追尋完美答案的數學人生
——記同濟大學及集美大學特聘教授、同濟數學研究所所長蘇育才

王 軍

以向往的名義

1963年，蘇育才誕生在福建龍巖有著四百多年歷史的土樓里。族人重視教育的傳統，讓性格內向的蘇育才找到了一方得以安心讀書的小天地，也是在這里，“除了數學別的都做不好”的他逐漸對數學產生了濃厚的興趣，加之長輩的鼓勵，學數學、做數學題對于那時的蘇育才來說，便成了一件頗有成就感的趣事。

在蘇育才就讀中學時，一篇名為《哥德巴赫猜想》的報告文學橫空出世，不僅讓陳景潤、華羅庚等數學家的故事為大眾所熟知，在“向科學進軍”號召的推進下，全社會的科研熱情也為之一振。這在蘇育才心中埋下了一顆向往科學的種子，也催生了他探索數學世界的愿望。作為恢復高考后的第二批高考生之一，1978年蘇育才毫不猶疑地選擇報考陳景潤的母校——廈門大學數學系。他與數學世界的際遇，也就此走入了下一個階段。

蘇育才在廈門健康步道漫步時留影

走過4年充實的大學時光，打下堅實基礎的蘇育才于1982年在碩士導師楊錫安教授的引導下，走上了李理論研究之路。所謂李理論，就是以李群、李代數及其推廣為研究對象的一個數學分支。由于李理論與諸多數學分支均有聯系，其在數學研究中的重要性不言而喻。蘇育才在導師的指導下，完成了在無窮維濾過李代數方面的部分研究工作，這成了他觸摸李理論研究的一把鑰匙，也為他日后從事李超代數等相關工作奠定了堅實的基礎。

1986年，蘇育才與曾經向往的大數學家產生了千絲萬縷的聯系，他考取了中國科學院系統科學研究所的博士研究生，師從華羅庚的弟子、中國科學院院士萬哲先。對于李代數興趣濃厚的萬哲先院士，不僅親身垂范、嚴謹治學，敦促學生快速成長；更邀請眾多活躍在學術前沿的國際李理論專家到所講學，為自己的學生乃至整個中國李代數學界打開了國際視野，蘇育才正是其中的受益者之一。“表示理論是代數研究對象的靈魂，在萬老師的引領和指導下，我在無窮維李代數的重要表示方面有了必要積累，并做了部分相關研究工作，這對我后來的研究工作至關重要。”蘇育才回憶道，“而與國際李理論專家的合作與交流，也讓我萌生了接觸學科前沿、去海外繼續深造學習的念頭。”想通了這一點，蘇育才迅速打點行裝、準備出發。1990年，在考取包玉剛獎學金后，他獲得了赴英國瑪麗皇后學院展開為期一年訪問學習的寶貴機會。

一年的時間雖然短暫，對于初出國門的蘇育才來說卻是意義非凡。“在英國那一年，對我來說是非常重要、受益終身的一段經歷。”與合作導師關于李理論的一次次徹夜長談、關于研究方法的一次次磨合結出了豐碩的成果——在此期間誕生的一篇篇學術論文，成為蘇育才科研路上亮眼的注腳。隨后在合作導師的推薦下，蘇育才前往加拿大開展博士后研究，然而這一次“北上”，蘇育才卻迎來了一次“迷茫期”。

