締合勒讓德函數的標準向前按列遞推公式

張捍衛 張 華 李鵬杰

1 河南理工大學測繪與國土信息工程學院，河南省焦作市世紀大道2001號，454000

研究地球重力場需要計算fnALFs數值及其各階導數和定積分數值，使用的遞推公式目前主要有標準向前按列或行遞推公式[1-2]、貝爾科夫遞推公式[3]及跨階次遞推公式[4]等。隨著衛星重力學研究的發展，需要計算超高階的fnALFs數值，目前主要通過選擇合適的計算方法和修正語言編程2種途徑來提高計算速度和擴展遞推階次，如傅里葉級數展開法[5-7]和多項式逼近法[8]等。

標準向前按列遞推公式的應用很廣泛[9-12]，但這些研究都是通過對算法進行改進來擴展遞推階次。本文不討論算法，只是在Paul[1]理論研究的基礎上完善扇諧項和準扇諧項推導的嚴謹性，基于fnALFs的2個導數公式給出推導fnALFs定積分遞推公式的新方法，且本文給出的遞推公式可從第2階開始遞推。

1 關于fnALFs及其積分的按列遞推公式

首先給出完善后的fnALFs標準按列遞推公式：

(1)

式中，θ∈[0,π]。其中，

fnALFs定積分的標準按列遞推公式為：

(2)

當積分區間很小時，可采用式(3)：

(3)

以上公式的精度評定見文獻[1]。

2 關于式(1)的證明

關于n階的勒讓德函數[13-15]為：

(4)

式中，int[·]表示取整數，n=0,1,2,…。

關于n階m次的ALFs[13-15]為：

(5)

顯然，當m=0時，式(5)等同于式(4)。關于fnALFs的定義[13-15]為：

(6)

(7)

根據式(5)可得：

(8)

根據式(8)可直接得到：

(9)

將式(9)規格化，就可得到式(1)中第2種和第3種情況。

3 關于式(2)的證明

定義ALFs的3個定積分公式：

(10)

(11)

ALFs的一個導數公式[15]為：

(12)

另一個導數公式[15]為：

(13)

式(13)可根據式(5)直接得到。設有：

(14)

對式(14)采用分部積分法，并考慮式(10)和式(11)可得：

(15)

同理，根據式(12)和式(13)可得：

(16)

(17)

根據式(7)可得：

(18)

根據式(15)～式(18)可得：

(19)

式(19)只適用于0≤m≤(n-2)的情況。

(20)

在式(19)中，令m=n-1且不考慮等號右端第1項，就等價于式(20)。將式(19)和式(20)規格化，就可得到式(2)中第1種和第2種情況。

(21)

在兩極附近y=sinθ值很小，依據式(21)的遞推會產生較大誤差。根據

可得：

(22)

將式(21)和式(22)規格化，可得式(2)中第3種情況和式(3)。關于式(2)中第3種情況，文獻[1]給出的系數為：

(23)

這顯然與本文結果不一致。由此可見，文獻[1]中的公式只能從第3階開始遞推，而不能從第2階開始遞推。

4 數值計算與分析

第n階fnALFs數值計算結果的精度檢驗公式[1]為：

(24)

關于fnALFs數值積分最簡單的精度檢驗公式[1]為：

(25)

圖1 公式(1)的適用性(T(n)<10-12)Fig.1 Applicabilty to equation (1)

圖1表明，在±23°緯度范圍內，式(1)可將fnALFs遞推至9 000階；在±44°、±62°和±86°緯度范圍內，可分別將fnALFs遞推至3 000階、2 000階和1 000階。在兩極區域(緯度絕對值大于86°范圍內)，遞推公式效果較差。

圖2 θ1=45°、θ2=46°且n=2 000階時積分數值結果Fig.2 Integral numerical results when θ1=45°,θ2=46°,n=2 000

圖3 θ1=5°、θ2=6°且n=1 000階時積分數值結果Fig.3 Integral numerical results when θ1=5°,θ2=6°,n=1 000

5 結 語

實際上，ALFs的帶諧項(次為零)、扇諧項(次等于階)、準帶諧項(次等于1)及準扇諧項(次為階減1)很特殊，統稱為邊界項，在其他形式遞推公式的推導過程中表現尤為明顯，甚至要擴展邊界項范圍，邊界項的遞推必須單獨討論。

ALFs導數公式的應用廣泛，由其推導ALFs定積分公式的過程顯得很簡單。遞推公式應明確指出最低可從第幾階開始，不然在應用中難免會出錯。根據式(15)～式(18)還可得到如下2個形式的積分公式：

(26)

(27)

式(26)和式(27)只是一個計算式，當然也可得到其遞推公式。

本文完善了ALFs扇諧項和準扇諧項的遞推公式，利用ALFs的2個導數公式給出了定積分的標準向前按列遞推公式，使推導過程更簡明，可為ALFs的理論研究提供一定的參考。