以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)的教學(xué)設(shè)計(jì)
——以三角函數(shù)知識(shí)教學(xué)為例

江蘇省海安中等專業(yè)學(xué)校 劉愛(ài)琴

數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，不斷優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，優(yōu)化教材的內(nèi)容，設(shè)置有趣的教學(xué)情境，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用能力，注重對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行反思和總結(jié)，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本文以三角函數(shù)一章的部分知識(shí)教學(xué)為例，闡述了以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)的教學(xué)設(shè)計(jì)方法內(nèi)容，以供參考。

一、挖掘教材內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容是很多專家和學(xué)者根據(jù)學(xué)生的身心特點(diǎn)精心設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)資料，教師應(yīng)當(dāng)充分挖掘教材的內(nèi)容，讓學(xué)生充分了解和掌握數(shù)學(xué)教材中關(guān)于三角函數(shù)的概念和公式等知識(shí)，夯實(shí)基礎(chǔ)，為培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

例如，教師在開(kāi)展“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)立足于教材內(nèi)容的基本公式和基礎(chǔ)理論知識(shí)，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)當(dāng)先引導(dǎo)學(xué)生回顧初中銳角三角函數(shù)的定義和基本內(nèi)容，為后續(xù)學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)埋下伏筆。教師引導(dǎo)學(xué)生完成復(fù)習(xí)工作之后，給學(xué)生設(shè)置一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，例如：我們是否可以在直角三角形內(nèi)繼續(xù)進(jìn)行任意角三角函數(shù)的定義呢？通過(guò)拋出問(wèn)題的形式來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索，通過(guò)平面直角坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行任意角三角函數(shù)定義的初步嘗試。如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，如何定義任意角α 的三角函數(shù)呢？

教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)平面直角坐標(biāo)系來(lái)將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)換為代數(shù)知識(shí)，采用點(diǎn)的坐標(biāo)的形式來(lái)表達(dá)定義式中的三個(gè)量，教師應(yīng)注重將數(shù)形結(jié)合思想滲透到這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生分組進(jìn)行探討：“為什么要在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行三角函數(shù)的定義分析？以點(diǎn)的坐標(biāo)的形式來(lái)進(jìn)行三角函數(shù)式的表達(dá)有什么好處？”為方便學(xué)生思考，教師可以設(shè)置幾個(gè)問(wèn)題給學(xué)生討論，如：(1)弧度是怎么定義的？圓的半徑的大小會(huì)不會(huì)對(duì)弧度的定義產(chǎn)生影響？采用多大的圓來(lái)解釋定義更恰當(dāng)呢？(2)以任意一個(gè)三角函數(shù)y=sinα 為例，該三角函數(shù)的函數(shù)值受哪些因素的影響？若角的終邊位置已被確定，我們是否還可以取終邊上的任意一點(diǎn)來(lái)進(jìn)行三角函數(shù)的定義？如何去決定這個(gè)點(diǎn)能使定義式變得簡(jiǎn)單？(3) 任意角的三角函數(shù)值與角終邊上點(diǎn)的位置有沒(méi)有關(guān)系？三角函數(shù)值的變化與誰(shuí)有關(guān)？這樣讓學(xué)生在借助單位圓給任意角的三角函數(shù)下定義，教師根據(jù)學(xué)生的討論結(jié)果進(jìn)行整理并給出定義內(nèi)容。

在此基礎(chǔ)上教師讓學(xué)生根據(jù)定義分析，要求角α 的三角函數(shù)值實(shí)質(zhì)上是在求什么的值？以此來(lái)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用圓的坐標(biāo)進(jìn)行三角函數(shù)的定義有哪些微妙之處。學(xué)生便會(huì)明白，這種學(xué)習(xí)模式不僅是對(duì)三角函數(shù)定義式的簡(jiǎn)化，還是對(duì)三角函數(shù)本質(zhì)概念的突出顯示，教師可借助問(wèn)題設(shè)定的形式來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行三角函數(shù)定義的轉(zhuǎn)化運(yùn)用。以下題為例：已知角α 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，-4)，求角α 的正弦、余弦和正切值。在完成本題的基礎(chǔ)上，教師可以通過(guò)下列變式引導(dǎo)學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)的概念作進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，變式:分別求角π/3 和π 的正弦、余弦和正切值。先讓學(xué)生從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，通過(guò)變式讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何利用定義求不同情況下函數(shù)值，加深對(duì)定義的理解，加強(qiáng)定義應(yīng)用中與幾何的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。為引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解任意角三角函數(shù)的概念，可以提問(wèn)：你能否給出正余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域？函數(shù)三要素中最本質(zhì)的則是對(duì)應(yīng)法則和定義域，三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則已經(jīng)由定義式給出，所以要繼續(xù)研究其定義域。通過(guò)三角函數(shù)的定義來(lái)進(jìn)行定義域的界定，既是對(duì)三角函數(shù)本質(zhì)概念的完善，又是提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解程度的有效途徑。

