一種自適應分數階變分圖像復原模型

徐慧嫻,田洋川,陳明舉,2*，熊興中

(1.四川輕化工大學 人工智能四川省重點實驗室，四川 宜賓 644000；2.四川輕化工大學 企業信息化與物聯網測控技術四川省高校重點實驗室，四川 宜賓644000)

0 引言

圖像在獲取、傳輸和存儲過程中不可避免地會受到不利因素的影響，造成質量退化。后期應用中往往需要高質量的清晰圖像，這就要求圖像復原技術盡可能地恢復出真實的原始圖像[1]。圖像復原問題是一個病態問題，通過求解Tikhonov正則化[2]，對原始函數的估計正則化函數采用全變分模型可以較好地去除圖像的模糊，復原圖像的真實信息[3]。近年來，產生了許多經典的基于變分技術的圖像復原模型，如異向全變分模型[4]、高階變分模型[5]以及非局部變分模型[6]等。通常，變分模型都是基于整數階微分梯度，整數階梯度不能有效地區分圖像高頻信息與干擾噪聲，在圖像復原過程中，部分噪聲被當作圖像高頻信息進行增強處理，產生階梯現象，造成圖像模糊。

為抑制階梯效應并更好地復原圖像紋理信息，相關研究發現分數階微分具有“弱導數”的性質，對不同頻域成分采用不同的處理策略，在增強圖像高頻信息的同時，能夠較好地保留圖像中的低頻信息[7-8]。將分數階微分引入變分模型中，勢必提高變分技術圖像增強的性能。Chowdhury等[9]根據圖像的特性，建立去除泊松噪聲的分數階變分模型，有效地克服了階梯現象。王迎美等[10]將分數階與整數階變分(Integer and Fractional Order Total Variation,IFOTV)相結合，分別極小化分數階與整數階的梯度，實現噪聲的消除，有效地克服了階梯現象。Fairag等[11]通過分數階代替圖像復原變分模型的變分項，建立分數階的圖像復原變分模型(Fractional Order Total Variation,FOTV)，以獲得更好的圖像去模糊性能。

利用分數階變分非線性特性，可以有效識別圖像的不同頻域成分信息，實現圖像細節與紋理的高效復原，從而獲得更好的圖像處理效果。但分數階變分技術在圖像復原處理中仍存在一定的不足，未充分考慮圖像局部特性[12]，在不同特性的區域采用恒定的圖像修復策略，欠缺對退化函數先驗知識的有效利用與優化求解困難等[13-14]。

針對上述問題，本文在分數階圖像復原模型的基礎上，提出了一種充分利用退化函數先驗信息的自適應分數階圖像復原模型。該模型首先引入圖像梯度算子控制模型的分數階變分項，以實現在圖像不同特征區域采用不同的分數階變分策略和變分階數的自適應；通過極小化退化函數分數階范數，實現退化函數的平滑先驗知識的有效利用。然后，將對偶算法引入交替極小化算法中[15]，實現模型的優化求解，從而實現對原始圖像的準確估計。最后，通過對比實驗證明，建立的自適應分數階圖像復原模型可以更好地復原圖像的結構與紋理信息，圖像復原性能更優。

1 相關理論

1.1 分數階變分模型

Wei等[16]將整數n階擴展到整個實數空間，引入伽馬函數Γ(n)，得出連續函數f(t)任意階次α的分數階:

(1)

式中,α為任意實數階次；h為微分步長；[]為取整符號；Γ(n)為伽馬函數；t和a分別表示m的取值范圍。在圖像全變分模型中將分數階微分算子代替整數階微分算子，可得分數階變分模型：

(2)

(3)

(4)

將分數階代入正則化模型，得到圖像復原的分數階變分模型FOTV:

(5)

1.2 Bregman迭代與對偶算法

直接通過極小化圖像梯度的能量泛函通常存在不穩定現象，Bregman迭代與對偶算法能有效地消除變分求解過程中的不穩定現象，從而快速迭代實現收斂。本文采用分裂Bregman迭代交替極小化的思路[17]，將對偶算法引入交替極小化算法，實現模型的優化求解。

Bregman迭代引入次梯度算法，并通過極小化圖像的Bregman距離實現圖像能量泛函的求解。令：

J(u)=‖αu‖1。

(6)

圖像u與un的分數階Bregman距離定義為：

(7)

通過FOTV極小化問題轉化為極小化Bregman距離:

(8)

另一方面，對偶算法(Primal Dual,PD)可以消除圖像的鞍點[18]，有利于變分求解的穩定。定義分數階對偶算子為：

(9)

式中，

(10)

FOTV模型采用對偶算法的極小最大值法轉化為：

(11)

2 自適應分數階變分復原模型

2.1 自適應分數階變分復原模型的建立

由式(5)可以看出，分數階變分模型在圖像的不同區域都采用權重恒定的分數階變分項，未能根據圖像的局部特性進行相應調整。另外，分數階變分模型未充分利用退化函數的特性，若充分利用退化函數的先驗知識，其復原性能將進一步提高[19]。

基于上述思想，采用l1范數對退化函數的分數階梯度進行表示，并通過梯度大小控制分數階變分項的階數，構建圖像復原的自適應分數階變分 (Adaptive Fraction-Order Total Variation,AFOTV)模型：

(12)

