最佳常數(shù)問題的幾類證法研究

廖春艷，羅 鳳

(湖南科技學(xué)院 理學(xué)院，湖南 永州 425199)

有關(guān)最佳常數(shù)問題的證明對證明技巧和綜合運用知識能力要求較高，證明方法靈活多變。文獻[1-2]對歷年來考研競賽試題中出現(xiàn)的積分等式及不等式的證明方法做了專題介紹。文獻[3]主要是對包含f(x),f′(x),f″(x)的積分不等式的最佳常數(shù)進行了深入分析，因為對區(qū)間的分割不斷改進，得到了更加精細的計算結(jié)果，最終得到了最佳的積分常數(shù)。文獻[4]是在文獻[3]的基礎(chǔ)上給出了利用二等分法證明了包含f(x),f′(x),f″(x)的積分不等式，并證明了這個最佳常數(shù)為p=4。在上述文獻中，更多的是集中在對積分不等式證明方法的討論，而對不等式中的關(guān)鍵常數(shù)研究并不多[5-6]，本研究將給出幾種證明最佳常數(shù)的常用方法。

1 利用著名積分不等式證明最佳常數(shù)問題

引理2.1[1](Schwarz積分不等式引理)設(shè)f(x)和g(x)在[a,b]上可積，則有Schwarz不等式：

若f(x),g(x)∈C[a,b]，則當?shù)忍柍闪r，當且僅當存在不同時為0的常數(shù)α,β，使得αf(x)=βg(x)。

引理2.2[1](Chebyshev不等式)若函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(x),g(x)在[a,b]上單調(diào)性一致，則有：

Schwarz積分不等式和Chebyshev不等式在很多重要場合都可以用到，在考研競賽試題中也有廣泛應(yīng)用。在積分不等式中，如果被積函數(shù)或積分出現(xiàn)了平方形式，可以考慮利用Schwarz積分不等式進行證明。在解決區(qū)間上含有單調(diào)并且連續(xù)的被積函數(shù)的積分不等式這一類問題時，可使用Chebyshev不等式去證明。證明中巧妙利用一些著名積分不等式是處理積分不等式的重要方法與技巧。

并說明右邊系數(shù)2是最佳的。

證明由Chebyshev不等式可得：

由Schwarz積分不等式得：

以下證明積分不等式中的2為最佳常數(shù)，令

f(t)=1,g(t)=t+ε,ε>0,則：

=2ln(1+2ε)-2ln2-2lnε,

故由此可得2為此積分不等式中的最佳常數(shù)。

2 利用Lagrange中值定理證明最佳常數(shù)問題

Lagrange中值定理在數(shù)學(xué)分析中的微分學(xué)中占據(jù)核心地位，它是聯(lián)系函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，也是微分學(xué)應(yīng)用中的一個橋梁，在理論研究領(lǐng)域和實際中都有著很高的價值。在證明積分等式及不等式中，如果含有f(x)及導(dǎo)數(shù)f′(x),f″(x)或含有最值時，最常用的方法是借助微分中值定理進行分析，在解決過程中往往需要依據(jù)所要證明的不等式來構(gòu)造輔助函數(shù)。

例2 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上二階連續(xù)可導(dǎo)，則：

且右邊的常數(shù)4不能用更小的數(shù)值代替。

分析：函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,1]上二階連續(xù)可導(dǎo)，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)滿足最值性、介值性，同時由條件易知滿足了微分中值定理的條件，因此在證明過程中試圖從最值性和中值定理這兩個角度出發(fā)來證明，同時發(fā)現(xiàn)在積分不等式中被積函數(shù)都帶有絕對值，由此想到可以借助積分的絕對值性質(zhì)來證明。

=|f′(x1)-f′(x0)|≥|f′(x1)|-|f′(x0)|

②若f(x)在[0,1]上沒有零點，那么不妨假設(shè)f′(x)>0，即f(x)在[0,1]上嚴格單調(diào)遞增。

(i)當f(x)≥0,x∈[0,1]時，由Lagrange中值定理可知：

f(x)-f(0)=f′(ξ)x,則:

(ii)當f(x)≤0,x∈[0,1]時，

(iii)當f(x)在區(qū)間[0,1]上有唯一零點時，記該點為a，可得：

以下證明常數(shù)4不能用更小的數(shù)值代替，若假設(shè)0

由以上的代入結(jié)果可以得出的結(jié)論為k≥4，這與假設(shè)0

3 構(gòu)造函數(shù)列證明最佳常數(shù)問題

積分不等式的證明在數(shù)學(xué)中是最常見的題型，通過構(gòu)造函數(shù)列來解決問題時，通過觀察題目的條件和結(jié)論，設(shè)法構(gòu)造一個符合題目條件的函數(shù)列，先找到基于該特殊函數(shù)列的常數(shù)，再證明該常數(shù)是最佳常數(shù)。這類型題目最難的是構(gòu)造合適的函數(shù)列，這種方法從特殊情況出發(fā)，既可以簡化證明，又能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性。

分析：此題目要證明的是實數(shù)C最小值為c=2，是一個最值問題，也就是一個最優(yōu)解問題，可以用構(gòu)造函數(shù)列來解決最優(yōu)解問題。通過構(gòu)造函數(shù)列，利用積分進行求解，構(gòu)造函數(shù)列最好構(gòu)造熟悉簡單的函數(shù)列，有利于求解。

fn(x)=(n+1)xn,x∈[0,1]

由于被積函數(shù)在積分區(qū)間上為非負，因此

因此在滿足條件的函數(shù)列{fn(x)}下，c=2。

由不等式的左邊可得：