二、小組合作探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科在很多人看來(lái)是一個(gè)比較抽象的學(xué)科，學(xué)習(xí)起來(lái)不是很容易，學(xué)生在面對(duì)晦澀難懂的三角函數(shù)的公式和理論知識(shí)的時(shí)候常常會(huì)感覺(jué)到難以理解和掌握，容易產(chǎn)生厭學(xué)情緒，因此在課堂上他們經(jīng)常會(huì)思想跑偏或者打瞌睡，不認(rèn)真聽(tīng)老師講的重點(diǎn)知識(shí)，學(xué)習(xí)質(zhì)量和效率比較低下，等到做練習(xí)題的時(shí)候又不會(huì)，如此便陷入了一個(gè)死循環(huán)。如果教師積極組織學(xué)生開(kāi)展小組合作學(xué)習(xí)，可以提高學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，讓學(xué)生在合作探究學(xué)習(xí)中各抒己見(jiàn)，取長(zhǎng)補(bǔ)短，有利于縮小學(xué)生之間的差異，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，同時(shí)也有利于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

教師可以靈活采取讓學(xué)生根據(jù)自己的興趣進(jìn)行自主組合，在小組學(xué)習(xí)中學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)能力各有差異，學(xué)生在共同的學(xué)習(xí)目標(biāo)驅(qū)使下形成一定的聚合力，也能在相互交流的過(guò)程中達(dá)到合作學(xué)習(xí)的目的，集思廣益地去從多方面入手思考問(wèn)題，進(jìn)而形成一種科學(xué)化、有效化的解題思路，提高學(xué)習(xí)效果。為了達(dá)到教學(xué)設(shè)計(jì)目標(biāo)，教師在學(xué)生小組學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)布置一定的學(xué)習(xí)任務(wù)，而任務(wù)驅(qū)動(dòng)合作學(xué)習(xí)可以使成員間的個(gè)性差異縮小，有利于學(xué)生基于興趣愛(ài)好激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。在學(xué)生討論的時(shí)候，教師可以在小組間巡察及時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，有效地利用合作交流時(shí)間。學(xué)生在討論中可以拓寬知識(shí)范圍，將其他學(xué)生和教師的解題思路有效整合，轉(zhuǎn)化為自己的思維并加深印象，有利于學(xué)生之間加強(qiáng)感情，培養(yǎng)合作精神，促進(jìn)共同進(jìn)步。學(xué)生在討論交流完畢后，應(yīng)當(dāng)輪流發(fā)表意見(jiàn)，教師認(rèn)真傾聽(tīng)，及時(shí)對(duì)學(xué)生的探究方式予以指導(dǎo)，有針對(duì)性地進(jìn)行總結(jié)評(píng)價(jià)，以達(dá)到評(píng)價(jià)教學(xué)的根本目的。

例如教師在開(kāi)展函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象(第二課）的教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)組織學(xué)生分別探究A、ω、φ 對(duì)y=sin(x+φ)、y=Asinx(A＞0)、y=sinωx(ω＞0)的圖象的影響，在學(xué)生理解了A、ω、φ 分別對(duì)圖象的伸縮、平移變換變化規(guī)律的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究A、ω、φ 對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的綜合影響。教師給學(xué)生設(shè)置了以上兩個(gè)問(wèn)題之后引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展小組探究學(xué)習(xí)，讓學(xué)生自主探究研究策略，正確找出由函數(shù)得到的圖像變化規(guī)律，讓學(xué)生體會(huì)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，特殊到一般的化歸思想，從而達(dá)到從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍。教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)明確本節(jié)課的難點(diǎn)是:1.平移變換;2.A、ω 不為1 時(shí)的伸縮變換。突破難點(diǎn)的策略是：教學(xué)中不急于把結(jié)論拋給學(xué)生，而是結(jié)合多個(gè)具體的例子讓學(xué)生自己畫圖探究體會(huì)，如畫出y=sin2x 和y=sin3x，y=sinx/2 和y=sinx/3的簡(jiǎn)圖，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)整體代換思想的理解，同時(shí)也使學(xué)生對(duì)圖像有更深刻的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生親歷從具體到抽象、從特殊到一般的探究過(guò)程，逐步概括圖象變換的規(guī)律。學(xué)生通過(guò)充分地思考和探究，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系，并對(duì)結(jié)論進(jìn)行理性思考，從中學(xué)習(xí)解決問(wèn)題的一般方法，從而突破難點(diǎn)。由于每個(gè)人的知識(shí)、能力不同，認(rèn)識(shí)問(wèn)題的習(xí)慣與特點(diǎn)不同，所以教師遵循自主探究、合作交流的教學(xué)方式，把本節(jié)課的探究過(guò)程設(shè)計(jì)為一個(gè)動(dòng)態(tài)的、開(kāi)放的系統(tǒng)，而不是設(shè)計(jì)成一個(gè)封閉的、靜態(tài)的系統(tǒng)，這樣才能充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，有利于學(xué)生認(rèn)知策略的發(fā)展。

