內嚙合雙圓弧擺線錐齒輪齒面建模與嚙合特性仿真

黃銀坤, 吳祎煌, 陳琴, 賈超, 姚立綱, 張俊

(福州大學機械工程及自動化學院，福建 福州 350108)

0 引言

章動減速器因具有傳動比大、功率密度高、結構簡單、傳動精度高等優(yōu)點，被視為精密關節(jié)傳動的解決方案，已引起國內外學者的廣泛關注[1-3].姚立綱等[4-5]采用斜航線作為產(chǎn)形輪齒向線，以雙圓弧作為其法向基本齒形建立平面產(chǎn)形輪，基于嚙合原理推導出內嚙合雙圓弧弧齒錐齒輪的齒面方程，并采用數(shù)控成形銑削方式實現(xiàn)了內、外雙圓弧錐齒輪的加工.在雙圓弧弧齒錐齒輪齒面建模的基礎上，文獻[6]研究了潛在安裝誤差對章動雙圓弧錐齒輪齒面接觸軌跡的影響.此外，林崢等[7]以漸開線和齒頂過渡曲線作為法向基本齒廓，提出適用于章動傳動的漸開線弧齒錐齒輪齒面建模方法，并以此建立適用于不同齒廓的章動弧齒錐齒輪齒面通用數(shù)學模型[8].

端面滾切法是一種能夠連續(xù)展成滾切，高效加工出具有低噪聲、高平穩(wěn)性錐齒輪的加工方法[9].運用端面滾切法，鄧效忠等[10-12]分析刀盤、搖臺與工件之間的相互位置和運動關系，推導出擺線齒錐齒輪的理想齒面方程，并進行了齒面嚙合接觸分析.王永志等[13]采用整體刀盤來加工擺線錐齒輪，并驗證該方法的正確性.根據(jù)完全共軛原理，聶少武等[14]在端面滾切法的基礎上建立擺線錐齒輪完全共軛齒面數(shù)學模型.宋朝省等[15-16]分別采用端面滾切和端面銑削方法，建立準雙曲面錐齒輪的精確數(shù)學模型，并進行接觸應力與彎曲應力的對比研究.在文獻[16]的基礎上，宋朝省等[17]又建立了基于不同刀刃形狀的擺線錐齒輪齒面數(shù)學模型.

需要指出的是，作為章動減速器的關鍵傳動元件，內嚙合雙圓弧弧齒錐齒輪副難以展成加工的特點嚴重制約了章動減速器的應用和推廣，迄今為止尚未見到以雙圓弧齒形作為刀刃形狀進行端面滾切加工錐齒輪的研究.為提高內嚙合雙圓弧齒輪的加工效率，本研究提出采用端面滾切法展成加工雙圓弧外錐齒輪，以雙圓弧齒形作為切削刀具刀刃形狀，推導內嚙合雙圓弧錐齒輪的齒面方程.在此基礎上，通過外錐齒輪的平面產(chǎn)形輪產(chǎn)成內錐齒輪齒面的內嚙合雙圓弧錐齒輪副齒面設計方法，進一步開展內嚙合雙圓弧錐齒輪副的三維建模與嚙合特性仿真，以驗證本方法的有效性，希冀為內嚙合雙圓弧錐齒輪副的高效加工與推廣應用奠定基礎.

1 切齒刀盤建模

1.1 刀齒切削刃建模

錐齒輪端面滾切加工過程可以看成產(chǎn)形輪與工件的嚙合過程，產(chǎn)形輪輪齒由旋轉的刀刃獲得.以如圖1所示的GB/T 12759—1991[18]標準雙圓弧齒廓作為切齒刀刃的刀刃齒形，再根據(jù)刀齒切削刃在刀盤中的位置關系來獲得雙圓弧錐齒輪相對應的平面產(chǎn)形輪.

