混合網絡中疾病傳播的數值模擬

吳 曉

(海南醫學院物理教研室，海口 571199)

復雜網絡的研究一直以來都是人們關注的重要課題[1-2]，如復雜網絡模型、復雜網絡的疾病傳播[3-4]與控制、復雜網絡的同步[5]等。設計與實際網絡更為接近的網絡模型是復雜網絡的基礎。目前，規則網絡、ER隨機網絡、NW小世界網絡、Scale-free無標度網絡、衰減網絡[6]、等級網絡[7]等都是比較實際的網絡模型。從這些網絡特點可以看出，其具有與實際相符的內在演化機制，如規則、隨機、偏好、衰減、等級等，因此提出與實際人群關系網絡更為接近的網絡模型，更能準確反映實際網絡的拓撲特性和相關動力學。現實生活中，人群交往在一個小的人群范圍內，人與人彼此都認識，他們之間的交往可能按照偏好機制，當人群范圍擴大，人與人之間就不可能都認識，那么他們的交往就可能部分是隨機的、偶然的，也可以理解為現實網絡不僅有節點的偏好連接，當節點增加到一定范圍后，也有內部節點的隨機連接。

1 網絡模型

開始時網絡中有m個節點，彼此任意連接(不重連，m=3)。

當節點數量大于N0=1000，以p的概率節點增加的偏好連接，以1-p概率節點內部隨機連邊(不重連)，連邊數量與偏好連接數量相等。

網絡按步驟循環，直到達到規定節點數量N。

為了與實際網絡吻合，內部連邊概率不宜過大(p≤0.5)，否則網絡會趨近隨機網絡(也就是p=0)。

2 數值模擬結果與討論

2.1 度分布與平均度

在有限尺度的均勻網絡(隨機網絡)和非均勻網絡(無標度網絡)中，平均度與度分布P(k)是網絡拓撲結構的重要參數，也是對流行病傳播動力學影響比較大的因素[8-9]。從圖1來看，當概率p=1時，網絡是BA網絡，度分布呈冪率分布γ=-3，當概率p=0.7和p=0.5時，偏好連接減小，隨機內部連邊增加時，度分布P(k)冪率分布的情況不再保持，曲線尾部開始轉向隨機網絡的度分布—泊松分布，也是網絡由非均勻網絡向均勻網絡過渡，其中p=0.7時，網絡度分布呈現與實證合作網相同的度分布，由此可以推斷實際網絡應該是這兩種機制共存的混合網絡。圖2中，當概率p=1時，平均度=6，隨著概率p減小，隨機內部連邊增加，平均度也逐漸增加，且呈非線性變化。

圖1 不同概率p下的度分布P(k)Fig.1 P(k) under different p

圖2 平均度隨概率p變化曲線Fig.2 Curve of the changes of with p

2.2 傳播動力學

復雜網絡上流行病傳播動力學基于流行病模型，常見的流行病模型有：SI、SIS、SIR(S 代表易感人群 ，I 代表感染人群，R 為免疫人群)，選取了這三種經典流行病模型進行模擬研究。

2.2.1 SI模型

在SI模型中，總人數N(也就是網絡的尺度)被認為是常數，S(t)和I(t)是易感染個體和染病個體的數量，相應的N=S(t)+I(t)。在SI模型中，傳播概率被定義為λ, 易感染個體通過其染病近鄰個體而被感染，同時，模型中的染病個體始終保持染病狀態，不能康復。在SI流行病模型的模擬中，選取了N=10 000，隨機選擇初始染病節點50個，傳播概率λ=0.01進行模擬，ρI代表染病節點數占總數的比例(染病節點的密度)。

從圖3來看，隨著概率p的減小，隨機連邊增加，節點染病密度ρI隨時間演化曲線保持一致，但流行病蔓延整個網絡的時間縮短，p=1,t≈150；p=0.5,t≈100。從三者曲線比較來看，在每一個時間步，p=0.5的概率所占據的染病節點密度最大。因此，此類流行病爆發后，盡量減少與陌生人接觸(節點的隨機加邊)，是控制此類疾病傳播范圍的有效措施。

