多振子聲子晶體的低頻特性研究

李天杰，伍根生，袁志山，尹富強，顧云風

(1.南京林業大學機械電子工程學院，南京 210037；2.廣東工業大學機電工程學院，廣州 510006)

0 引 言

聲子晶體是彈性常數和密度為周期性分布的材料組成的復合結構，由于其特殊的帶隙特性，某些頻率范圍內的彈性波在聲子晶體中傳播時會被抑制，從而引起了研究人員的關注[1-2]。最先被提出的帶隙形成機理是布拉格散射，研究表明布拉格散射型聲子晶體第一帶隙對應的波長與晶格常數處于同一量級，這就使得在較小尺寸下難以獲得低頻帶隙。但局域共振型聲子晶體[3]可以克服尺寸上的限制，劉正猷等首次得到一種晶格尺寸比禁帶內聲波波長小2個數量級的局域共振型聲子晶體。

因為帶隙頻率較低，所以在減振降噪上研究人員往往基于局域共振機理設計聲子晶體結構。通常20～200 Hz的噪聲被稱為低頻噪聲[4]。為了獲得低頻帶隙，許多學者對聲子晶體進行結構設計，如Helmholtz型聲學結構[5-6]、連接板結構等[7-10]。短連接板的設計能夠有效地減小聲子晶體的等效剛度，從而使帶隙下邊界降低。Sun等[8]將傳統的聲子晶體板替換為窄連接板，在0～1 000 Hz內獲得6條完全帶隙，其中起始頻率為98.3 Hz，與傳輸損失譜中的衰減頻率范圍相吻合，通過增加連接板寬度，發現第一帶隙的下邊界上升，主要是因為振動部分的等效剛度隨著連接板寬度的增加而增加，從而使得頻率增加。Dong等[9]將硅橡膠包覆的鉛散射體嵌入到八邊形塑料基體中，在0～3 000 Hz內帶隙的占有率超過95%，其中第一帶隙位于96～1 403 Hz，研究表明通過增加大質量振子的密度和減小輕質量振子的密度可以拓寬帶隙寬度。Gao等[10]所設計的空心結構內部由矩形連接板連接兩個振子和基體，研究表明，彈性波傳播在空心結構聲子晶體時，更容易產生散射和反射，因此可以獲得特定頻率范圍內的帶隙。進一步計算沒有振子的空心結構與只有一個振子的空心結構的色散曲線，發現這兩種結構在0～100 Hz范圍內均沒有帶隙。Guo等[11]將散射體與環氧樹脂框架相切接觸，設計了一個階梯式混合框架結構。該結構的第一帶隙在22.6～406.7 Hz，是傳統錐形聲子晶體第一帶隙寬度的2倍，起始頻率的1/6。將散射體的邊數增加，發現帶隙下邊界和上邊界均降低，主要的原因是振子與基體之間的連接強度降低。劉威等[12]提出了包覆層有缺口的連接板式聲子晶體結構，通過討論包覆層缺口角度和連接板寬度，發現Bragg帶隙寬度隨角度的增大而增大，帶隙下邊界隨連接板寬度的增加而上升。

多振子結構也易于獲得低頻帶隙[13-17]。Zhou等[15]提出的聲子晶體結構包含了兩種不同類型的散射體,經過計算發現該結構的起始頻率與單種散射體組成的聲子晶體模型起始頻率基本一致，進一步改變其中一種散射體的半徑和高度，發現隨著散射體半徑的增加，彎曲波帶隙和縱波帶隙向高頻移動，同時帶隙寬度增加；當散射體高度增加時，帶隙向低頻移動，同時帶隙寬度減小。Lei等[16]提出了一種復合型聲子晶體模型,通過減小振子之間的距離直至接觸，帶隙數量從1條變為3條再變為1條，隨之改變的帶隙下邊界也有所下降。為了優化帶隙，通過改變基體的大小使得散射體和包覆層的填充率不會降低，發現帶隙下邊界保持不變而帶隙上邊界上升，從而增加了帶隙寬度。Zhu等[17]設計的結構在硅橡膠基體上開有周期性孔,同時將鉛作為散射體材料，通過增加散射體的高度改變結構的不對稱性可以優化低頻帶隙。另外，有研究表明鎢相比鉛作為散射體材料能使起始頻率更低[18]。

基于現有的聲子晶體模型很少能夠滿足低頻要求，本文設計了一種具有4個六邊形振子的新型聲子晶體結構，在該聲子晶體結構的設計中采用鎢作為散射體材料。運用有限元法計算聲子晶體模型的帶隙特性、傳輸損失譜和本征模態，并且利用傳輸損失譜頻率衰減范圍驗證帶隙的正確性，基于局域共振原理分析該結構帶隙的產生機理。在此基礎上切割環氧樹脂聲子晶體板并且改變振子之間縱向和橫向間距，研究相關幾何參數對帶隙寬度的影響。