蘇育才參加學術會議時與陳省身數學研究所所長白承銘（左一）和當時的學生程永勝（右一）在一起

“博士期間我曾經做了一項研究，成果也得到了導師的充分肯定。但是導師隨后發現，這個結果已經有人claim(宣稱)了。在數學的世界中，只有第一、沒有第二，在別人之后完成，就相當于做了他人的題目，這就只是‘做題’而非開創，所以說這項成果也就不能作數。”多年后，提及這段與他人“做重了”研究的經歷，蘇育才仍難掩遺憾。加之他到加拿大后，發現自己難以融入所在學校的研究方向里，種種遭遇讓蘇育才對自己的研究方向產生了深深的迷茫。在極度沮喪的時候，蘇育才甚至運用自己的數學基礎自學計算機課程、編寫了一些計算機游戲，并借此找到了待遇相當不錯的工作。那時候他甚至想過：“我這一輩子就做這樣的工作了，可能就再也和數學沒有什么關系了。”但是這樣的日子并沒有持續多久，蘇育才就無法漠視心中對于數學的熱愛和向往——“沒有數學是不可以的，我還是喜歡數學。”深埋心中的熱愛再一次迸發出強勁的力量，蘇育才毅然重新回到了學習數學、鉆研數學、探索數學的道路上，再也沒有離開過。

與“重新做數學”一起堅定的，還有蘇育才回國報效的夢想。游學各國、上下求索的經歷，給予了他對于數學更深的理解；離家越遠，也越讓他感受到對祖國深深的眷戀之情。1997年年底，作別了生活工作6年的加拿大，蘇育才通過人才引進政策回到祖國，從此正式開啟了他執教與科研并重的高校教師生涯。

用專注的力量

迷茫過、思考過、鉆研過，蘇育才對于自己的研究方向有了更為清晰的選擇——他將“代數學中的李理論、數學物理中的共形場論、理論物理中的超對稱性”作為自己的主要研究方向。基于數學與物理學的緊密相關性，蘇育才錨定數學和物理學的交叉領域，一方面致力于物理現象的數學描述，另一方面對已確立數學模型的物理問題研究其數學處理方法，他期待可以通過數學理論預見可能會發生的物理現象，以實現李代數在經典力學、量子力學、共形場論、廣義相對論、孤立子與可積系統中的實際應用。定好了方向，就要打“硬仗”。蘇育才將自己在教研生涯意義極為重大的“第一仗”，放在了回答若干李超代數“懸而未決”的問題上。

20世紀70年代，卡茨（Kac）曾多次提出的關于典型李超代數gl（m|n）的一系列公開問題，如：計算有限維不可約表示的Kazhdan-Lusztig多項式、給出特征標公式的Kac-Weyl型的有限和的形式和維數公式；確定Kac-模的結構；給出型I典型李超代數的上同調群等。這些問題引起了眾多數學家和物理學家的廣泛興趣，但在蘇育才開始相關研究前，上述問題尚未得到有效解決。談及這些問題的重要性和難點，蘇育才逐一解釋道：如薩爾尼科夫（Serganova）通過建立李超代數g的正奇部冪零子代數g+1的系數在g的不可約模的上同調群與Kazhdan-Lusztig多項式的系數之間的關系，利用代數與幾何相結合的方法，給出了一般線性李超代數gl（m|n）的有限維不可約模的特征標公式。但這是一個無限遞推公式（algorithm），難以實際應用。后續布萊頓（Brundan）利用純代數的方法，也給出了gl（m|n）的特征標公式，但這仍然是個遞推公式。因此如何給出典型李超代數的具體有效的特征標公式是相關研究中的首要難題。此外，上同調群與Bott-Borel-Weil理論及李超代數的Kazhdan-Lusztig理論都有著重要聯系，也是刻畫和分類不可分解模的關鍵。但在當時，典型李超代數的系數在非平凡模上的上同調還鮮為人知。而Kac-模的結構則是數學物理學家長期以來一直關注的課題，它與不可約模的特征標密切相關。

