加速度地震記錄服從三維高斯分布的證明與應用

馬 亮 盧建旗 程建武

1 甘肅省地震局，蘭州市東崗西路450號，7300002 中國地震局工程力學研究所，哈爾濱市學府路29號，150080

地殼內的介質具有不均勻性和各向異性[1]，其波質點的概率密度呈橢球分布，被稱為偏振橢球模型，并表現出核心密集、外層松散的特點。在三維空間，按時間序列繪制的位移記錄散點動畫就是波質點振動的軌跡[2]，而位移記錄的三維靜態散點圖物理意義十分明確，旨在反映波質點在空間的概率密度分布，不反映波質點出現的先后順序。

在以偏振橢球模型和加速度記錄三分量的協方差矩陣為橋梁計算震中方位角的研究中，美國與中國的學者習慣用地震記錄的三分量數組計算震中方位角；而日本的學者則習慣用地震記錄的水平兩分量計算震中方位角或震中方位角的補角[3-4]，再結合垂直分量進行校正。另外，對協方差矩陣求解震中方位角數理過程的研究較少，大多在輸入地震記錄后直接用協方差矩陣或徑向能量法求解方位角，沒有論證協方差矩陣的數理過程，本文對此進行補充。

1 計算原理與數據準備

地震波在均勻的各向同性介質中傳播時，根據胡克定律：

F=-k·Δx

(1)

質點的加速度方向(受力方向)總是跟質點的位移方向相反。質點的加速度方向與位移方向有2種情況：1)當質點的運動方向背離平衡位置時，加速度方向與位移方向相同；2)當質點的運動方向指向平衡位置時，加速度方向與位移方向相反。

在這樣的各向同性介質中，P波和S波都沒有偏振現象，其質點呈線性往復運動[1]，質點的軌跡痕跡是一條線段AB，即理想軌跡線，且P波質點在任意時刻的位移、速度、加速度矢量與P波的波射線必共線，表現出四線合一的特點，這是求解震中方位角的理論依據。

本文選用日本強震基巖觀測網CHBH強震臺的加速度數據，臺站坐標為140.023 8°E、35.793 4°N，高程為-2 277 m，儀器采樣率為100 Hz，記錄持時187 s，震中距為150.494 1 km，震中方位角為70.983 7°，發震時間為2008-05-08 01:45:00，震中位于141.610°E、36.224°N，震級為7.0級，震源深度為51 km。以加速度三分量的時程數據為三維坐標系的三軸坐標，可以繪出以原點O為起點的加速度矢量端點密度分布圖。與位移三分量時程數據的三維散點圖不同，這類圖不表示波質點的軌跡狀態，而反映波質點的受力方向。由P波四線合一的性質可知，這些散點的線性回歸方程對應的直線必然無限趨近于震中。

2 P波質點加速度矢量的端點概率密度

研究認為，利用加速度地震記錄在P波到達前0.6 s時求出的震中方位角誤差最小[3-4]；也有學者發現，利用加速度地震記錄在P波到達前0.2 s時求出的震中方位角誤差最小[5]。由于前2 s的采樣點太少，本文取0.3～2.7 s的窗口繪制散點圖，以研究P波的線性特征。

圖1采用CHBH臺井下三分量地震記錄加速度數據來表現以原點O為起點的P波質點加速度矢量的端點概率密度分布。結果表明，初至P波到達后的第0.6 s，窗口內波質點的受力矢量方向幾乎共線；0.9～1.5 s窗口內質點的受力矢量出現法向分量，但概率密度呈橢球形展布；1.8～2.1 s窗口內質點受力矢量的法向分量開始向理想軌跡線AB的兩端擴散；2.1～2.7 s窗口內質點受力矢量的法向分量不僅向理想軌跡線AB的兩端擴散，而且矢量范數劇烈增加，范數值甚至達到徑向分量的一半，使得概率密度分布的外輪廓呈橢圓形。

圖1 以原點O為起點的P波質點加速度矢量的端點概率密度分布Fig.1 Probability density distribution of the end pointof the acceleration vector of the P-wave with the origin O as the starting point

圖2也采用CHBH臺井下三分量地震記錄加速度數據，來表現以原點O為起點的P波到達后第10～25 s質點加速度矢量的端點概率密度分布。注意到圖2的坐標軸刻度范圍擴大到圖1的10倍以上，表明在地震波到達后10～25 s內波質點所受的外力迅速增大，達到了圖1的10倍左右。由圖2可知，在地震波到達后10～16 s，窗口內波質點的受力矢量端點概率密度呈飽滿的橢圓形分布；19 s后開始演變為圓形，并逐步失去線性特征；25 s后質點的受力矢量法向分量的范數超過徑向分量，表明S波已經到達。

圖2 以原點O為起點的P波第10～25 s質點加速度矢量的端點概率密度分布Fig.2 Probability density distribution of the end pointof the acceleration vector of the particle in the 10 to 25 s of the P-wave starting from the origin O

