的存在性, 其中f是一個Lp-Carathéodory函數(shù).Gurban等[5]研究了兩參數(shù)問題

(2)

徑向正解的存在性, 用錐上的不動點理論, 得到了如下結(jié)果:

定理1[5]假設(shè)gi: [0,1]×[0,∞)2→[0,∞)是連續(xù)的, 關(guān)于變元s,t擬單調(diào)非減并滿足對任意的r∈(0,1], 有

g1(r,s,t)>0,g2(r,s,t)>0, ?s,t>0;g1(r,ξ,0)=g2(r,0,ξ)=0, ?ξ>0,

文獻(xiàn)[6-7]用分歧理論和Leggett-Williams不動點定理分別研究了問題(2)徑向正解的全局結(jié)構(gòu)以及至少存在3個甚至無窮多個徑向正解的存在性. 但關(guān)于含平均曲率算子的擬線性微分系統(tǒng)Dirichlet問題徑向正解的唯一性研究目前尚未見文獻(xiàn)報道. 受上述研究啟發(fā), 本文考慮含平均曲率算子的擬線性微分系統(tǒng)Dirichlet問題

(3)

徑向正解的唯一性, 其中fi∈C([0,∞),[0,∞)),i=1,2,B為N(N≥2)空間中的單位球.

本文總假設(shè):

(H1)fi: [0,∞)→[0,∞)是連續(xù)函數(shù)且fi(i=1,2)不恒為零.

1 預(yù)備知識

考慮問題(3)徑向正解的存在性, 令r=|x|, 則u(|x|)=u(r),v(|x|)=v(r), 問題(3)退化為如下混合型邊值問題：

(4)

引理1[14]對任意的u∈C([0,1],[0,∞))滿足當(dāng)r∈[0,1] 時,u′(r)是遞減的, 則

φ-1(s1)φ-1(s2)≤φ-1(s1s2)≤s1s2, ?s1,s2∈[0,∞).

特別地, 當(dāng)0

定義P是C中的錐, 其中P={u∈C[0,1]:u(t)≥0,t∈[0,1]}.定義PR={u∈P: ‖u‖0.對任意的u∈P, 定義如下兩個解算子Ti:P→P(i=1,2):

(5)

(6)

由文獻(xiàn)[9]可知, 每個解算子Ti(i=1,2)都是非負(fù)上凸函數(shù), 結(jié)合引理1可知Ti:P→P是全連續(xù)算子.定義復(fù)合算子T(u)=T1°T2(u), 則由T的定義可知T(u):P→P也為全連續(xù)算子.由式(5),(6)可知(v1,v2)∈C1[0,1]×C1[0,1]是問題(4)的解當(dāng)且僅當(dāng)v1=T1v2,v2=T2v1, 其中(v1,v2)∈P{θ}×P{θ}.

1) 若‖Tx‖≥‖x‖,x∈?Kr, 則i(T,Kr,K)=0；

2) 若‖Tx‖≤‖x‖,x∈?Kr, 則i(T,Kr,K)=1.

定義1[15]令K為實Banach空間Y中的錐.令A(yù):K→K且u0>θ, 其中θ表示Y中的零元素.

1) 對任意的x>θ, 存在θ1,θ2>0, 使得θ1u0≤A(x)≤θ2u0;

2) 對任意的αu0≤x≤βu0且t∈(0,1), 存在某些η>0, 使得A(tx)≥(1+η)tAx.

則A稱為u0-次線性算子.

引理4[15]一個遞增的u0-次線性算子T最多有一個正的不動點.

2 主要結(jié)果

定理2假設(shè)(H1)成立且fi遞增, 使得對任意的u>0,t∈(0,1), 存在某些η>0, 使得

fi(tu)≥(1+η)tfi(u),i=1,2.

則問題(3)存在唯一的徑向正解.

證明： 由T1和T2的定義可知,T1和T2都是P誘導(dǎo)的遞增算子.令T=T1°T2, 則為得到問題(3)徑向正解的唯一性, 只需證明T在P中最多有一個不動點.由引理4, 只需驗證在C[0,1]空間中, 對某些u0>0,T:P→P是u0-次線性的.

令u0=1-r,r∈[0,1]且θ2=M/N, 則T2(u)(r)≤θ2u0.

T2(u)(r)≥T2u(c)≥Γ3(1-c),r∈[0,c].

其次, 證明對任意的θ1u0≤x≤θ2u0且ξ∈(0,1), 存在某些η>0, 使得

T(ξu)≥(1+η)ξTu.

由T1和T2的定義, 易得

同理可得T1(ξu)≥(1+η)ξ(T1u)(r).即

T(ξu)≥T1°((1+η)ξT2(u))≥(1+η)2ξT1°T2(u)≥(1+η)ξTu,

表明T滿足定義1中2), 從而T是u0-次線性的, 由引理4可知,T在P中最多有一個不動點.因此, 問題(3)至多存在一個徑向正解.特別地, 在文獻(xiàn)[7]中利用引理1和引理3, 可證明問題(3)至少存在一個徑向正解, 故問題(3)恰好存在一個徑向正解.證畢.

例1考慮如下邊值問題:

(7)

其中0<α,β<1.顯然, 問題(7)的非線性項滿足定理2的所有條件, 由定理2可知問題(7)恰好存在一個徑向正解.