徑向動壓氣體軸承承載能力的CFD分析*

龔 霖 殷玉楓 張 錦，2 趙春江 柴曉峰 曾 光

(1.太原科技大學機械工程學院 山西太原 030024；2.山西交通職業(yè)技術(shù)學院 山西太原 030031)

隨著高新技術(shù)的發(fā)展，對于旋轉(zhuǎn)支撐軸承的要求越來越高，以潤滑油為介質(zhì)的滑動軸承和滾動軸承已經(jīng)不能滿足某些現(xiàn)代機械設(shè)備對于支撐軸承的需求，所以氣體潤滑軸承成為了最佳的選擇[1]。其優(yōu)點主要在于：具有摩擦損耗低，極高速度下幾乎沒有摩擦熱、無磨損，極低運動速度下不會爬行，運動精度高，振動小，無污染以及在特殊工作條件下穩(wěn)定運行的優(yōu)點。與傳統(tǒng)的軸承相比較，氣體軸承使得轉(zhuǎn)子速度提高了5～10倍，支撐精度提高了2個數(shù)量級，功率耗散情況降低了3個數(shù)量級，同時軸承的工作壽命增加了數(shù)十倍。因此，在精密工程、超精密工程、微細工程、空間技術(shù)、電子精密儀器、醫(yī)療器械及核子工程等范疇中，空氣軸承有著十分廣闊的應(yīng)用前景[2]。

氣體軸承按照是否需要外部氣源分為靜壓氣體軸承和動壓氣體軸承。其中靜壓氣體軸承需要通過外接氣源來使其形成靜壓氣膜，支撐軸承懸浮于轉(zhuǎn)子之上，其承載能力較大，同時精度也較高。但是外接氣源使得軸承結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜，導(dǎo)致其制造與維護費用增大[3]。動壓氣體軸承也稱為“自作用軸承”，它是不需要外部氣體源并且僅在流體動力的作用下產(chǎn)生支撐作用的軸承[4]。動壓氣體軸承的特點是結(jié)構(gòu)簡單、精度較高、制造工藝復(fù)雜，適用于小型、輕載、高速精密支撐[5]。

目前國內(nèi)氣體動壓軸承的設(shè)計與研究主要是采用MATLAB求解雷諾方程，其方法包括有限差分法、有限元法等。肖云峰等[6]研究了Sommerfeld數(shù)對氣體動壓軸承動力學特性參數(shù)的影響，包括對偏心率、最小氣膜厚度、最大氣膜壓力、摩擦功耗、剛度和阻尼的影響。丁博等人[7]建立了一種具有特殊側(cè)面結(jié)構(gòu)混合式氣體動壓軸承的數(shù)學模型，分別推導(dǎo)出周向面和側(cè)向面的雷諾方程，采用有限差分法對雷諾方程進行離散，通過MATLAB數(shù)值計算得出混合式氣體動壓軸承的穩(wěn)態(tài)氣膜厚度和氣膜壓力分布；采用復(fù)化辛普森積分法計算出量綱一承載力，分析偏心率、轉(zhuǎn)速和壓縮數(shù)對軸承量綱一承載力的影響規(guī)律。周秀文和孫長年[8]通過對圓柱軸承動壓油膜流場雷諾方程的推導(dǎo)，在MATLAB軟件中對雷諾方程采用有限差分法求解偏微分方程，獲取動壓油膜的相關(guān)動力學系數(shù)。