問題棘手而極具挑戰性，這并沒有讓蘇育才為之退縮。依托國家自然科學面上基金、教育部跨世紀人才基金、中國科學院“百人計劃”基金及國家杰出青年科學基金，蘇育才開始了關于李超代數的系統研究，并最終收獲了一系列成果：他以獨立或合作的形式，給出了gl（m|n）有限維不可約模的Kazhdan-Lusztig多項式、特征標公式的Kac-Weyl形的有限和的形式和維數公式，并證明了范德耶烏特（Van der Jeugt）等人關于特征標的猜想，從而圓滿解決了卡茨（Kac）提出的關于gl（m|n）的公開問題；與此同時，他確定了gl（m|n）的Kac-模的結構，證明了修斯（Hughes）等人關于gl（m|n）的Kac-模合成因子(或本原權)與一類可允許碼一一對應的猜想，這對理解典型李超代數不可分解模具有明顯意義；此外，他還解決了型I典型李超代數的上同調群的公開問題。當相關成果發布于《數學進展》(Advances in Mathematics)、《倫敦數學學會會報》(Proc.London Math.Soc)、《數學期刊》（Math.Z）等重要雜志后，蘇育才不僅收獲了相關研究者的一致贊譽，更引起了問題發起者卡茨（Kac）的極大興趣。在了解蘇育才的研究結果后，這位提問人欣喜地表示：“我總相信應該有完美的公式。”而論文評審者的評審意見也為蘇育才的成果做了絕佳的背書，這份基于苦思和鉆研的成果，被布萊頓、卡茨、范德耶烏特及論文審稿人等認定為“對gl（m|n）不可約表示的特征標作出了重大貢獻，作者得到了全新的維數公式”及“作者當之無愧成為第一個給出這一公式的人”。

從“做重了”的遺憾中走出，蘇育才終于以首創者的姿態交出了一份亮眼的成績單。然而蘇育才并未止步于此，在國家自然科學基金重點項目“李理論及其應用”的研究中，蘇育才進一步探索讓理論走向應用的諸多可能性。基于李理論相關研究已成為現階段代數學最為活躍領域之一的實際情況，以及李理論研究對其他諸多學科發展廣泛而深刻的影響力，蘇育才就數學物理中自然出現的一些代數與超代數及它們的表示理論展開研究，包括李超代數的范疇O及parabolic范疇O，仿射李超代數的正能量表示，不變量理論、(超)對稱性理論、高階超Schur-Weyl對偶，以及李超代數的范疇O的Koszul對偶性等在內的研究內容，都被蘇育才納入這一項目的研究范疇中。蘇育才團隊利用形變理論的創新思路研究Jantzen濾過；并在研究中引進primitive weight graph，用以研究Verma模結構；同時分別利用weight diagram研究raising、lowering operators；利用right、left paths研究Verma模的合成因子；利用代數與組合相結合的方法研究特征標；利用Jantzen多項式研究Kazhdan-Lusztig多項式；利用各種對偶研究李超代數拋物范疇O的每一快的Koszul性；利用研究有限分次李超代數如Virasoro超代數的表示論方法研究非有限分次李超代數的表示。通過上述研究，蘇育才團隊發展出一套行之有效的方法；蘇育才的研究成果至今被356位作者引用1456次（MathSciNet數據）。“簡單地說，我們的其中一項重要的研究成果就是給出了一個公式（被文獻稱之為蘇-張公式），可以用于數學和物理層面的相關計算場景。目前來看，這個公式中每一項數據的意義還比較復雜，所以只應用于一些特殊場景的計算。未來我們的研究重點，就是圍繞這個公式，繼續拓展更多的應用場景，使理論真正服務于應用。”蘇育才躊躇滿志地說道。

2010年教師節時蘇育才（前排中）與學生們在一起

從“狼來了”到“真來了”

在從事李理論研究的過程中，蘇育才“邂逅”了一項與李理論關系頗為密切的難題——雅可比猜想。這個誕生于1939年的著名猜想，涉及多項式映射的可逆性研究，與代數、幾何、分析、數論、方程等諸多數學分支密切相關。因其重要性和廣泛的關聯性，這一猜想的破解無疑將對相關重要問題的解決產生深遠影響，充滿挑戰性的未知領域也吸引著眾多代數幾何領域的專家學者和數學愛好者向其發起沖鋒。然而，在不知凡幾“成功了”的喜悅之后，研究者們很快發現，這不過又是一次失敗的嘗試，甚至在數次證明成果已經發表后，又被發現其中有無法修補的漏洞。雅可比猜想像一座可望而不可即的山峰，讓研究者心向往之，而又折戟于此。山頂上那一抹真理的榮光，似乎永遠無法觸及。

