最小二乘諧波估計對GNSS坐標時間序列多路徑效應提取能力的研究

曹婷婷 李志峰 茍浩洋

1 同濟大學測繪與地理信息學院，上海市四平路1239號，200092 2 山東省交通規劃設計院有限公司，濟南市無影山西路576號，250000

在GNSS變形監測領域，由于衛星信號在傳播過程中不可避免地受變形體或其周圍環境干擾，會出現多路徑效應。多路徑效應無法通過雙差方式消除，且會隨監測站周圍環境的變化而變化，嚴重影響GNSS監測的精度。另外，由于監測站與周圍環境均相對穩定，多路徑效應表現出明顯的周期性特征[1]，其與真實變形信號混雜在一起，嚴重干擾觀測人員對變形體真實運動狀態的判斷。因此，如何有效提取多路徑效應及削弱多路徑效應的影響是GNSS變形監測領域需要解決的重點問題，許多學者在相關方面都進行過研究[2-5]。最小二乘諧波估計最早由Amiri-Simkooei等[6-7]于2007年提出，并將其應用于提取GNSS坐標時間序列中的周期項信號和海平面高程時間序列中的周期項信號。最小二乘諧波估計根據所用數據的不同可分為單元諧波估計和多元諧波估計，并且作為傅里葉變換的擴展，其既不要求數據均勻分布，對周期項信號的波長也沒有整數周的要求，很適用于對變形監測GNSS坐標時間序列中多路徑效應的提取。

本文主要研究最小二乘諧波估計在提取GNSS坐標時間序列中多路徑效應方面的效果，并對比單元諧波估計和多元諧波估計的優劣?？紤]到多路徑效應常常與變形信號混雜，本文選取GNSS坐標時間序列僅受白噪聲和多路徑效應影響的穩定監測站數據，根據剔除多路徑效應后GNSS坐標時間序列的穩定性，可直觀地評價不同方法提取多路徑效應的效果。

1 分析方法

假設存在以下線性觀測方程：

E(y)=Ax,D(y)=Qy

(1)

式中，E(*)、D(*)分別代表期望與方差；y為維度為n×1的觀測值向量，n為觀測值的個數；x為維度為m×1的參數向量，m為參數的個數；A為參數向量的系數矩陣，維度為n×m；Qy為觀測值向量對應方差的協方差矩陣，維度為m×m。由于模型中存在未知的周期項信號，矩陣A是未知的。最小二乘諧波估計將周期項信號以諧波函數的形式考慮在數學模型中，并通過參數顯著性檢驗來確定最優矩陣A。

1.1 單元諧波估計

根據傅里葉變換理論，對于任意給定的時間序列，可分解為一系列的正弦波akcosωkt+bksinωkt,k=1,…,q，因此式(1)可寫為：

(2)

其中，

1.2 多元諧波估計

多元諧波估計作為單元諧波估計的擴展，認為多個時間序列中的周期項信號相同，且每個時間序列中的A也相同，則(2)式可改寫為：

E(vec(Y))=(Ir?A)vec(X)+

(3)

2 算例分析

2.1 數據來源

本文數據來源于同濟大學測繪學院樓頂4個監測點(TJ01、TJ02、TJ03、TJ04)2020-12-01～12-02的監測結果。由于監測點實際上并沒有發生位移，因此GNSS坐標時間序列的波動均是由多路徑效應和噪聲引起的。另外，由于多路徑效應受衛星入射角和周圍環境共同作用，考慮到這些監測點的距離十分接近，對應于同一衛星的入射角幾乎完全一樣，因此可認為這些監測點的多路徑效應具有相同的周期性特征。各監測點的GNSS坐標時間序列由同濟大學自主研發的Ademos高精度監測軟件實時解算得到，結果數據的采樣間隔為1 min。

2.2 單元最小二乘諧波估計

以TJ01點為例進行單元最小二乘諧波估計分析，圖1展示了12-01 TJ01點去噪前后坐標時間序列的變化情況。本文利用12-02數據，特意在08:00和18:00附近各模擬了1 h的監測中斷，用于進一步分析在數據發生中斷的情況下多路徑效應的提取效果，并在圖2展示了去噪前后坐標時間序列的變化情況。為便于查看，有意將去噪后的坐標時間序列向下偏移10 cm，圖中線條表示去噪前的時間序列，十字點表示去噪后的時間序列。由于監測點實際沒有發生位移，原始GNSS坐標時間序列中的不平穩信號均是由多路徑效應引起的，利用單元諧波估計提取多路徑效應后，GNSS坐標時間序列中明顯不再存在不穩定信號，說明多路徑效應得到了較好的剔除。將4個測點各自的信息進行統計后發現，經單元諧波估計去噪后4個測點E、N、U三方向的平均剔除率分別為23.85%、25.88%、27.23%(12-01)及23.97%、21.68%、26.73%(12-02)，降噪效果明顯。由此可見，單元最小二乘諧波估計方法能有效提取GNSS坐標時間序列中的多路徑效應。

圖1 TJ01點(12-01)單元諧波估計降噪前后對比Fig.1 Comparison betweenunit-harmonic estimations before and after de-noising at TJ01 station on 12-01

圖2 TJ01點(12-02)單元諧波估計降噪前后對比Fig.2 Comparison between unit-harmonic estimations before and after de-noising at TJ01 station on 12-02

2.3 多元最小二乘諧波估計

利用TJ01、TJ02、TJ03、TJ04監測點數據進行多元最小二乘諧波估計分析。與單元諧波估計類似，圖3和4分別展示了多元諧波估計12-01與12-02 TJ01點去噪前后的GNSS坐標時間序列，為便于查看，仍將去噪后的GNSS坐標時間序列向下偏移10 cm。原始GNSS坐標時間序列中的不平穩信號經多元諧波估計提取多路徑效應后，不再存在不穩定信號，說明多路徑效應得到了較好的剔除。將4個測點各自的信息進行統計后發現，經多元諧波估計去噪后4個測點E、N、U三方向的平均剔除率分別為26.52%、28.38%、31.73%(12-01)及21.55%、17.03%、26.68%(12-02)。在未發生數據中斷的情況下，相比于單元諧波估計，多元諧波估計的去噪效果更明顯，E、N、U三方向的平均剔除率分別有2.67%、2.50%、4.48%的提高。但在數據中斷的情況下，單元諧波估計的去噪效果更好，相比于多元諧波估計，單元諧波估計在E、N、U三方向分別有2.42%、4.65%、0.05%的提高。

圖3 TJ01點(12-01)多元諧波估計降噪前后對比Fig.3 Comparison between mult-harmonic estimations before and after de-noising at TJ01 station on 12-01

圖4 TJ01點(12-02)多元諧波估計降噪前后對比Fig.4 Comparison between mult-harmonic estimations before and after de-noising at TJ01 station on 12-02

3 結 語

本文首先介紹了2種最小二乘諧波估計方法的數學原理及實現步驟，并通過實驗對比分析了單元諧波估計和多元諧波估計對GNSS坐標時間序列中多路徑效應的提取能力。結果表明，單元諧波估計和多元諧波估計均可用于提取GNSS坐標時間序列中的多路徑效應，不論監測數據是否發生中斷，均能獲得較好的去噪效果。在監測數據無長時間中斷的情況下，多元諧波估計相比于單元諧波估計具有更強的多路徑效應提取能力，能更好地提取GNSS坐標時間序列中的多路徑效應；但若監測數據存在較長時間的中斷，多元諧波估計并不能獲得比單元諧波估計更優的提取效果。