氣體的壓力場求解時，由于氣體在軸承間隙的流動是一種相當復(fù)雜的三維流動，使用解析法求解承載能力的大小、分析壓力分布情況極其困難，同時在計算的過程中需要作出一些假設(shè)，帶來了計算誤差[9]。又由于其計算需要進行編程，使得求解過程更加雜化。Fluent軟件是一個用來模擬從不可壓縮到高度可壓縮范圍內(nèi)復(fù)雜流動的專用CFD軟件，利用它可以準確地預(yù)測出氣體流動實際的細節(jié)情況，如速度場、壓力場、溫度場、密度場的分布隨時間變化的特性，并且還可以得到一些規(guī)律性的結(jié)論[9]。另外由于氣體動壓軸承的間隙屬于微米級，對于試驗來說動壓氣體軸承的加工精度要求和加工成本對其設(shè)計與制造有著極大的制約，而采用Fluent進行流體動力學分析，不需要進行編程計算，大大節(jié)約了設(shè)計時間，提高了工作效率，對于真實情況下的動壓氣體軸承的設(shè)計與制造具有指導(dǎo)意義[10]。

本文作者以徑向氣體動壓軸承為對象，使用三維建模軟件進行建模，并通過ANSYS自帶網(wǎng)格劃分軟件ICEM進行網(wǎng)格劃分建立有限元模型，利用CFD軟件Fluent對徑向氣體動壓軸承在穩(wěn)態(tài)下的氣膜壓力進行分析，探討偏心率和長徑比對其承載力的影響。

1 徑向動壓氣體軸承的結(jié)構(gòu)

圖1所示為徑向動壓氣體軸承示意圖，其軸承間隙為微米級。其中Ob為軸承的坐標中心，Or為軸頸的坐標中心，軸頸以角速度ω做逆時針運動，L為軸頸所受的外載荷，B為軸承的寬度，R為軸頸半徑，φ為偏位角，h為軸頸外表面與軸承內(nèi)表面之間的間隙，θ為極角[11]。若沒有外載荷，軸頸中心Or與軸承中心Ob重合，一般情況下，軸頸總是承受一定的外載荷，因此兩中心不會重合，其偏心距為e。

圖1 徑向動壓氣體軸承示意

2 雷諾方程的推導(dǎo)及求解

氣體動壓潤滑分析的基本內(nèi)容是以求解Reynolds方程來揭示氣體潤滑中壓力的分布規(guī)律，軸承間隙內(nèi)氣體壓力分布狀況影響軸承的性能。在考慮潤滑層內(nèi)流動的邊界層特性和流動的連續(xù)性，以及氣體所滿足的狀態(tài)方程出發(fā)進行穩(wěn)態(tài)情況下二維可壓縮氣體潤滑Reynolds方程的推導(dǎo)[12]。

由于氣體動壓潤滑具有特殊性，通常情況下分析氣體動壓潤滑需要做以下假設(shè)：

(1) 與軸承的長度和寬度相比，氣膜的厚度很微小，因此可以假設(shè)軸承表面為平面；

(2) 沿氣膜厚度方向，其壓力的變化可以忽略不計；

(3) 與黏性剪應(yīng)力相比，流體的慣性力可以忽略不計；

(4) 氣體流動狀態(tài)為層流；

(5) 潤滑表面上氣體與壁面間沒有相對滑動；

(6) 氣體溫度為常數(shù)[13]。

Navier—Stokes(N-S)方程作為氣體潤滑基本方程之一，在Descartes坐標系中的表達式為

(1)

根據(jù)質(zhì)量守恒原理(單位時間內(nèi)由微元體流出的總質(zhì)量與微元體內(nèi)質(zhì)量的變化率相等)可得，氣體連續(xù)性方程的表達式為

(2)

氣體狀態(tài)方程為

(3)

式中：R為氣體常數(shù)；T為氣體絕對溫度。

由于氣體的黏性很小，氣體在軸承間隙中流動的過程中由摩擦產(chǎn)生的熱量可以忽略，因此在氣體動壓軸承工作的過程中，可以認為氣體是等溫的。因此，由氣體狀態(tài)方程可得：

(4)

式中:pa為大氣壓力；ρa為大氣壓力下的氣體密度；C為常數(shù)。

結(jié)合上文給出的假設(shè)，可以將N-S方程簡化為以下形式：

(5)

令邊界條件為

通過積分可以將N-S方程中沿x軸方向的速度和沿z軸的速度分別求解出來，即：

(6)

