對一道三角形面積最值問題的探究*

重慶市合川中學 (401520) 胡學剛

內江師范學院數學與信息科學學院 (641100) 劉成龍

一、問題呈現

本題敘述簡潔，內涵豐富，考查了解三角形、余弦定理、面積公式、函數最值、平面向量等高中主干知識，解答視角寬，具有較強的典型性和探究性，有一定難度和區分度.解決問題的關鍵是對模長的多角度處理，過程涉及轉化與化歸思想、數形結合思想、函數與方程思想等的運用.

二、解法探究

視角1 代數運算視角

思路分析1:對向量模長直接平方,結合余弦定理和三角形面積公式求解.

思路分析3：因為已知條件可以全部轉化為三角形三邊的關系,所以可以直接利用海倫—秦九韶公式求解.

解法3：由解法1知,a=2,10b2+15c2=124.

評注：以上3種解法都是從代數角度出發，抓住向量模長平方的常見處理方式，結合余弦定理聯立求解，屬于通性通法.具體來講，解法1直接對已知中的模長平方，利用轉化與化歸，將面積表示成只含一個變量的邊或角的函數關系，因為轉化成角較困難，所以直接轉化成c或b邊，再利用二次函數的最值得到求解.解法2利用了已知條件BC=2，將條件先轉化為已知向量的模長后再平方，降低了運算量，與解法1本質上一樣.解法3直接利用海倫—秦九韶公式，將邊直接代入化簡，繞開了面積公式的推導，從而簡化了運算.

視角2 解析幾何角度

思路分析4：因為向量具備數和形的特征，所以可以考慮建立合適的直角坐標系，利用點A縱坐標滿足的不等關系求解.

圖1

思路分析5：因點A坐標滿足的方程可化為圓的標準方程，所以可利用A點的軌跡求解.

評注：以上2種解法均建立了坐標與面積間的關系.解法4是直接利用不等式的性質求出最大值，而解法5是利用了A點的軌跡求解，都體現了數形結合思想.

視角三 平面幾何角度

思路分析6：因為BC邊長度是定值，所以只要BC邊上的高取得最大值即可.

解法6：由解法1得 10b2+15c2=124.在ΔABC中,過A作AD⊥BC交BC于D.

圖2

圖3

圖4

圖5

評注:以上4種解法都是從平面幾何角度出發，探求三角形面積的最大值.解法6是直接設高，利用函數與方程等思想求出高的最大值.解法7-9是利用向量模長的幾何意義，巧妙構造幾何圖形，利用數形結合等思想探究BC邊上高的最大值.平面幾何法構造巧妙，相比代數法和解析幾何法更簡單、直觀，可充分發展學生直觀想象、邏輯推理等核心素養.

三、問題推廣

推廣是數學研究的重要手段,數學的發展在很大程度上依賴于推廣.數學家總是在已有知識的基礎上,向未知的領域擴展,從實際的概念及問題推廣出各式各樣的新概念、新問題具體來講，推廣是指根據問題結構或解決方法，將數學問題從一個較小的范圍拓展到更大范圍的研究過程.數學推廣為學生提供了數學探究活動的基本方法和路徑,這是因為數學推廣本身就是數學研究的重要方法,數學問題推廣的過程本身就是數學研究的過程.本文問題所呈現問題可推廣為更一般性的結論：