3 加速度記錄服從高斯分布的檢驗

將初至P波的時間窗口劃分為5 s、10 s、15 s，再分別檢驗3個窗口內P波NS、EW及UD分量的概率密度分布，其中每個窗口有3個分量，共9組數據樣本，每個樣本的期望μ和方差σ如表1所示。

表1 加速度三分量記錄的期望μ與標準差σ

利用假設檢驗方法判斷地磁低點時間是否服從高斯分布。設某一隨機變量x(-3

a≥-3,b≤3

(2)

將表1中各組樣本的期望μ與標準差σ代入公式a=μ-σ、b=μ+σ中，求出a、b，再將a、b代入式(2)求出各組樣本在(μ-σ，μ+σ)區間內的概率，即p(μ-σ

頻率分布直方圖能直觀反映加速度記錄的幅值落在任意區間的頻次，其概率密度曲線能直觀反映加速度幅值在連續區間上的頻次變化趨勢，對認識加速度記錄的分布規律具有重要意義，同時也是判斷加速度記錄是否服從高斯分布的重要依據。從圖3可以看出，頻率分布直方圖呈鐘形分布，其外輪廓與相同期望、方差的高斯密度曲線較為接近，這與加速度地震記錄服從高斯分布的預期一致。圖3直觀地反映出初至P波在持續時間不同的窗口中幅值的概率密度分布差異很大，窗口越短加速度記錄幅值的標準差越小。

圖3 加速度三分量記錄的頻率分布直方圖和與其相同期望、方差的高斯概率密度曲線Fig.3 Frequency distribution histogram of three component acceleration record and Gaussian probability density curve with the same expectation and variance

4 置信橢圓與偏振橢球

在已獲得加速度記錄但未獲得位移記錄的前提下，要求出偏振橢球模型的長軸、次長軸、短軸的矢量坐標，就必須先證明加速度記錄的P波質點隨機震動的受力矢量服從三維高斯分布。三維高斯分布在空間上的置信區域是一個概率密度橢球體Σ(類似于電子云模型)，即離幾何中心越近，P波質點的加速度矢量端點出現的幾率越高(圖1和2)。根據三維高斯分布的定義，概率密度橢球體Σ三軸的長度、方向及橢球的旋轉角度可通過分解加速度記錄的協方差矩陣得到。根據P波四線合一的性質，偏振橢球長軸的延長線必經過震中，可通過求解偏振橢球的長軸參數求出震中方位角(圖4)。

圖4 三維高斯分布在快速計算震中方位角中的橋梁作用Fig.4 The role of 3D Gaussian distribution in fast calculation of epicenter azimuth

加速度記錄偏振橢球的長軸可看作是加速度矢量的主矢[3-4]，次長軸和短軸可看作是加速度矢量法向偏差的主矢，那么加速度記錄的偏振橢球就是質點受力矢量端點的集合。多數隨機誤差都服從高斯分布，不失一般性，P波質點在三維空間中的振動幅值變化服從三維高斯分布。如果P波和S波在地球的不均勻介質中傳播，長周期地震記錄的波質點運動也呈線性特征；而短周期地震記錄的波質點運動在平面上呈現出更橢圓或無規律的軌跡；在更短周期的高頻信號中，波質點運動顯現出無規律的軌跡[1]。對同一地震記錄作長周期濾波后，保留的短周期記錄的線性會顯著下降。

簡言之，波質點運動有2個特點：1)波質點運動的線性規律會隨著介質的不均勻性和各向異性的增強而下降；2)波質點運動的線性規律會隨著地震信號頻率的升高而下降，下降后呈現出更橢圓或無規律的軌跡，從而在平面內呈現出更橢圓、在空間內呈現出橢球狀的偏振橢球。實際上，P波在不均勻介質中傳播時速度記錄也有對應的偏振橢球模型，但這種橢球模型不能反映出波質點的運動軌跡，僅能看作是以原點O為起點的速度矢量端點的概率密度分布。

5 結 語

對協方差矩陣進行分析能夠計算出偏振橢球的幾何參數，其原理是將波質點的運動看作結構隨機的振動，將質點偏離線性運動軌跡線的距離看作隨機誤差，這種隨機誤差恰好服從三維高斯分布，從而用高斯分布的特性(置信橢圓)求出偏振橢球的幾何參數。主要結論如下：

1)P波的先至性、純凈性、強線性使其能很好地滿足地震預警快速反應的特點，初至P波擁有其他地震波不具備的四線合一性質。

2)加速度記錄不能像位移記錄一樣表現質點的運動軌跡，但由于P波的四線合一性質，使得加速度記錄也可用來求取震中方位角。

3)加速度記錄的三分量各自獨立地服從高斯分布，加速度記錄整體服從三維高斯分布。

加速度記錄服從三維高斯分布在快速地震定位中有著非常重要的應用。根據置信橢球的定義，當滿足三維高斯分布條件時，利用地震記錄三分量的協方差矩陣可計算出偏振橢球的長軸、次長軸和短軸矢量，從而求出震中方位角，該過程完美展示了三維高斯分布的置信橢球、地震記錄的協方差矩陣與地震記錄的偏振橢球之間的物理關系。