將由N-S方程式推出的運動方程、連續(xù)性方程和氣體狀態(tài)方程結(jié)合起來，經(jīng)過一系列的推導(dǎo)過程得出

(7)

式中:μ為氣體的黏度(Pa·s);h為動壓氣膜厚度；t為時間；U為軸頸與軸承外圈之間相對速度沿著x軸的速度分量；W為軸頸與軸承外圈之間相對速度沿著z軸的速度分量。

方程(7)即為二維可壓縮流體的動壓潤滑方程——雷諾方程。

恒溫穩(wěn)定工況下，氣體動壓潤滑Reynolds方程的量綱一化的形式為

(8)

因為

(9)

(10)

(11)

因此，經(jīng)上述變換，氣體動壓潤滑量綱一化穩(wěn)態(tài)雷諾方程(8)變?yōu)?/p>

(12)

在氣膜求解區(qū)域中，使用有限差分法求解動壓氣體潤滑軸承的壓力分布時，根據(jù)步長Δφ、Δλ進行網(wǎng)格劃分，從而在給定區(qū)域中存在(N+1)(M+1)個網(wǎng)格點。分別使用每個節(jié)點上的壓力進行組合形成一階和二階的差商，近似地替代雷諾方程中的偏導(dǎo)數(shù)，將雷諾方程離散化為一組線性代數(shù)方程，該線性代數(shù)方程的解Pi,j就是氣膜的壓力值[14]。在氣膜區(qū)域中對所求壓力值進行相應(yīng)地數(shù)值積分，以獲得諸如承載能力、阻力和流量之類的性能值[15]。圖2所示為氣膜區(qū)域網(wǎng)格劃分圖。

圖2 氣膜區(qū)域網(wǎng)格劃分

求解氣膜區(qū)間中壓力分布的具體方法如下：先將網(wǎng)格點按照所在的列和行順序進行編號，沿φ方向的列用i編號，沿λ方向的行用j編號，每個節(jié)點的位置用(i,j)二維編號表示；設(shè)在φ方向均分為N格，i的編號從0到N，每格寬度(步長)為Δφ=(φ2-φ1)/N;在λ方向上均分為M格，j的編號從0到M，步長Δλ=(λ2-λ1)/M，節(jié)點(i,j)上的P值以Pi,j表示。

(13)

(14)

(15)

(16)

相對應(yīng)的氣膜厚度的一階中差商可以近似地表述為

(17)

(18)

按照差分原理，將差分格式(13)—(18)代入式(12)，可以得到動壓氣體潤滑穩(wěn)態(tài)雷諾方程的量綱一化差分形式，然后求解關(guān)于Pi,j的線性方程(舍去負值)，進而整理得到關(guān)于網(wǎng)格點(i,j)對應(yīng)的壓力值[16]為

(19)

其中，

(20)

根據(jù)求得的壓力分布值，采用復(fù)化Simposion積分法沿軸承面進行積分,可得軸承徑向和切向量綱為一的氣膜力為

(21)

因此得到量綱為一的氣膜承載力為

(22)

3 氣體動壓軸承特性的CFD分析

3.1 物理模型的建立

分析軸承的靜態(tài)性能，主要是分析軸承間隙中的壓力分布情況、氣膜承載能力的大小，因此將軸承與軸頸之間的流體作為研究對象，建立三維模型。由于軸承與軸頸中心不在同一個圓心，導(dǎo)致所需流體域并非一個規(guī)則的薄壁圓筒，而是上邊厚下邊薄的不規(guī)則薄壁圓筒，因此不能夠直接進行建模。文中采用三維建模軟件Solidworks對徑向動壓氣體軸承進行物理建模[17]，如圖3所示;然后通過ANSYS有限元分析軟件自帶的DM(Design Modeler)提取流體域，如圖4所示。