1 聲子晶體結構和驗證

為了在20～200 Hz范圍內獲得帶隙，本文設計了一種由硅橡膠包覆層包裹4個鎢振子的新型聲子晶體結構，如圖1所示。其中圖1(a)為結構的立體圖，圖1(b)為結構的平面圖，圖1(c)為第一布里淵區。聲子晶體結構的材料參數及幾何參數如表1和表2所示。

圖1 新型聲子晶體結構與第一布里淵區Fig.1 New phononic crystal model and the first Brillouin zone

表1 計算參數Table 1 Parameters for calculation

表2 聲子晶體的幾何參數Table 2 Geometric parameters of the phononic crystal

圖2 對比模型1Fig.2 Comparative model 1

圖3 對比模型2Fig.3 Comparative model 2

表3 對比模型1的幾何參數Table 3 Geometric parameters of comparative model 1

表4 對比模型2的幾何參數Table 4 Geometric parameters of comparative model 2

在兩個正交方向上具有無限多周期而軸向方向上無限大的聲子晶體稱為理想的二維聲子晶體。通常將晶格平面取為xoy平面，軸向方向取為z向。然而在應用中，非周期方向具有有限尺寸的聲子晶體更具有實際意義，本文的聲子晶體結構在x，y方向上為無限多周期，在軸向方向為有限尺寸。三維空間中對于彈性波在固體中的傳播，控制方程可寫為：

(1)

式中：μ，λ是與空間坐標相關的拉梅常數；ρ是與空間坐標相關的密度；t是時間；i,j=1,2,3；x1，x2，x3分別表示坐標變量x,y,z；u1，u2，u3分別表示x,y,z方向位移。

本文使用有限元軟件COMSOL Multiphysics 5.6計算聲子晶體的色散曲線，因為聲子晶體的周期性，計算可以在一個原胞內進行，本征方程可以寫成：

(K-ωM)U=0

(2)

式中：K為原胞的剛度矩陣；M為原胞的質量矩陣；U為位移特征向量；ω是特征頻率。

為了驗證色散曲線的準確性，本文計算了傳輸損失譜[15]，模型如圖4(a)所示。在x，y方向上分別是6個原胞組成的周期性結構。位移激勵分別從周期性結構的x方向和z方向入射，如圖4黑色箭頭所示。傳輸損失T可定義為：

(3)

式中：X為輸出的位移響應；X0為輸入的位移激勵。

為了更好地呈現本文的聲子晶體結構對波傳播的抑制作用，圖4(b)給出了帶隙內頻率為20 Hz時縱波傳輸過程的云圖。

圖4 傳輸損失模型和20 Hz時縱波傳輸云圖Fig.4 Model of transmission spectra and cloud image of longitudinal wave transmission at 20 Hz

2 結果與討論

2.1 帶隙的計算

新型結構的色散曲線和傳輸損失譜如圖5所示。圖5(a)中可以看到在0～400 Hz存在一條完全帶隙，位于18.85～225.28 Hz。傳輸損失譜的聲衰減頻率范圍與色散曲線的帶隙范圍相吻合，其中圖5(b)為縱波的傳輸損失譜，圖5(c)為橫波的傳輸損失譜。

圖5 色散曲線和傳輸損失譜Fig.5 Dispersion curve and transmission loss spectra

圖6(a)和6(b)所示分別為有限元法計算出的對比模型1和對比模型2的色散曲線，其帶隙分別位于33.85～321.95 Hz和18.48～188.5 Hz。通過圖5(a)以及圖6對比發現，只有新型聲子晶體結構能夠滿足抑制20～200 Hz的彈性波在聲子晶體中傳播的要求。

圖6 模型1和模型2的色散曲線Fig.6 Dispersion curves of model 1 and model 2

2.2 帶隙的形成機理

局域共振帶隙產生的主要因素是基體中的長波行波與局域共振單元的耦合作用。二維聲子晶體板的長波行波一般指的是蘭姆波和剪切波，其中前者可分為對稱和反對稱蘭姆波。在低頻時對應的彈性波波長會很大，局域共振單元不起作用，此時彈性波相當于在均勻的板中傳播[19-20]，選取頻率靠近0的振動模態為聲子晶體板的模態，如圖(7)中A～C所示。當頻率增大到達局域共振模態時就會產生平直帶，因此對平直帶上的點進行分析是有必要的，如圖7中A′～F′所示。

圖7 色散曲線上選取的標記點Fig.7 Selected mark points on dispersion curves

圖8所示為所選取的各個點的模態，圖8(a)中聲子晶體板與散射體都沿著z方向運動，是反對稱蘭姆波模態，圖8(b)中聲子晶體板與散射體都沿著y方向運動，是水平剪切模態，圖8(c)中聲子晶體板和散射體沿x方向運動，是對稱蘭姆波模態，圖8(d)中聲子晶體板沿z方向運動。