過標準雙圓弧齒廓節(jié)線與對稱軸建立雙圓弧齒廓坐標系Sn0(On0-xn0,yn0,zn0). 標準雙圓弧齒廓由8段圓弧組成，在坐標系Sn0中左右齒廓關于坐標軸zn0對稱，其中右齒廓由工作齒廓凸凹圓弧e1、e3和非工作齒廓過渡圓弧e2、齒根圓弧e4組成. 右齒廓各段圓弧上任一點在Sn0中可表示為：

rn0i=[xn0,yn0,zn0]T=[ρicos(αi)+Fi0ρisin(αi)+Ei]T(i=1, 2, …, 4)

(1)

式中： (Fi,Ei)為圓弧圓心坐標；ρi為圓弧半徑；αi為圓弧位置角度. 根據(jù)對稱性，當取左齒廓圓弧時，其圓心坐標則表示為(-Fi,Ei)，圓弧位置角度為π-αi.

建立如圖2所示的雙圓弧刀齒切削刃坐標系Sn(On-xn,yn,zn)，其中, 坐標軸xn過內、外刀齒切削刃節(jié)點位置pI、pA(下標I、A表示內外刀齒)，用于生成對應的雙圓弧錐齒輪凸、凹齒面.

圖1 雙圓弧齒廓Fig.1 Double circular arc profile

圖2 雙圓弧刀齒切削刃Fig.2 Cutting edge of double circular arc cutter

在坐標系Sn中，ΔdI、ΔdA表示內、外刀齒的半徑修正量值，uI、uA為左右雙圓弧刀刃參數(shù)，則刀刃上任一點在坐標系Sn中可表示為：

(2)

式中： Δxn=±(Δd-Δxn0)為標準雙圓弧齒形半齒寬距離Δxn0與刀齒半徑修正量Δd的差值，當rn表示外刀切削刃時取“+”，反之取“-”.

1.2 刀齒切削刃在刀盤坐標系中的表示

根據(jù)端面滾切加工原理，由于錐齒輪旋向的不同，內、外切削刀齒在刀盤中的布置也會有所差別.圖3(a)、3(b)分別表示加工左旋與右旋錐齒輪時，內、外刀齒在刀盤中的位置關系.圖中，刀盤固連坐標系Sd(Od-xd,yd,zd)的坐標系原點在刀盤旋轉軸上，xd-yd平面過刀齒切削刃節(jié)點并垂直于刀盤旋轉軸. 刀齒切削刃坐標系Sn原點在坐標軸xd上，其坐標軸xn相切于刀盤中半徑為eb的偏置圓，且兩坐標系原點相距rp，rp稱為刀盤名義半徑.δI和δA分別為內、外刀齒方向角.τw為內、外刀齒間的夾角，與所選刀齒組數(shù)有關.

圖3 刀盤坐標系Fig.3 Coordinate system of the cutter plate

根據(jù)刀齒切削刃坐標系與刀盤坐標系的相對位置關系，在刀盤坐標系Sd中，切削刃上任一點的位置矢量表示為：

(3)

(4)

當雙圓弧錐齒輪為左旋時，式(4)中取“+”；反之，右旋時則取“-”.式中，δk=δI、δA表示內、外刀齒方向角；當τw=0時，可求得外刀齒切削刃所對應的雙圓弧錐齒輪凹齒面方程；反之，τw取內、外刀齒實際夾角時，可求得雙圓弧錐齒輪凸齒面方程.

2 雙圓弧錐齒輪齒面方程

圖4 右旋產(chǎn)形輪產(chǎn)成坐標系Fig.4 Coordinate system of the right-hand imaginary generating

不失一般性，下文將以左旋雙圓弧外錐齒輪和右旋雙圓弧內錐齒輪為例，開展雙圓弧錐齒輪齒面方程的推導.

2.1 雙圓弧外錐齒輪齒面方程

根據(jù)刀盤在機床固定坐標系中的位置及相對運動關系，建立如圖4所示的左旋雙圓弧外錐齒輪對應的右旋產(chǎn)形輪產(chǎn)成坐標系.

圖中，各符號含義為：j1為刀轉角；q1為刀位角；Rd1為徑向刀位；φ1為刀盤自轉角度；φcl為刀盤旋轉軸繞產(chǎn)形輪旋轉軸公轉角度. 且φ1與φcl滿足關系式φcl=kp1φ1，kp1為刀盤刀齒組數(shù)與產(chǎn)形輪齒數(shù)的比值. 在產(chǎn)形輪分度平面上建立產(chǎn)形輪固定坐標系Sc1(Oc1-xc1,yc1,zc1)，其坐標原點位于機床搖臺旋轉軸上；Sd01(Od01-xd01,yd01,zd01)為刀盤旋轉初始坐標系；Sf1(Of1-xf1,yf1,zf1)為輔助坐標系；Sc01(Oc01-xc01,yc01,zc01)為產(chǎn)形輪固連坐標系. 坐標系Sd01、Sd、Sf1和Sc01均位于產(chǎn)形輪分度平面上，且在切削初始時Sc01與Sc1兩坐標系重合，Sd01與Sd兩坐標系重合，坐標系Sd01與Sf1相差一個刀轉角j1.