圖3 徑向動壓氣體軸承的物理模型

圖4 徑向動壓氣體軸承的計算流體域

3.2 網(wǎng)格劃分及邊界條件設(shè)置

有限元分析軟件ANSYS中自帶的網(wǎng)格劃分軟件Mesh和ICEM分布適用于劃分非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格其單元為正四面體和三角形，而結(jié)構(gòu)網(wǎng)格其單元為正六面體和四邊形。非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分簡單，但是其網(wǎng)格質(zhì)量一般不是很好，同時其計算時間長。結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的劃分先需要分塊，然后對各個點、線、面進行關(guān)聯(lián)，因此其操作復(fù)雜，但是所生成的網(wǎng)格質(zhì)量較高，網(wǎng)格數(shù)量和計算時間都優(yōu)于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格[18]。

由于所提取流體域的厚度與其他參數(shù)相比小得多，如果使用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分，其質(zhì)量較低，網(wǎng)格數(shù)量龐大，計算時間過長。因此文中選用結(jié)構(gòu)網(wǎng)格進行劃分，運用ICEM來完成網(wǎng)格的劃分。網(wǎng)格劃分如圖5所示。

圖5 網(wǎng)格劃分

為了驗證網(wǎng)格數(shù)量對于實驗結(jié)果的影響，文中就不同的網(wǎng)格密度進行了仿真計算，結(jié)果如表1所示。可以看出，不同網(wǎng)格數(shù)量對于最大壓力與承載力的影響很小，但是計算時間卻是成倍增加，即網(wǎng)格數(shù)量越大，所需的計算時間越長。并且網(wǎng)格數(shù)量過大會導(dǎo)致軸承最小氣膜厚度附近的網(wǎng)格出現(xiàn)畸形，從而導(dǎo)致網(wǎng)格質(zhì)量下降，影響計算結(jié)果的準確性。因此文中選擇網(wǎng)格的數(shù)量為175 961，既保證了計算結(jié)果的準確性又縮減了計算時間。

表1 網(wǎng)格數(shù)量對計算結(jié)果的影響

對于邊界條件的設(shè)置同樣可以在ICEM中完成，其中將外圈設(shè)置為固定壁面，內(nèi)圈設(shè)置為移動壁面，其速度值為軸頸的旋轉(zhuǎn)速度，而兩側(cè)設(shè)置為壓力出口條件，其壓力值為一個大氣壓。邊界條件示意圖如圖6所示。

圖6 邊界條件示意

4 仿真結(jié)果及驗證

軸承的承載力主要是由于軸承存在偏心，使得軸承內(nèi)部的氣膜厚度不同，又因為潤滑介質(zhì)為可壓縮氣體，因此氣膜厚度最小處存在最大壓力，而在氣膜厚度最大處存在最小壓力，形成壓力差，從而使得氣體動壓軸承具備了承載能力。偏心率對于軸承內(nèi)部的壓力差大小具有顯著的影響，偏心率越大，軸承內(nèi)部壓力差越大，軸承的承載力也越大。長徑比主要是表示軸承承載面積的大小，長徑比越大，軸承承載面積越大，承載能力相應(yīng)地越大。對于軸承的承載力而言，偏心率和長徑比是主要的影響因素，因此文中主要研究偏心率和長徑比對軸承承載力的影響。

研究的徑向動壓氣體軸承的模型參數(shù)如表2所示。

表2 模型參數(shù)

4.1 仿真結(jié)果及分析

在轉(zhuǎn)速15 000 r/min下，按表2中參數(shù)計算不同長徑比和偏心率情況下軸承的壓力分布，分別如圖7、8所示；計算不同長徑比和偏心率情況下軸承的承載能力，分別如圖9、10所示。