式中，g(u)為權值，大小由圖像局部梯度確定：

(13)

由式(13)可知，g(u)大小由圖像的梯度決定。在圖像平滑區域，其值較大，著重于模糊的去除；在圖像邊界區域，其值較小，著重于圖像信息的保持，從而實現在圖像的不同特性區域采用不同的分數階策略，可以更好地復原圖像的真實信息。另外，式(13)中加入對退化函數進行分數階描述，對于常見的退化函數，如濾波卷積、運動模糊以及大氣湍流等，其梯度泛函值較小，增加了對退化函數k的分數階先驗知識的利用，可以進一步提高復原圖像的質量。

2.2 模型的求解

為了實現AFOTV模型的穩定迭代求解，采用分裂迭代(Split Bregman,SB)交替極小化思想，引入輔助變量ω，AFOTV模型極小化問題可轉化為：

(14)

(15)

ωn+1=ωn+f-kωn+1。

(16)

引入對偶算子的思想u與k的極小化問題可以進一步轉換為：

(17)

(18)

利用對偶算子分別求解式(17)和式(18)，可得：

(19)

un+1=un-τ1[λ1(α)Tpn+1+(kn)T(knun-f-ωn)]，

(20)

(21)

(22)

kn+1=kn-τ2[λ1(α)Tqn+1+(un+1)T*(knun+1-f-ωn)]，

(23)

式(19)和式(20)中∏X(z)，∏Y(z)表達式分別為：

(24)

(25)

綜上分析，AFOTV模型的PD+SB迭代求解流程如下：

3 結果與討論

為了證明AFOTV模型的性能，將AFOTV圖像復原的結果與FOTV，IFOTV進行對比分析實驗，采用峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio,PSNR)和結構相似性(Structural Similarity Index,SSIM)作為評價指標。

為了使分數階α的取值最優，首先在常見的退化環境下(高斯模糊、均值模糊以及移動模糊)對α取不同的值進行實驗，選擇最優α進行下一步對比分析，結果如圖1所示。由圖1可以看出，對于高斯模糊、均值模糊以及移動模糊α取值為1.6，1.8，1.6時，獲得最大的PSNR值。

圖1 分數階α取不同值時對cameraman圖像復原性能的影響Fig.1 Influence of the fractional orders α on the restoration performance of a cameraman image

為了進一步說明AFOTV模型具有更好的圖像復原性能，圖2～圖4給出了cameraman，woman以及boat圖像在高斯、均值以及運動退化環境下采用3種模型復原后的結果，并在各圖的右下角給出紅色區域的局部放大圖。

(a) 原圖

由圖2可以看出，在高斯退化環境下，經過FOTV復原的圖片存在一定程度的失真現象，細節信息也存在一定的模糊。IFOTV對邊緣信息的損失嚴重，人臉、相機及衣角的邊緣模糊。而本文的AFOTV模型不存在圖像失真現象，并且能更好地復原圖像的細節紋理信息，人臉、相機及衣角的輪廓都更為清晰，視覺質量最佳。由圖3可以看出，在均值退化環境下，FOTV及IFOTV復原后的圖片中，眼窩、鼻梁及頭發陰影部分的失真較大，并且邊緣存在一定程度的模糊，而AFOTV對眉毛以及眼睛輪廓的復原效果最好。由圖4可以看出，在運動退化環境下，AFOTV可以更好地復原圖像的細節紋理信息，文字更加清晰，邊界輪廓也處理得更好。綜上分析可知，在3種退化環境下，AFOTV模型在采用分數變分描述退化函數的同時實現對圖像分數階變分的自適應，更準確地實現對圖像的描述，獲得了更好的圖像復原性能。

表1給出了圖2～圖4中復原前后各圖片的PSNR與SSIM。由表1可以看出，FOTV復原后的圖像的PSNR和SSIM最低，AFOTV模型圖像復原后的PSNR和SSIM最高，其PSNR和SSIM分別高于IFOTV 0.5 dB和0.01 dB。由客觀指標可以看出，AFOTV模型在對退化函數分數階變分描述的同時通過圖像梯度實現自適應分數階變分，有效利用圖像的先驗知識，獲得更好的圖像復原性能。

表1 不同退化圖片采用3種模型復原后性能比較

4 結束語

本文建立了一種自適應分數階圖像復原模型，采用圖像梯度的算子對分數階變分項進行修正，以實現在圖像不同特性區域進行不同程度的變分復原；對退化函數采用分數階變分進行描述，以更好地利用退化先驗知識實現對原始圖像的估計。在模型的求解中，通過結合Bregman迭代與對偶極小化實現建立的自適應分數階圖像復原模型優化求解，并通過對比實驗證明該模型具有更好的圖像復原性能，能更好地復原圖像的結構與紋理信息。因此，自適應分數階圖像復原模型具有很好的參考價值與應用前景。

由于新模型的建立是假設退化函數梯度的泛函較小的前提，對于高斯模糊、均值模糊以及移動模糊退化復合上述假設，對于其他退化環境，如大氣湍流退化、輻射退化以及多種復合退化場景，本模型的適用性還有待進一步研究。另外，模型的求解采用Bregman迭代與對偶極小化實現，該方法涉及多個變量的極小化，迭代收斂時間較長，下一步將新的數學理論應用于模型的求解中，以縮短收斂時間。