而對于蘇育才來說，雅可比猜想又有著另外一重意義——他看到了雅可比猜想與李理論研究之間的“紅線”：“作為李代數的推廣，李超代數與理論物理中的超對稱性密切相關。雖然李代數本身是非結合代數，但其泛包絡代數是結合代數，交換李代數的泛包絡代數同構于多項式代數，雅可比猜想給出了多項式映射的可逆性條件，即李代數與雅可比猜想都與多項式直接相關，而我在李代數和李超代數的研究經歷與積累對雅可比猜想的解決也極其重要。”抱著觸類旁通的想法，蘇育才自2004年起開始接觸雅可比猜想。當時只是對雅可比猜想產生興趣的蘇育才并不知道，隨后他會與這個猜想產生如此深刻的關聯。

與雅可比猜想“初相識”，蘇育才給自己定了一個“規矩”：“因為雅可比猜想的研究是個‘熱門問題’，但是目前還沒有‘正確答案’。這可以從一定程度說明，現有的研究方法是有問題的，所以我決定不看別人怎么做，因為沿著別人的舊路走就可能重復別人的錯誤，我要自己走出一條新路來。”如今回顧這段摸索前行的時光，蘇育才坦言，剛開始時做出的所謂“成果”是很幼稚的，“我就像闖入這個領域的一個小孩兒，得到一個成果就想著趕緊在網上發布，在發布之后才仔細檢查，檢查之后發現成果中有錯誤，而且這些錯誤都是比較明顯的。不過，幸運的是，除了兩次‘初級錯誤’被有關專家一眼發現外，每次錯誤也都是我自己發現的，沒有浪費別人的時間來驗證我有錯的‘成果’。很多領域的專家學者即使一眼就看出了我的錯誤所在，但他們也愿意為我提供一些指導和幫助。”而這些積極指正蘇育才的人中，對他影響最深、幫助最大的，當屬美國普渡大學的華人數學家莫宗堅教授。

“莫宗堅教授癡迷雅可比猜想研究多年，對相關研究的貢獻也很大。”蘇育才介紹道。這位領域內的巨擘從未指責蘇育才的“橫沖直撞”，反而以過來人的身份給予了年輕的蘇育才切實的幫助。走過最初6年毛躁的摸索期，蘇育才逐步整理了對于雅可比猜想的種種試錯經驗，并基于雅可比猜想與李理論的關系，將李代數的研究方法引入雅可比猜想的證明過程中。終于在2013年，蘇育才取得了“滿意的成果”，他興奮地與引路人莫宗堅、從研同行列昂尼德·馬克爾·利馬諾夫（Leonid Makar-Limanov）、大衛·萊特（David Wright）等，以及審稿人國際知名的雅可比問題研究專家范德埃森（Van den Essen）教授討論，每個人都為這一突破感到振奮。“我最大的愿望就是在有生之年，看到這個猜想被證明！”審稿人興奮的話語猶在耳畔，蘇育才卻在反復的驗證過程中，發現了自己這個“肯定做成功”的結果中仍有尚未解決的問題。

這一次失敗對每個人的打擊都是巨大的。甚至莫宗堅都遺憾地說：“雅可比猜想可能是上帝給人類制造的一個難題，人類也許要再過一百年才能解決。(The problem of Jacobian Conjecture is very hard.Perhaps it will take human being another 100 years to solve it.)”而對蘇育才影響更大的是，因為數次宣稱“做成功了”最終卻又發現問題，他的“成功了”幾乎被看作是“狼來了”故事的現實翻版，他所撰寫的相關論文也與領域內數以千計的論文一樣，陷入沉寂。