(5)

(6)

由左旋雙圓弧外錐齒輪切削刃錐面方程rd01，可求得左旋雙圓弧外錐齒輪切削刃錐面單位法向矢量nd01為：

(7)

圖5 左旋錐齒輪齒面展成坐標系Fig.5 Coordinate systems between generating gear and left-hand bevel gear

建立如圖5所示左旋錐齒輪齒面展成坐標系.圖中，Sm1(Om1-xm1,ym1,zm1)為機床固定坐標系，S1(O1-x1,y1,z1)為左旋雙圓弧外錐齒輪的固連坐標系，S10(O10-x10,y10,z10)為錐齒輪安裝坐標系.δ1為展成加工時工件的安裝角，即坐標軸xm1與x10的夾角，其值等于左旋雙圓弧外錐齒輪節(jié)錐角；φc1為右旋產(chǎn)形輪固定坐標系Sc1的轉角，則左旋雙圓弧外錐齒輪展成加工時的旋轉角度φ1=ic1φc1，ic1=zc1/z1為展成加工時的切齒滾比值，z1、zc1分別為左旋雙圓弧外錐齒輪齒數(shù)及其相對應的產(chǎn)形輪齒數(shù).

(8)

(9)

當展成加工時，左旋雙圓弧外錐齒輪與其對應的平面產(chǎn)形輪在機床固定坐標系Sm1中滿足以下方程式：

(10)

(11)

(12)

式中，rc1(1)、rc1(2)、rc1(3)分別為右旋產(chǎn)形輪齒面位置矢量rc1中元素1至元素3的值.

由于φ1與φc1滿足φ1=ic1φc1，故聯(lián)立式(8)、(9)和(10)，可得左旋雙圓弧外錐齒輪齒面關于αi、φ1的位置矢量和單位法向矢量.

2.2 雙圓弧內錐齒輪齒面方程

2.2.1 左旋平面產(chǎn)形輪

圖6 左旋產(chǎn)形輪產(chǎn)成坐標系Fig.6 Coordinate system of the left-hand imaginary generating

(13)

(14)

2.2.2 雙圓弧內錐齒輪齒面方程推導

建立左旋平面產(chǎn)形輪與右旋雙圓弧內錐齒輪幾何位置關系及虛擬展成坐標關系, 如圖7、8所示. 圖中，Sm2(Om2-xm2,ym2,zm2)、S2(O2-x2,y2,z2)、S20(O20-x20,y20,z20)分別為機床固定坐標、雙圓弧內錐齒輪固定坐標系和展成輔助坐標系. 圖8中，δ2表示坐標軸xm2與z20的夾角，其值等于雙圓弧內錐齒輪節(jié)錐角；φc2為左旋平面產(chǎn)形輪關于旋轉軸zc2轉角；φ2為虛擬展成齒面時雙圓弧內錐齒輪關于軸z20轉角，且φ2=ic2φc2，ic2=zc2/z2為內錐齒輪虛擬展成滾比值，z2、zc2分別為雙圓弧內錐齒輪齒數(shù)及相對應左旋平面產(chǎn)形輪齒數(shù).

圖7 左旋產(chǎn)形輪與內錐齒輪位置關系Fig.7 Relationship between the left wheel and the inner bevel

圖8 內錐齒輪虛擬展成坐標系Fig.8 Virtual development coordinate of internal bevel gear

(15)

(16)

根據(jù)齒輪嚙合原理，左旋平面產(chǎn)形輪與右旋雙圓弧內錐齒輪進行展成運動時，在Sm2中滿足關系式：

(17)

(18)

(19)

式(19)中，rc2(1)、rc2(2)、rc2(3)分別為左旋產(chǎn)形輪齒面位置矢量rc2中元素1至元素3的值.