三、分層布置數(shù)學(xué)作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)

作業(yè)是數(shù)學(xué)課堂的有效延伸，是對(duì)學(xué)生知識(shí)掌握情況的考察，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生之間的個(gè)體差異性，認(rèn)識(shí)到差異性的可貴之處，并且針對(duì)不同層次的學(xué)生逐層設(shè)計(jì)課外作業(yè)，這樣不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生均能夠達(dá)成作業(yè)的完成目標(biāo)，從而促使學(xué)生感受到成功的喜悅，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)更加努力。如果教師布置的作業(yè)沒(méi)有分層設(shè)計(jì)，那么對(duì)一部分學(xué)習(xí)成績(jī)較差的學(xué)生來(lái)說(shuō)確實(shí)太難，他們?yōu)榱送瓿勺鳂I(yè)就會(huì)去抄襲其他學(xué)習(xí)較好學(xué)生的作業(yè)，他們?cè)谡粘鳂I(yè)的時(shí)候?qū)τ谝徊糠纸忸}思路和公式并不理解，但也沒(méi)有及時(shí)向其他學(xué)生和教師請(qǐng)教，久而久之學(xué)生就會(huì)對(duì)知識(shí)漸漸陌生，這樣不利于學(xué)生掌握更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，因此教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的具體情況合理設(shè)計(jì)課后作業(yè)，讓學(xué)生通過(guò)完成不同層次的課后作業(yè)，不斷鞏固和加深所學(xué)的新知識(shí)，對(duì)提高不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素心素養(yǎng)有很好的推動(dòng)作用。

教師應(yīng)當(dāng)對(duì)班級(jí)的學(xué)生進(jìn)行綜合評(píng)定，根據(jù)學(xué)生的成績(jī)、學(xué)習(xí)能力以及動(dòng)手實(shí)踐水平等方面將學(xué)生分為三個(gè)等級(jí)，第一個(gè)等級(jí)是學(xué)習(xí)和動(dòng)手能力均為較差水平的學(xué)生，第二個(gè)等級(jí)是學(xué)習(xí)和動(dòng)手能力均為一般的學(xué)生，最后一個(gè)等級(jí)是學(xué)習(xí)和動(dòng)手能力較強(qiáng)的學(xué)生，然后教師根據(jù)每個(gè)等級(jí)學(xué)生的具體學(xué)習(xí)狀況采取合理的教學(xué)方法，讓他們合理選擇數(shù)學(xué)題目難度和內(nèi)容，讓每個(gè)學(xué)生都可以在學(xué)習(xí)中體驗(yàn)到成功的快樂(lè)。

例如，教師針對(duì)第一等級(jí)的學(xué)生應(yīng)當(dāng)布置一些基礎(chǔ)練習(xí)：為了得到函數(shù)y=sin（2x-π/6）的圖象，可以將函數(shù)y=sin2x的圖象A.向右平移π/6 個(gè)單位長(zhǎng)度；B.向右平移π/3 個(gè)單位長(zhǎng)度；C.向左平移π/6個(gè)單位長(zhǎng)度；D.向左平移π/3 個(gè)單位長(zhǎng)度。而對(duì)于第二等級(jí)的學(xué)生教師可以布置一些拔高性習(xí)題：要得到函數(shù)y=2cosx 的圖象，只需將函數(shù)y=2sin(2x+π/4)圖象上的所有點(diǎn)的A.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的1/2(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動(dòng)π/8 個(gè)單位長(zhǎng)度；B.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的1/2 (縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)π/4 個(gè)單位長(zhǎng)度；C.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2 倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動(dòng)π/4 個(gè)單位長(zhǎng)度；D.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2 倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)π/8 個(gè)單位長(zhǎng)度。而針對(duì)最后一個(gè)等級(jí)的學(xué)生應(yīng)當(dāng)布置一些拓展性的題目，如：已知函數(shù)f(x)=sin(π/3-2x)(x∈R)：(1)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；(2)經(jīng)過(guò)怎樣的圖象變換使f(x)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱?

教師采取逐層設(shè)計(jì)的原則將作業(yè)的難度進(jìn)行了細(xì)致的劃分，以促使學(xué)生能夠依據(jù)自身的情況來(lái)進(jìn)行自主選擇，學(xué)生也便不會(huì)再覺(jué)得難以完成，使學(xué)生既能夠感受到完成作業(yè)所帶來(lái)的喜悅，同時(shí)又切實(shí)有效地掌握了相應(yīng)知識(shí)內(nèi)容，讓學(xué)生獲得自信心，保持學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

四、鞏固所學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生反思評(píng)價(jià)

在這節(jié)課中，學(xué)生通過(guò)分組討論、合作學(xué)習(xí)的方式對(duì)三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行了探究，通過(guò)解答例題來(lái)認(rèn)識(shí)常見(jiàn)的題型，總結(jié)解題方法。在學(xué)習(xí)完常見(jiàn)題型后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同題型之間的聯(lián)系，學(xué)會(huì)透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)。在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師可以向?qū)W生提問(wèn)：本節(jié)課你們都學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？自己掌握了哪些知識(shí)？在解題的過(guò)程中都運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想？每個(gè)小組可以分別派一名代表來(lái)對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行回顧小結(jié)，教師對(duì)每個(gè)小組的回答情況進(jìn)行打分，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)板書(shū)的內(nèi)容繼續(xù)完善答案。完成上述環(huán)節(jié)之后，教師就可以對(duì)本節(jié)課各個(gè)小組的綜合表現(xiàn)情況進(jìn)行打分和評(píng)價(jià)，對(duì)表現(xiàn)非常好的小組給予嘉獎(jiǎng)和表?yè)P(yáng)，而對(duì)表現(xiàn)不是很理想的小組給予鼓勵(lì)和支持。例如老師給出了這樣一個(gè)問(wèn)題：y=Asin（ωx+φ）+B型函數(shù)與y=at2+bt+c 型函數(shù)求最值的方法一樣嗎？學(xué)生在思考這個(gè)問(wèn)題后可能會(huì)想到，這兩種函數(shù)類型是不同的，但是說(shuō)不出原因。這時(shí)教師就需要引導(dǎo)學(xué)生找到這兩種函數(shù)的相同之處，即它們的解題方法可以采用化同角化同名或換元的方式進(jìn)行解答，可以將多元的問(wèn)題單元化，將復(fù)雜的題型化簡(jiǎn)，將不熟悉化為熟悉。這種方法其實(shí)就是透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)不同題型中的相同之處和聯(lián)系，這樣可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)和體會(huì)數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教師只是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者和支持者，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)以學(xué)生為主體，讓學(xué)生進(jìn)行分組學(xué)習(xí)、小組討論是為了讓學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣和能力，激發(fā)各個(gè)小組的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)，激發(fā)學(xué)生探究問(wèn)題的積極性。數(shù)學(xué)本身就是一個(gè)具有抽象性的學(xué)科，對(duì)于一道題可能會(huì)有多種不同的解題方法，教師就需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究來(lái)完善解題思路，將常規(guī)思路和創(chuàng)新思路進(jìn)行對(duì)比，使學(xué)生的思維得到發(fā)散，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

根據(jù)新課標(biāo)的要求，數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)更加注重過(guò)程及學(xué)習(xí)方法的學(xué)科，對(duì)學(xué)習(xí)的結(jié)果關(guān)注較少，數(shù)學(xué)注重的是培養(yǎng)學(xué)生的各種思維和能力。尤其是在一節(jié)課將要結(jié)束時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，這樣可以鞏固所學(xué)的知識(shí)，使知識(shí)基礎(chǔ)更加牢固，這也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最不可缺少的一個(gè)環(huán)節(jié)。

數(shù)學(xué)教師在教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)當(dāng)將學(xué)生放在教學(xué)活動(dòng)的主體地位，在三角函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，不斷挖掘教材內(nèi)容，組織學(xué)生開(kāi)展合作探究學(xué)習(xí)，并采取分層布置作業(yè)的教學(xué)方式，不斷優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)容和形式，讓學(xué)生可以不斷提高其自主學(xué)習(xí)和探究的意識(shí)和能力，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量和效率。