機械臂卷積神經網絡滑模軌跡跟蹤控制

謝 宏，王立宸，袁小芳，陳海濱

湖南大學電氣與信息工程學院，長沙 410082

由于機械臂是具有非線性，強耦合，不確定等特點的復雜系統，因此對機械臂的精確控制問題一直是控制領域的難點和熱點[1]。滑模控制方法雖然具有對參數變化及未知擾動不敏感、響應快速、無需系統在線辨識等優點，但也存在嚴重的“抖振問題[2-3]”。

目前，隨著各種智能算法的發展，為了提高控制性能，眾多學者提出了許多先進的控制方法。Lee 等[4]提出了一種自適應神經網絡控制方法，該方法基于當控制系統的建模誤差和外界擾動變化時，根據實際位置和期望位置的差值調整控制策略，進而補償系統誤差，但是該方法控制精度較低。Yang 等[5]提出了一種基于柔性機械臂的自適應神經網絡滑模控制方法，自適應神經網絡用于補償柔性機械臂的不確定部分，再通過滑模控制完成控制任務，取得了一定的效果，但作用對象較為單一。Li等[6]通過設計魯棒項，并將其添加到RBF自適應神經網絡的控制律中，彌補了RBF 神經網絡的逼近誤差。但未考慮外部不確定干擾項，且延長了軌跡收斂時間。

深度學習，是一種基于學習數據表示的機器學習方法，卷積神經網絡是深度學習方法中的一種廣泛應用模型[7-9]。將深度學習模型引入到機械臂軌跡跟蹤控制，是目前的研究方向。

劉衛朋等[10]提出了基于增強學習的控制方法，同時使用遞歸神經網絡提高迭代速度。但是該方法是從經驗數據中學習控制律，無法及時和被控對象建立聯系，導致誤差收斂比較緩慢。Wang等[11]設計了一種基于時滯估計的分數階NTSM控制器，利用延時估計的方法得到系統不確定部分的補償。延時估計避免了脫離模型的學習，提高了數據的精確度。Yao 等[12]將深度學習和滑模控制方法相結合，應用在磁軸承系統中，借助卷積神經網絡的前向通路和反向回路確定控制系統的輸出和卷積神經網絡參數的更新，達到了轉子預計的軌跡跟蹤效果。這為本文提供了思路。

深度卷積神經網絡通過對機械臂模型不確定部分的精確補償能夠減少傳統滑模控制存在的“抖振”缺點，由于卷積等操作的存在，較傳統RBF神經網絡模型有著更強的學習能力，跟蹤精度會有進一步的提高，延時估計也會避免根據經驗數據學習控制律，使得跟蹤誤差收斂時間較于增強學習大幅縮短。

由此，本文提出了一種機械臂卷積神經網絡滑模軌跡跟蹤控制方法。首先分析機械臂動力學模型，提取出不確定部分，再設計基于延時估計的卷積神經網絡加以補償，最后將補償項添加到滑模控制律中，通過改進后的滑模控制方法完成機械臂軌跡跟蹤，進行實驗驗證跟蹤效果。結果顯示本文方法能夠提高機械臂的控制精度和實現機械臂的快速控制。

1 機械臂模型的描述

已知n關節機械臂的動力學方程為：

2 卷積神經網絡的構建

2.1 卷積神經網絡模型

基于上述公式，為了在廣泛應用的RBF網絡模型基礎上進一步提高精度，本文設計了一個基于深度學習的卷積神經網絡模型，主要包括以下四個部分：輸入層、卷積層1、卷積層2、輸出層。在本網絡中，池化層隱去的原因是由于輸入層的維數不大。應用延時估計的方法，定義輸入層的輸入矩陣為V0=[(e)t,(e)t-1,…(e)t-z] ∈Rn×z。其中z代表延時采樣點的數目。最后的輸出為機械臂不確定部分的補償VDCNN∈Rn。

