一道THUSSAT試題的“消元”解法探究

福建省閩清縣第一中學(xué) (350800) 林 浩

在各類數(shù)學(xué)考試中，二元條件最值問題備受命題者的青睞.這類問題的求解往往技巧性強(qiáng)，考生不易掌握.掌握求解這類問題的模式和方法是解答的關(guān)鍵.下面對一道THUSSAT測試題，從“消元”的視角，運(yùn)用10種方法進(jìn)行解答，希望從中可以得到一些有益的啟示.

1.試題呈現(xiàn)

2.解法探究

分析1:消元a——轉(zhuǎn)化為b的式子——“1”的代換，利用二元均值不等式求解.根據(jù)已知式將a表示為b的式子，并代入所求式消去a，得到關(guān)于b的式子，進(jìn)行“1”的代換，變形、配湊，利用二元均值不等式求解.

分析2:消元b——轉(zhuǎn)化為a的式子——利用二元均值不等式求解.根據(jù)已知式將b表示為a的式子，并代入所求式消去b，得到關(guān)于a的式子，進(jìn)行“1”的代換，變形、配湊，利用二元均值不等式求解.

分析3:消元a——轉(zhuǎn)化為b的式子——利用柯西不等式求解.根據(jù)已知式將a表示為b的式子，并代入所求式消去a，得到關(guān)于b的式子，變形出柯西不等式左邊的形式，利用柯西不等式求解.

分析4:消元b——轉(zhuǎn)化為a的式子——利用柯西不等式求解.根據(jù)已知式將b表示為a的式子，并代入所求式消去b，得到關(guān)于a的式子，變形出柯西不等式左邊的形式，利用柯西不等式求解.

分析5:消元a——轉(zhuǎn)化為b的式子——利用權(quán)方和不等式求解.根據(jù)已知式將a表示為b的式子，并代入所求式消去a，得到關(guān)于b的式子，變形出二維權(quán)方和不等式左邊的形式，利用二維權(quán)方和不等式求解.

分析6:消元b——轉(zhuǎn)化為a的式子——利用權(quán)方和不等式求解.根據(jù)已知式將b表示為a的式子，并代入所求式消去b，得到關(guān)于a的式子，變形出二維權(quán)方和不等式左邊的形式，利用二維權(quán)方和不等式求解.

點(diǎn)評：解法2通過配湊和常數(shù)代換，利用均值不等式求解.這是求解二元條件最值問題常用的基本方法.

分析7:消元a——轉(zhuǎn)化為b的函數(shù)——求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求解.根據(jù)已知式將a表示為b的式子，并代入所求式消去a，設(shè)所求式為z，轉(zhuǎn)化為z關(guān)于b的函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求得z的最小值，即得解.

分析8:消元b——轉(zhuǎn)化為a的函數(shù)——求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求解.根據(jù)已知式將b表示為a的式子，并代入所求式消去b，設(shè)所求式為z，轉(zhuǎn)化為z關(guān)于a的函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求得z的最小值，即得解.

分析9:消元a——轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的一元二次方程——利用判別式求解：根據(jù)已知式將a表示為b的式子，并代入所求式消去a，設(shè)所求式為z，轉(zhuǎn)化為關(guān)于b一元二次方程，利用判別式求得z的范圍，即得解.

分析10:消元b——轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一元二次方程——利用判別式求解.根據(jù)已知式將b表示為a的式子，并代入所求式消去b，設(shè)所求式為z，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a一元二次方程，利用判別式求得z的范圍，即得解.

3.解題啟示

雖然二元變量的條件最值問題種類繁多、情形復(fù)雜，但無論情形多么復(fù)雜，在兩個變元所滿足的相互關(guān)聯(lián)的式子中，運(yùn)用“消元”手段，通過構(gòu)造函數(shù)、方程等數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為利用均值不等式或?qū)?shù)等工具求最值，則是求解這類問題常用的基本思路和方法.

對典型試題進(jìn)行多解探究，就是指對問題從不同視角來審視，以不同的切入點(diǎn)探究問題不同的解答方案.經(jīng)常進(jìn)行這方面的訓(xùn)練，既能梳理解決這類問題的一般方法，尋求解答此類問題的通性通法，揭示問題的本質(zhì)和一般規(guī)律，又能拓寬學(xué)生的知識面，權(quán)衡解法優(yōu)劣，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題效率，還能溝通知識間的聯(lián)系，厘清知識脈絡(luò)，構(gòu)建完整的知識體系，使知識、方法、能力融為一體，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題，開發(fā)智能，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì).