幾何直觀下的函數(shù)“取點”探究*

廣州大學附屬中學 (510006) 陳經(jīng)緯

函數(shù)零點問題是高考重點考查內(nèi)容，特別是判斷零點存在或個數(shù)時具有很高的區(qū)分度，備受命題者青睞.在解決此類問題時，常常需要我們找函數(shù)值大于0或者函數(shù)值小于0的點，再結(jié)合零點存在性定理來判斷零點個數(shù)，廣大師生對取點的方法和技巧比較困惑，本文通過函數(shù)圖像直觀地闡述取點當中的本質(zhì)問題，希望能拋轉(zhuǎn)引玉.

一、由三類函數(shù)圖像關(guān)系提煉出常用的不等式

函數(shù)取點問題本質(zhì)是放縮，讀者更關(guān)心的關(guān)鍵問題是如何放縮，一般來講在取點過程中，不可避免地需要考查指數(shù)函數(shù)y=ex，對數(shù)函數(shù)y=lnx和冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))的大小關(guān)系，我們先來看指數(shù)y=ex和部分冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))及衍生函數(shù)的圖像，如圖1.

圖1

再來看對數(shù)函數(shù)y=lnx和部分冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))及衍生函數(shù)的圖像，如圖2.

圖2

二、放縮的基本手法

通過軟件展示函數(shù)圖像提煉出不等式，主要是為取點放縮做鋪墊，理解和掌握某種數(shù)學方法往往需要通過解題來表達和完善，筆者認為函數(shù)取點的方法多種多樣，只要是符合題意的都可以，結(jié)合自己多年教學實踐以及對高考真題和模擬題的研究，筆者認為函數(shù)零點取點放縮有以下幾個基本手法并結(jié)合具體題目進行分析:

基本手法一：將有界函數(shù)大膽放縮成常數(shù)；

基本手法二：當函數(shù)有多項時，根據(jù)第一部分中提煉出的不等式進行部分項放縮.

例3 (2017年全國高考新課標I卷理21題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x(00

基本手法三：當函數(shù)有多項時，有時需要添項、并項、拆項后放縮.

基本手法四：利用不等式來限制取點

例6 (2016年全國Ⅰ理21題節(jié)選) 已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2(a>0)有兩個零點．求a的取值范圍.

三、啟示

在函數(shù)零點取點過程中，手段是恰當?shù)胤趴s，本質(zhì)是函數(shù)間的關(guān)系，本文通過幾何直觀把解題中經(jīng)常使用的不等關(guān)系展示出來，這種不等式關(guān)系不是冰冷的，而是活生生的圖像關(guān)系，以便讓讀者有一個形象的認識，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.在解題教學中，教師僅僅展示解題過程和結(jié)果是不夠的，要深刻地分析題目的內(nèi)在原因，在日益突出核心素養(yǎng)考查的當下，我們需要將解題需要的數(shù)學思想和方法傳遞給學生，讓學生對問題的認識上升到一個新的高度，解題活動結(jié)束后要求學生對自己的解題活動加以回顧、分析與研究，把解題的主要思想、關(guān)鍵因素進行概括，從而幫助學生從具體的題目中抽象出來，達到徹底掌握一類問題的解題思想與方法.