圖7 偏心率為0.2、轉(zhuǎn)速為15 000 r/min時不同長徑比下氣膜壓力分布云圖

圖8 長徑比為1/2、轉(zhuǎn)速為15 000 r/min時不同偏心率下氣膜壓力分布云圖

圖9 長徑比為1/2時不同偏心率下軸承承載力隨轉(zhuǎn)速的變化

從圖7、8可以看出，軸承整體氣膜的壓力分布沿軸承軸向中線幾何對稱，由于軸承的偏心作用，在軸承最下端為氣膜最薄的區(qū)域即收斂的楔形空間，氣體流入的方向，正壓力達到了最大，而在氣體流出的方向上，負壓達到了最大值，在氣體動壓軸承偏心的區(qū)域兩端出現(xiàn)最大的壓差，以平衡軸承外載荷的作用，從而使得氣體動壓軸承具備了一定的承載能力。而在軸承兩端，其壓力與環(huán)境壓力大致相等。在不同的長徑比、轉(zhuǎn)速以及偏心下，其壓力分布規(guī)律都大致相同。

由圖 9可以看出，當長徑比一定時，隨著偏心率的增大，軸承的承載力也隨著增大；當偏心率較小時，軸承的承載力隨著轉(zhuǎn)速的增大幅度較小，而當偏心率較大時，軸承的承載能力隨著轉(zhuǎn)速的提高有了一個較大的提升，且增長規(guī)律呈非線性。由于承載力等于軸承整個潤滑膜上的壓力差，且氣體為可壓縮流體，因而當偏心率增大時，氣體間隙最小處的氣體密度增大，壓力增大，相反氣膜間隙最大處的密度減小，氣體壓力也減小，則二者的壓力差增大，使得軸承的承載力增大。

由圖10可以看出，當偏心率一定時，隨著長徑比的增大，軸承的承載能力隨著轉(zhuǎn)速的變化呈現(xiàn)出非線性上升趨勢；而且長徑比越大，軸承的承載能力隨轉(zhuǎn)速變化趨勢越明顯。由于軸承長徑比的增大，使得軸承的承載面積增大，因此在相同的壓力差下，其承載力也明顯增大。

圖10 偏心率為0.2時不同長徑比下軸承承載力隨轉(zhuǎn)速的變化

4.2 驗證

為了驗證文中計算結(jié)果的正確性，圖11給出了文獻[1]中不同偏心率下長徑比對承載力影響的計算結(jié)果，圖12給出了文獻[19]中不同偏心率下轉(zhuǎn)速對軸承承載力影響的計算結(jié)果。通過對比文獻[1]中的計算結(jié)果圖11與文中的計算結(jié)果圖10，可以明顯看出，兩者承載力曲線大致相同，因此驗證了文中長徑比對軸承承載力影響的計算結(jié)果的正確性。對文獻[19]中的計算結(jié)果圖12與文中的計算結(jié)果圖9，驗證了文中偏心率對軸承承載力影響的計算結(jié)果的正確性。

圖11 文獻[1]中不同長徑比下偏心率對承載力的影響

圖12 文獻[19]中不同偏心率下轉(zhuǎn)速對軸承承載力的影響

5 結(jié)論

基于Fluent對空氣動壓軸承進行有限元仿真，得出其在運行過程中的氣膜壓力分布云圖，分析了在不同偏心率和長徑比下軸承的承載能力隨著轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律。主要結(jié)論如下：

(1)軸承整體氣膜的壓力分布沿軸承軸向中線幾何對稱，由于軸承的偏心作用，在軸承最下端為氣膜最薄的區(qū)域；氣體流入方向存在正壓最大區(qū)域，氣體流出方向存在負壓最大區(qū)域，由于氣體的壓差使得軸承具有了一定的承載能力。

(2)當軸承的長徑比一定時，隨著偏心率的增大，軸承的承載能力隨轉(zhuǎn)速增大的趨勢越明顯，其增長趨勢呈非線性規(guī)律。

(3)當軸承的偏心率一定時，隨著長徑比的增大，軸承的承載能力隨轉(zhuǎn)速增長的趨勢也越明顯，其增長趨勢也呈非線性變化規(guī)律。