因為φ2與φc2滿足φ2=ic2φc2，故聯(lián)立式(15)、(16)和(17)，可得雙圓弧內錐齒輪齒面位置矢量及單位法向矢量關于αi和φ2的表示式.

3 實例計算與嚙合特性仿真驗證

不妨以表1所示的某單級章動減速器中的內嚙合雙圓弧錐齒輪副為例，進行該嚙合副的齒面數(shù)據(jù)求解、三維建模與接觸仿真，以驗證前述齒面設計方法的正確性.

表1 內嚙合雙圓弧錐齒輪副幾何參數(shù)與齒面設計變量

3.1齒面數(shù)據(jù)求解及三維建模

首先，根據(jù)齒輪副幾何參數(shù)和齒面設計變量求得雙圓弧內、外錐齒輪齒面方程所對應參變量的變化范圍.其次，利用Matlab獲得精確的齒面點云數(shù)據(jù)，其結果如圖9(a1)、(a2)所示.再次，利用Solidworks的曲面造型功能及剪切命令得到雙圓弧內、外錐齒輪齒面輪廓.最后，通過實體切除及陣列功能即可得到內、外齒輪的三維實體模型，并進行內嚙合雙圓弧錐齒輪副裝配及干涉檢查，其結果分別如圖9(b)～(d)所示.

圖9 內嚙合雙圓弧錐齒輪齒面點云及三維模型Fig.9 Surface point cloud and 3D model of internal meshing double circular bevel gears

3.2 有限元接觸分析仿真

將內嚙合雙圓弧錐齒輪副模型導入ANSYS軟件中，采用自由網(wǎng)格劃分技術生成如圖10(a)所示的四面體單元網(wǎng)格，并建立內嚙合雙圓弧錐齒輪齒面接觸分析的有限元模型.對其開展接觸分析，結果如圖10(b)～(f)所示.

圖10 有限元接觸仿真Fig.10 Finite element contact simulation

由圖10(b)、10(c)所示的接觸應力云圖可知，雙圓弧錐齒輪副在單一時刻有3對輪齒產(chǎn)生了接觸，完全嚙合齒對呈現(xiàn)出雙點接觸的情況，即在凹、凸工作齒面均有接觸，而在進入嚙合或脫離嚙合的齒對上，呈現(xiàn)單點嚙合的情況.其最大應力值為433.94 MPa，小于材料的強度極限，符合強度設計要求.圖10(d)、10(e)、10(f)進一步給出了內嚙合雙圓弧錐齒輪從嚙入到嚙出過程中3個時刻的齒面接觸情況.由圖可知，內嚙合雙圓弧錐齒輪副經(jīng)歷了單點接觸-雙點接觸-單點接觸的嚙合過程，且嚙合位置始終位于凹凸工作齒面上并沿著齒寬方向移動.內嚙合雙圓弧錐齒輪副嚙入至嚙出的齒面接觸情況證明了雙圓弧擺線錐齒輪符合內嚙合雙圓弧錐齒輪點接觸傳動特點.由此可見，基于端面滾切法所設計的內嚙合雙圓弧錐齒輪能夠滿足多齒接觸、雙接觸區(qū)域、高承載性的傳動要求，可作為章動減速器的傳動零件.

4 結語

1) 根據(jù)齒輪嚙合原理與端面滾切加工方法，從雙圓弧刀齒切削刃方程出發(fā)，推導切齒刀盤、平面產(chǎn)形輪及內嚙合錐齒輪副三者之間的展成運動關系，建立了雙圓弧內、外錐齒輪的齒面方程.

2) 在雙圓弧錐齒輪齒面方程的基礎上，生成雙圓弧錐齒輪復雜齒面的精確點云數(shù)據(jù)，并利用Solidworks軟件建立了內嚙合雙圓弧錐齒輪副的三維模型.

3) 在ANSYS環(huán)境下，對內嚙合雙圓弧錐齒輪副進行了嚙合特性仿真.結果表明，基于所提端面滾切加工方法生成的內嚙合雙圓弧錐齒輪副能夠實現(xiàn)單點接觸-雙點接觸-單點接觸的接觸特性；工作齒面始終位于凹凸齒面且接觸良好，可實現(xiàn)正確嚙合傳動.