如圖1展示了本文卷積神經網絡的模型。

圖1 卷積神經網絡模型Fig.1 Convolutional neural network model

在卷積層1中，卷積神經網絡的輸入矩陣V0∈Rn×z通過含有D1數量的卷積核濾波，卷積核為K1∈RH11×H12。將激勵函數f作用到濾波結果進而得到特征圖V1∈RN11×N12×D1，并且將其作為卷積層2的輸入。

在卷積層2中，特征圖V1∈RN11×N12×D1通過含有D2數量的卷積核濾波，卷積核為K2∈RH21×H22。將激勵函數f作用到濾波結果進而得到特征圖V2∈RN21×N22×D2。將特征圖V2∈RN21×N22×D2轉為矢量Vv∈RN3×1，其中N3=N21×N22×D2。最后通過轉換關系f0得到卷積神經網絡的輸出VDCNN∈Rn。

2.2 前向通路計算

卷積神經網絡的有關計算由前向通路和反向回路兩部分決定。通過前向通路計算出卷積神經網絡的輸出。每一個卷積層的輸出為：

其中卷積神經網絡輸出層的權值和偏移量由wv，bv表示。Vv是通過卷積層2的輸出V2得到的。

2.3 反向回路計算

通過反向回路的相關計算更新卷積神經網絡的權值和偏移量。定義損失函數如下：

其中mi表示機械臂第i個關節的質量。

使用梯度下降法，卷積神經網絡權值和偏移量的更新公式如下：

其中w′、b′表示更新后的權值和偏移量，dw、db表示對應的靈敏量，rw、rb表示學習速率，靈敏量可通過反向傳播法計算，結果如下：

相似的，可以得到：

3 控制器的設計與穩定性證明

3.1 控制器的設計

基于此，本文設計了一種基于卷積神經網絡的滑模控制器，如圖2展示了控制系統的結構圖。

圖2 控制系統結構圖Fig.2 Structure diagram of control system

滑模控制器的輸入為位置跟蹤誤差信號e和速度跟蹤誤差信號e?，輸出為機械臂的控制力矩τ。其中控制力矩τ包含卷積神經網絡的補償項VDCNN。

本文所設計的基于卷積神經網絡滑模控制器要解決以下三個問題：機械臂的抖振問題、不確定部分的補償問題、跟蹤精度問題。

3.2 穩定性證明

當選擇式（4）作為滑模函數，式（21）為機械臂的控制力矩，就能夠保證誤差狀態方程式（5）從任意s不為零的位置趨近于切換面s=0。設計如下：

其中η為切換開關，且

β和ρ為大于零的常數。

穩定性證明：

定義Lyapunov函數如下：

式（23）求導，得到：

將式（3）、（5）、（21）代入式（24），得到：

將卷積神經網絡的更新方程代入式（25），得到：

將式（22）代入式（26），得到：

當時間趨于無窮大時，式（27）會逐漸收斂到零，滑模面會趨近到原點。同時機械臂的軌跡跟蹤誤差和速度跟蹤誤差均會趨于零，控制系統穩定。

4 仿真分析

4.1 仿真效果

為驗證本文控制方法的有效性，采用式（1）的機械臂動力學方程，在MATLAB/Simulink 模塊上搭建仿真模型，選擇兩關節機械臂模型進行仿真研究。相關參數如下所示：

