巧設“圓系” 事半功倍

廣東省佛山市順德區李偉強職業技術學校 (528300) 王曉敏

在2019年版高中數學教材選擇性必修第一冊第二章《直線與圓》中，第98頁中有如下幾道關于圓的方程的問題.

題1 求經過點M(2,-2)以及圓x2+y2-6x=0與圓x2+y2=4交點的圓的方程.

題2 求圓心在直線：x-y-4=0上，并且經過圓x2+y2+6x-4=0與圓x2+y2+6y-28=0的交點的圓的方程.

題3 求圓x2+y2-4=0與圓x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的長.

題4 求經過點M(3,-1)且與圓x2+y2+2x-6y+5=0相切于點N(1,2)的圓的方程.

上述4道題目的難度并不大，均可通過待定系數法求得相應的參數，但求解的運算量較大.結合問題的信息，本文通過構造“圓系”方程來進行求解.

一、“圓系”方程簡介

“圓系”方程，顧名思義即是滿足某類條件的一些列的“圓”的方程.常見的構造“圓系”方程的技巧有如下幾種：

(1)同心圓的圓系方程：(x-a)2+(y-b)2=λ2(λ>0)或x2+y2+Dx+Ey+λ=0.

(2)設直線當l與圓C相交，則有過直線l:Ax+By+C=0與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0交點的圓系方程為：C+λl=0,即x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0.特別地，當l與C相切時，上方程依然成立.

(3)與直線l:Ax+By+C=0上一點P(x0,y0)相切的圓系方程為：(x-x0)2+(y-y0)2+λ(Ax+By+C)=0.

(4)設圓C1與圓C2相交，則過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程為：C1+λC2=0，即x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.特別地，當λ=-1時，上方程則退化為過圓C1與圓C2交點的直線方程.

當上述方程無法表示圓C2，可利用交點直線改進上方程如下：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ[(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)]=0[1].

觀察可知，利用上述第(4)點即可快速求解前三題.對于題4，也可選擇構造圓系方程求解.主要思路如下：

評注：原問題僅提到“相切”關系，常規解法還需要判斷是“內切”還是“外切”，利用“圓系”方程回避了該問題，且降低了運算量.

二、利用“圓系方程”求解舉例

例2 已知拋物線y=x2+mx-2與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為(3,1)，圓Q過A，B，C三點，當實數m變化時，存在一條定直線l被圓Q截得的弦長為定值，求此定直線l的方程.

解析：設點A，B的坐標為(x1,0)，(x2,0).根據韋達定理可得x1+x2=-m，x1·x2=-2.則以AB為直徑的圓的方程為P:(x-x1)(x-x2)+y2=0，化簡可得P:x2+y2+mx-2=0.

設圓M為過點A，B的所有圓.點A，B所在的直線方程為y=0，再結合第(2)類模型可得以AB為直徑的圓的方程可得對應的“圓系方程”為M:x2+y2+mx-2+λy=0，再令M過點C，則有λ=-3m-8，代入圓系方程則可得圓Q的方程為x2+y2+mx-2-(3m+8)y=0(這也是一個圓系方程).化簡得x2+y2-8y-2+m(x-3y)=0.設圓N:x2+y2-8y-2=0，直線l:x-3y=0，設圓N與直線l的交點C，D，則圓Q為經過點C，D的所有圓.因為點C，D為兩個固定點，所以存在一條定直線l被圓Q截得的弦長為定值，該直線為l:x-3y=0.

例3 已知ΔABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2.若b2-c2=8，當A取得最大值時，求ΔABC的面積．

解析：如圖1，以點B，C所在直線為x軸，BC線段的中點O為原點建立直角坐標系.可得點B，C的坐標分別為(-1,0)，(1,0).設點A的坐標為(x,y).根據條件b2-c2=8，化簡可得點A的軌跡為x=-2(y≠0).

圖1

原問題轉換為在直線x=-2上找一個點A使得該點對BC的張角達到最大值，并求得此時對應的ΔABC的面積.

該問題便是非常經典的米勒問題：根據文[2]中的結論可知，如圖2，當點A為對應的米勒圓與直線x=-2的切點時，點A對BC的張角(即角A)達到最大值.

圖2