關關難過關關過，蘇育才并未沉湎于失敗，在攀登雅可比猜想高峰的路上，他沒有片刻停留。一次重大的失敗對于蘇育才來說，其更重要的意義在于發現曾經無法解決的問題所在。知道了“病灶”在哪里，只須對其展開攻關，假以時日，必有所成。他是這么想的，也是這么做的。

“如果說2004年到2010年是摸索的6年，2011年到2016年是求變的5年，那么2016年到現在，就是一直在完善的過程中。”蘇育才介紹道。從2016年發現問題，到2018年找到解決這個問題的有效方法，再到運用這一方法對原有成果進行進一步完善，蘇育才每一步都走得很堅定。2021年11月20日，在雅可比猜想研究領域已經走過18年的蘇育才堅定地說：“我確認，我完全做出來了。”在此之前，蘇育才先后在上海交通大學、中國科技大學、南開大學等高校分別作了每場長達十數個小時的詳細報告，并在此過程中不斷解決發現的新問題、不斷驗證結果的準確性。幾經磨礪，蘇育才終于交出了一份滿意的答卷，并于同年12月5日以投稿的形式將相關成果投遞給國際重要期刊。

自投身于相關研究以來，蘇育才深知雅可比猜想的復雜性，也切身感受過相關研究中極高錯誤率帶來的遺憾。因此，在認定相關結果已經完善后，蘇育才仍通過報告、討論等形式，持續對相關成果進行驗證。除了尋求領域內專家學者進行評估和審核，蘇育才還積極邀請分析方面的專家學者，以及具有交叉學科背景的科研工作者，對其成果進行鑒定和討論。2022年3月26日、4月17日及5月22日、5月29日，蘇育才先后于北京理工大學和吉林大學開展了兩場每場長達十小時的線上報告會，講述證明細節，相關錄像材料也已經發布于網絡，以供更多人了解并加入討論。在采納多位專家學者給出的重要改進建議的基礎上，經過數月的反復驗證和完善，蘇育才相關成果的總體思路和細節未發現不可修復的漏洞，他終于可以自信地說：“我現在可以說，雅可比猜想證明這個問題，我已經完全解決了。我最近一直在‘很高調’地強調我的結果并在各種場合作報告、講證明細節，目的就是為了讓更多人關注。目前發布的最新版本，已經填補了我發現的所有漏洞，是完整而完善的成果。‘狼來了’的故事已經過去，現在是‘真來了’。”

在蘇育才看來，證明雅可比猜想、解決其中關涉的種種問題，是一個結束，亦是一個新的開始。“對于我來說，這項工作已經收尾了。相較于雅可比猜想這個艱深的問題，我用了比較初等的方法來解釋和解決這個問題。這樣做的好處是，想要看懂我的成果并不困難，我也希望通過這種形式，可以吸引更多的人對雅可比猜想研究、對李理論研究產生興趣并最終參與其中，這是我工作的終極意義所在。”

六十耳順。馬上要六十歲的蘇育才，將殷切的目光投向年輕一代的培養。作為同濟大學數學研究所所長和集美大學特聘教授，蘇育才積極選拔鐘情于數學科研的青年教師，協助其在科研層面行穩致遠，“讓有理想、有干勁、有奔頭的年輕人專心做科研，是非常好的一件事”。與此同時，蘇育才更加專注衣缽傳承，培養出比自己優秀的學生是他未來的重要目標之一。生命不息，研究不止。正如蘇育才所說，數學的魅力之處，就在于其判別標準的科學性和唯一性，而對于圓滿答案的探求，就是數學人一生為之奮斗的初心。將熱愛凝練為前行的動力，以執著搭建科學事業的根基，蘇育才的數學人生，也因這份探求，不因歲月而稍減風采，始終赤誠而滾燙。