如表1為機械臂相關參數。

表1 機械臂相關參數Table 1 Related parameters of manipulators

如表2為卷積神經網絡相關參數。

表2 卷積神經網絡相關參數Table 2 Related parameters of convolutional neural network

卷積神經網絡的初始權重w和初始偏移量b為[-1，1]之內的隨機值。

如圖3 是機械臂關節1 和關節2 的位置跟蹤曲線，可以看出本文控制方法能夠使得機械臂兩關節在較短的時間逼近期望軌跡，軌跡跟蹤效果良好。

圖3 位置跟蹤曲線Fig.3 Position tracking curve

4.2 對比分析

為了能更形象地展示本文控制方法的優良性能，進行以下三種典型控制方法的對比實驗。

4.2.1 與傳統滑模控制的對比

對比文獻[13]提出的滑模控制方法，進行仿真實驗。

如圖4 是傳統滑模方法下，關節1、關節2 的控制力矩曲線；如圖5是本文方法下，關節1、關節2的控制力矩曲線。由對比圖可看出，傳統滑模方法下的關節控制力矩曲線出現了嚴重的抖振現象，存在對機械臂造成損壞的風險。本文方法下的關節控制力矩曲線則較為平穩，大幅度減少了抖振現象。

圖4 傳統滑模關節控制力矩曲線Fig.4 Control torque curve of traditional sliding mode joint

圖5 卷積神經網絡滑模關節控制力矩曲線Fig.5 Control torque curve of convolutional neural network sliding mode joint

如圖6 是采用兩種控制方法時，關節1、關節2 的位置跟蹤誤差對比曲線。由對比曲線可以看出，在本文的控制方法作用下，較于傳統滑模控制，機械臂關節1 和關節2的軌跡跟蹤誤差有了顯著的降低，且收斂時間明顯縮短。說明相較于傳統滑模控制方法，本文的控制方法有一定的優勢。

圖6 關節位置跟蹤誤差對比圖（兩種方法）Fig.6 Comparison chart of joint position tracking error（two methods）

4.2.2 與其他控制方法的對比

為了驗證本文提出的卷積神經網絡滑模控制方法的優越性，與文獻[14]提出的RBF神經網絡滑模控制方法、文獻[15]提出的自適應模糊控制方法進行比較，得到關節位置跟蹤誤差的對比結果。

如圖7 是三種控制方法下，關節1、關節2 的位置跟蹤誤差對比曲線。為了評估控制效果，將收斂時間CT（convergence time）、最大誤差ME（maximum error）、平均誤差AE（average error）用于評估軌跡跟蹤性能，定義如下：

圖7 關節位置跟蹤誤差對比圖（三種方法）Fig.7 Comparison chart of joint position tracking error（three methods）

評估結果如表3所示。

表3 數據對比Table 3 Comparison of Data

由表3可以得到，本文提出的控制方法在控制精度和快速控制方面明顯優于另外兩種控制方法。采用的深度卷積神經網絡模型對不確定部分有著更為精確的補償，提高了控制精度，延時估計方法的引入也縮短了誤差收斂的時間。相較于RBF神經網絡滑模、自適應模糊兩種控制方法，關節1 的誤差收斂時間分別減少了75.9%、88.8%；關節2 的誤差收斂時間分別減少了78.9%、83.5%；關節1 的平均誤差減分別少了17.9%、12.1%；關節2的平均誤差分別減少了10.9%、4.9%；關節1 的最大誤差分別減少了64.1%、20.7%；關節2 的最大誤差分別減少了4.5%、25.0%。綜合分析本文的控制方法較優。

5 結語

本文為了進一步提高工業機械臂的精度，縮短軌跡跟蹤誤差收斂時間，提出了一種機械臂卷積神經網絡滑模軌跡跟蹤控制方法。通過分析機械臂動力學方程提取出不確定部分，采用基于延時估計的卷積神經網絡加以補償，并將精確補償后的部分添加到滑模控制律中。通過計算驗證了收斂條件的成立，證明了系統的穩定性。以二關節機械臂為仿真對象，通過與三種典型控制方法的對比，結果表明，在本文的控制方法下，機械臂關節位置的誤差收斂時間有所減少，平均誤差和最大誤差均有所降低，跟蹤精度有所提升。但是在卷積神經網絡初始權值的選取上，采用的是隨機方法，未來可以進一步優化初始權值、偏移量，進一步提高跟蹤精度。