除了3種傳統的聲子晶體板模態，還有許多局域共振模態。從圖8(e)A′點的振動模態可以看出，散射體以擺動為主，聲子晶體板保持不動；B′點的振動模態與A′點類似，也是散射體做擺動；C′點以散射體沿z方向位移為主；D′點以散射體沿x方向位移為主；E′點以散射體沿y方向位移為主；F′點以散射體繞z軸做旋轉運動為主，沒有x和y方向位移，也沒有z方向位移，彈性波在傳播時不會激發此模態。

當聲子晶體板受到xoy方向的彈性波激勵時，彈性波以對稱蘭姆波模態和水平剪切波模態在聲子晶體板中傳播，隨著頻率的升高接近B′和C′點時，B′模態被激發，但是B′模態與對稱蘭姆波模態和水平剪切模態耦合不強烈，沒有產生帶隙。頻率繼續升高至D′點時，D′模態被激發，散射體沿x方向的平移振動會抑制聲子晶體板原有的振動模式。當頻率升高至E′點時，E′模態被激發，散射體沿y方向的平移振動會對聲子晶體板產生反作用力。此時聲子晶體板幾乎不動，從而打開面內帶隙。隨著頻率的繼續升高，散射體對聲子晶體板的抑制作用降低，直到消失時帶隙才會關閉。在帶隙關閉后，高階對稱蘭姆波模態和水平剪切波模態會在聲子晶體板繼續傳播，但在0～400 Hz沒有出現這兩種模態的高階模態，因此在0～400 Hz散射體對聲子晶體板仍有抑制作用。

當聲子晶體板受到z方向的彈性波激勵時，在低頻范圍內彈性波以反對稱蘭姆波模態在聲子晶體板中傳播，隨著頻率的升高到A′點時，A′模態被激發，散射體產生一個抑制反對稱蘭姆波傳遞的反作用力，使聲子晶體板不沿z方向運動，從而打開面外帶隙。隨著頻率的升高到B′和C′點時，B′和C′模態被激發。隨著頻率的繼續升高，散射體對聲子晶體板的抑制作用減小直至消失。彈性波以D模態繼續在聲子晶體板中傳播，此時面外帶隙關閉。

2.3 幾何參數對帶隙的影響

為了研究結構參數對低頻帶隙的影響，選取了圖1(b)所示的聲子晶體結構中影響較大的幾個參數如缺口角度θ，散射體縱向間距d和橫向間距g進行研究。

保持其他的參數都不變，計算缺口角度θ對帶隙影響時，帶隙的變化趨勢如圖9所示。缺口角度從55°增加到90°，帶隙下邊界幾乎不變，保持在18.85 Hz附近，帶隙上邊界從236.89 Hz逐漸下降到188.5 Hz。這是因為隨著缺口角度的增大，聲子晶體板的等效質量逐漸增加，從而導致帶隙上邊界降低。

圖8 各點模態Fig.8 Modes of each point

圖9 缺口角度對帶隙的影響Fig.9 Effect of notch angle on bandgap

計算散射體縱向間距d對帶隙的影響時，保持其他的參數都不變，帶隙的變化趨勢如圖10所示。縱向間距從14 mm增加到20 mm，帶隙下邊界從18.59 Hz升高至23.79 Hz，帶隙上邊界從194.3 Hz升高至285.21 Hz。計算散射體橫向間距g對帶隙的影響時，保持其他的參數都不變，帶隙的變化趨勢如圖11所示。橫向間距從16 mm增加到24 mm，帶隙下邊界從17.01 Hz上升到31.22 Hz，帶隙上邊界從184.61 Hz上升到331.93 Hz。這是因為散射體之間的相互重疊形成了一個整體，使得等效振子質量增加，最終導致帶隙下邊界降低[16]。

圖10 縱向間距對帶隙的影響Fig.10 Effect of longitudinal spacing on bandgap

圖11 橫向間距對帶隙的影響Fig.11 Effect of transverse spacing on bandgap

3 結 論

本文設計了一種原胞中由硅橡膠包覆層包裹鎢散射體的新型聲子晶體結構，通過有限元法計算了該結構的色散曲線、振動模態以及傳輸損失譜。結果表明新型結構能夠獲得一條18.85～225.28 Hz的帶隙，從而能夠抑制20～200 Hz的彈性波在聲子晶體中傳播，與傳輸損失譜的聲衰減頻率范圍吻合。通過分析各點的振動模態說明了帶隙產生的原因。在此基礎上，分析聲子晶體板的缺口角度、散射體之間的橫向與縱向距離對帶隙的影響。研究表明，缺口角度的減小能夠使帶隙上邊界升高，從而使帶隙寬度增加。散射體之間的距離減小能夠降低帶隙的下邊界，但同時也使得帶隙上邊界降低，最終使帶隙寬度變窄，說明減小鎢散射體的橫向和縱向距離能夠有效降低帶隙的下邊界，從而獲得較好的低頻特性。