圖3 節點染病密度ρ(I)隨時間t的變化曲線Fig.3 Changing curve of ρ(I) with t

2.2.2 SIS模型

在SIS傳播模型中，個體在網絡中的狀態是一個循環的過程：易感染態—感染態—易感染態。在每一個時間步，每一個易感染節點被其一個或多個染病近鄰以概率ν感染，同時染病的個體以δ(一般情況下，取δ=1)的概率被治愈或再次變成易感染的狀態。SIS模型中，有效的傳播概率定義為：λ=ν/δ，染病個體的密度(染病個體數目占總人數的比例)ρI。在SIS流行病模型的模擬中，選取N=10 000，隨機選擇初始染病節點為 50個，感染概率ν，康復概率δ=1進行模擬，有效的傳播概率為：λ=ν/δ=ν/1=ν,ρI代表感染節點數占總數的比例(染病節點的密度)。

從圖4整體上可以看出，流行病傳播到一定時間會形成穩態，疾病以一定的密度ρI維持在人群網絡中，不會消失。概率p的變化不影響染病節點密度ρI隨時間變化的曲線形態。在有效傳播概率λ一定，隨著概率p的減小，染病節點形成穩態的密度會逐步增加，從p=1,ρ(I)≈0.08增加到p=0.5,ρ(I)≈0.28。在圖5中發現，當概率p減小，隨機加邊增加，不同疾病傳播概率(λ=0.5)情況下，穩態密度隨概率p存在近似的線性變化。

圖4 有效傳播概率λ=0.1，不同概率p下穩態密度ρ(I)變化曲線Fig.4 Changing curve of steady state density ρ(I) under the condition of effective communication λ=0.1 and different p

圖5 不同概率p下，傳播概率λ與穩態密度ρ(I)變化曲線Fig.5 Changing curve of steady state density ρ(I) under the condition of different p and communication probability λ

圖6 傳播臨界值λC隨概率p變化曲線Fig.6 Curve of spread critical value λC with p

2.2.3 SIR模型

在SIR傳播模型中，R為免疫態，即治愈后并獲得免疫能力的個體，這類節點不具有傳染能力。實際生活中，水痘這類治愈后獲得免疫的傳染病，往往可以用SIR模型來描述。在每一個時間步，每一個易感染節點被其一個或多個染病近鄰以概率ν感染，同時染病的個體以δ的概率被治愈并不再被傳染。三種狀態個體的密度S(t)，R(t)，I(t)隨時間變化的曲線如圖7、8所示。選取N=10 000，隨機選擇初始染病節點為 50個，(1)感染概率ν=0.1，康復概率較小δ=0.02進行模擬，見圖7。(2)感染概率ν=0.1，康復概率較小δ=0.3進行模擬，見圖8。兩者圖像整體比較，康復概率較小和康復概率較大，R態呈現出不同的變化曲線。從圖7來看，S態節點最終在網絡中不存在，網絡節點只存在I態和R態，當康復概率較小時，概率p減小，隨機連邊增加，三種狀態整體曲線形態沒有改變，S態節點密度在相對消亡時間上有所延長(p=1,t=9；p=0.5,t=25)，I態節點密度減小，R態節點密度近似線性增加。從圖8來看，有小部分S態節點存在網絡中，當概率p減小，隨機連邊增加，I態節點消亡時間上縮短，S態節點密度會減小(p=1,ρ(S)≈0.39；p=0.5,ρ(S)≈0.19)，R態節點密度增加，I態節點最終在網絡中消亡，網絡中只存在S態和R態的節點。可以說，大的康復概率對疾病的消亡更有利，當然這取決于更有效的免疫藥物、更好的醫療水平能讓病人在短時間內康復。

圖7 感染概率ν=0.1，康復概率δ=0.02不同概率p下S、I、R態密度隨時間變化曲線Fig.7 Changing curve of S, I and R density state with time under the condition of infection probability ν=0.1, recovery probability δ=0.02 and different p

圖8 感染概率ν=0.1 康復概率 δ=0.3不同概率p下S、I、R態密度隨時間變化曲線Fig.8 Changing curve of S, I and R density state with time under the condition of infection probability ν=0.1, recovery probability δ=0.3 and different p

3 總結

提出隨機和偏好機制共存的網絡-混合網絡，并在此網絡上數值模擬流行病傳播的相關過程，發現概率p減小，隨機連邊增加，會帶來SI型疾病傳播時間縮短、SIS型疾病中節點染病密度增加、傳播閾值λC減小等相關不利影響，但在SIR型疾病中會有相反的變化：感染概率一定，較小的恢復概率中，I態密度減小；較大的恢復概率中，I態消亡時間縮短，依此理論來指導實際的疾病預防工作，具有一定的參考價值。