一道“不等式恒成立”問題的解答探究

安徽省合肥市第四中學 (233000) 管良梁

導數中不等式恒成立問題，對于學生而言一直都是一個難點.處理此類問題一般有兩種方法：分類討論、參數分離.學生遇到“不等式恒成立”問題，首選的方法就是“參數分離”.本文簡要呈現師生應用“參數分離”解決一道“不等式恒成立”問題的思考與解答歷程，嘗試對這類方法進行梳理，希望能起到拋磚引玉的作用.

1 問題呈現

(1)討論函數f(x)的單調性；

(2)當a>0時，對任意x∈(0,+∞)，不等式aex+(a+1)x≥(a+1)g(x)恒成立，求實數a的取值范圍.

2 解答探究

本題的第(1)問比較簡單，學生基本能獨立完成.第(1)問答案：當a>0時，單調遞增區間為(-∞,-2)和(0,+∞)，單調遞減區間為(-2,0)；當a<0時，單調遞增區間為(-2,0)，單調遞減區間為(-∞,-2)和(0,+∞).第(2)問學生解答展示：

評注：解法1在對xex+1-2x正負的判斷過程中計算量較大，花費的時間較多，學生很難獨立完成.

在解法1的基礎下引導學生能不能通過不同的變形簡化計算？

解法2雖然比解法1要簡單一點，但是計算還是比較繁瑣，繼續引導學生變形簡化計算.

評注：由于解法3在變形的過程中除以的a+1和ex都大于0，所以計算量大幅減小，從而提高了解題效率.

在解法3的提示下，有學生提出了解法4.

評注：解法4和解法3類似，在變形的過程中除以的a+1和ex都大于0，所以計算量也大幅減小，解題效率也得以提高.

3 解后反思

相比較而言解法3和解法4，雖然沒有分“干凈”，但是解答起來比較方便.所以遇到此類問題時，需要我們結合條件觀察不等式的結構特點，選擇合適的分參方式，簡化計算，提高解題效率.