2021年新高考Ⅰ卷導數壓軸題求解與延伸

福建省福清第三中學 (350315) 何文昌 何 燈

2021年新高考Ⅰ卷聚焦核心素養，突出關鍵能力考查，科學把握必備知識與關鍵能力的關系，穩中求新，平和中蘊含不平凡，全面體現了基礎性、綜合性、應用性和創新性的考查要求.試卷導數壓軸題考查函數同構與極值點偏移，雖然題型較老，但老中見新，給人以啟迪，本文擬對此題進行一些思考，與同仁交流.

試題呈現已知函數f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調性；

命題立意：本題以不等式證明為載體，考查利用導數研究函數的極值、最值，不等式等基礎知識；考查邏輯推理能力，直觀想象能力，運算求解能力，創新能力等，考查函數與方程思想，化歸與轉化思想，數形結合思想，分類與整合思想等；體現綜合性和創新性．

解法分析：(1)f(x)在(0,1)單調遞增,在(1,+∞)單調遞減.(過程略)

解法一：(構造函數)要證20，只需證f(2-x1)-f(x1)>0.要證x1+x20，只需證明f(x1)-f(e-x1)>0.構造函數g1(x)=f(2-x)-f(x)(x∈(0,1))，g2(x)=f(x)-f(e-x)(x∈(0,1))，利用導數研究g1(x)及g2(x)的單調性，可證g1(x)>0及g2(x)>0，從而得證2

在對試題進行求解的過程中，筆者發現利用上述解法二可實現原不等式鏈進一步的延伸，經過整理，筆者得到如下結論.

結合原試題，得證式(2)成立，從而式(1)成立.