一個夾角 七種視角 精彩紛呈
——2020年浙江卷高考向量壓軸題多維賞析

浙江省海寧市南苑中學 (314499) 李安毓

眾所周知，浙江卷獨特的命題風格對全國卷也有著潛移默化的影響，每年的浙江高考試題八方關注，被研究高考試題的廣大師生所青睞.正如2020年浙江卷填空壓軸第17題就是一道經典的浙式風格的向量試題，該題入手容易，角度多，突出數學本質.本文就以這道“雅俗共賞”的向量壓軸題為例，多角度呈現和品味這道“津津樂道”的好題，以此作為我們日常復習教學中的一個深入淺出的教學素材，與廣大數學教師同仁們交流探討.

一、試題再現，品味經典

平面向量是溝通代數、幾何與三角函數的一種強有力工具，也是高考數學考查的重點知識.縱觀近幾年《浙江高考考試說明》對此的考試要求都是“理解、掌握、會用”等關鍵詞.然而從平時各種考試情況來看，遺憾的是對學生來說，向量試題由于靈活度大，往往成為他們解題之路難以逾越的鴻溝.此道向量試題作為填空題最后一道壓軸題，對學生來講，背景樸實熟悉，下手容易，有一種似曾相識的感覺.但要真正順利解出，還是需要具備良好的運算能力與數學推理能力.因此該題是一道命制很完美很具研究價值的一道經典試題.

二、解法賞析

平面向量同時兼具數與形的特征，是數形結合數學思想的完美載體，這意味著向量試題的解放極具多樣化.因此，筆者把握機會，對本道高考向量試題的解法進行全方位、多視角剖析，并對其拓展與探究.教學實踐表明，有效地落實“一題多解”是提升學生數學能力的重要途徑，教師通過引導學生發散思維，思考與呈現不同解法的同時，充分暴露思維痕跡和過程，從而使學生解題能力得以提升！

1 代數法視角(化歸轉化，凸顯通法)

2 坐標法視角(巧妙消元，合理構造)

評注：此法的關鍵是把向量問題坐標化，坐標法是解決向量問題最常用也是最重要的方法之一，學生還是很容易想到和入手，很適合學生的胃口.此法的主要特點是把幾何問題代數化，思維起點低，易于操作.但關鍵要靈活運用消元思想，并要注意到“x”的隱含條件即“x”的范圍，最后利用分式函數單調性求解，這一點與解法一相似.

3 三角化處理(三角轉化，柳暗花明)

4 基底轉化法視角(巧妙轉換，簡化運算)

5 平面幾何法視角(回到原點，峰回路轉)

圖1

評注：本解法的關鍵在于以圓為背景，借助向量加法的三角形法則將向量問題幾何化.然后巧妙構造ΔAEF的外接圓，進而利用圓周角性質將問題轉化為只需求線段GH的最小值即可.其中巧妙靈活應用了初中平面幾何知識與銳角三角函數知識將該向量綜合問題靈活解決.

6 數形結合法(幾何意義，直觀具體)

圖2

7 介入導數處理(巧用導數，快速求解)

三、追根溯源，品味聯系

通過上述對本題命題角度以及解法的研究，筆者發現了好幾道與本道浙江高考向量試題的同源題目，它們無論是命題特點還是命題本質都非常接近，給人似曾相識的感覺.以下是筆者收集整理的一些同源變式題，與同行們一起鑒賞和品評一下它們間的內在聯系！

四、探究一般化，結論推廣

五、教學感悟

每年的高考試題都是高考命題者集體智慧的結晶，高考試題作為載體除了選拔功能更具有很好的教學價值，是一種不可多得的教學素材.本文中筆者正是通過對一道精彩的向量問題從不同層面深入剖析，進行多角度研究和“二次開發利用”，讓學生通過一道題明晰一類題，從而使學生認知得到優化、能力得到提升.

向量高考試題一般以平面向量為載體，常常結合其它模塊知識如三角函數、解三角形、解析幾何等交叉滲透，是高考命題的一個亮點！然而，每年的浙江高考向量試題命制的大都較為新穎，且具有一定難度和技巧，很多考生望而生畏.而2020年這道向量題作為填空壓軸題，入口寬解法多，給人似曾相識的感覺，考生無論從那個視角都容易上手，結果也不是很難算.應該說是一道精彩的不可多得的向量好題.在求解過程中，既要將繁瑣抽象的代數運算巧妙轉化成幾何關系，又能對圖形性質與特征賦予相應的代數運算，才能使解題事半功倍、游刃有余.