基于非線性軸位控制的單軸機床彈性摩擦精度控制研究

李銳，孟亮

(1.常州工程職業技術學院創新創業學院，江蘇常州 213164；2.華中農業大學工學院，湖北武漢 430070)

0 前言

對于自動化機床，現代工業制造需要機床軸的高精度定位[1]。然而，一些機械現象(特別是摩擦)可能會影響機床端刀相對于工件的適當位置，從而降低加工質量[2-3]。為了確保工件的位置，系統驅動器配備了考慮到機床軸摩擦特性的位置控制算法[4]。

最先進的解決方案是基于比例(P)和比例積分(PI)級聯來控制軸的位置和速度，從而提高機床軸系統的精度和瞬態性能，但軸定位精度在存在額外的相關摩擦時會迅速下降。摩擦對機器軸定位的影響通常通過在P-PI控制中利用適當的前饋項來進行抵消[5]。例如，文獻[6]中把永磁同步電機模型的不確定性視為系統的干擾，然后在PI控制策略基礎上,對速度環設計一種基于摩擦模型補償和擾動觀測補償的復合控制方法，改善了系統性能并提高了抗干擾能力；文獻[7]中介紹了實驗系統的組成和工作原理，建立了剛體模型和二自由度柔性體模型以及系統的Stribeck摩擦模型。在此基礎上，設計了P-PI串級控制器以及滑模控制器，對控制系統的跟蹤性能進行了仿真和實驗測試；文獻[8]中通過PI控制精準地控制電子油泵轉速，利用調節兩個PI環的P、I參數獲得比無PI控制的系統更好的轉速動態響應，從而更加精準地控制變速器油流量，有效保護變速器并延長其使用壽命；文獻[9]中建立了單軸驅動工作臺系統的剛性模型，并選取Stribeck摩擦模型來描述系統所受的摩擦，提出了位置環和速度環為PI控制、電流環為P控制的控制方法，分別用摩擦反饋補償方法和摩擦前饋補償方法對系統的摩擦進行補償。然而，這些補償方案大多假設恒定的摩擦模型參數，如果摩擦參數改變，它們的性能會迅速下降。

對此，本文作者對機床軸定位的位置-速度級聯P-PI控制結構進行了擴展研究，利用非線性控制器的摩擦彈性，同時減少直接定位方法帶來的設計復雜性，構建了由機床軸和等效雙質量振蕩器組成的單軸機床系統，給出了具體的控制目標；對物理系統進行數學建模，建立了簡化的單軸系統；提出了基于滑模和非線性控制的非線性軸位控制算法，并與傳統的P-PI控制進行仿真實驗對比分析。

1 單軸機床系統及控制目標

文中構建的單軸機床系統由機床軸(上)和等效雙質量振蕩器(下)組成，其結構如圖1所示。機床軸可以看作是由兩個(電機和負載)相互作用的慣性通過一個帶有摩擦的軸連接起來的系統。負載側的慣性和摩擦對應于機床直線軸上的質量和摩擦力矩。其中:ωm和ωl分別為電機角速度和負載角速度；Jm和Jl分別為驅動電機和廣義負載慣性；KS為軸剛度；DS為軸的阻尼系數；驅動電機產生的轉矩用Tm表示，相互連接的轉矩為Tl，N=1為電機與負載的傳動比，TF,m和TF,l分別為電機和負載的摩擦力。

圖1 單軸機床系統結構

(1)

2 數學模型

圖2 系統的數學模型

表1 系統數學模型中重要的符號及意義

與單軸系統的機械動力學類似，電機的閉環電動力學可以用一階時間常數系統來近似。因此，在運動控制研究中，通常假設電機產生的轉矩是轉矩指令u加上轉矩干擾de，即Tm=u+de。

因此系統動力學為

(2)

式中:TF,l為負載摩擦。

負載轉矩Tl為

(3)

作用在電機上的摩擦力矩TF,m為

TF,m=[TC,m+(TS,m-TC,i)e-(ωm/ωS)]sgn(ωm)+βmωm

(4)

由于Stribeck速度ωS是已知的，則sgn(y)函數定義為

(5)

3 非線性軸位控制方法

3.1 控制方法結構

根據所構建的單軸機床系統及其數學模型，采用改進的非線性軸位控制方法。針對魯棒軸定位的庫侖摩擦問題，提出了兩種基于滑模和非線性控制的算法。該控制方法采用了位置-速度級聯結構，其結構如圖3所示。

圖3 控制方法結構

(6)

式中:eθ=θr-θl為軸的定位誤差;kpos>0,為P控制器的增益。

由于參考信號的時間導數通常可以達到加速度水平，所以速度參考信號ωr的導數也可以通過公式(6)的微分來計算：

(7)

若eω=ωm-ωr為電機速度的跟蹤誤差，則位置誤差動力學為

(8)

與采用直接負載位置非線性控制器[10]的控制方法相比，該控制結構簡化了設計(被控系統是標量)，并提供了一定程度的模塊化。

3.2 STSMC控制

提出一種基于超螺旋滑模控制(STSMC)的二階滑模算法代替速度PI控制器的軸定位方法[11-12]。引入抗干擾和有限時間收斂兩個有效的滑模控制方法，利用控制律中的不連續項，使滑模控制器對未知動態和擾動具有固有的魯棒性。

為使驅動軸的速度誤差為零，滑動變量s為

s=eω=ωm-ωr

(9)

其動力學為

(10)

STSMC控制律為

(11)

其中:

(12)

速度參考值ωr的導數由公式(7)計算。

3.3 NAC控制

針對機床軸上的電機速度環，提出了速度非線性自適應控制器(NAC)。該控制器作如下假設:

假設未知模型參數?為常數或緩慢變化，即認為其時間導數為零：

(13)

該控制器的特點是根據公式(4)定義了摩擦模型的自適應系數，即電機庫侖摩擦系數TC,m、靜態摩擦系數TS,m和黏性摩擦系數βm。由于設計簡單，軸剛度KS和阻尼系數DS也被考慮為不確定參數，并納入自適應算法。設?∈p為未知參數向量：

(14)

其中：

(15)

速度誤差的動力學為

(16)

φ(x)為回歸函數：

(17)

式中:ωS為驅動電機的Stribeck速度。

則NAC的自適應控制律為

(18)

式中:k為正實數;Γ為5×5的正定實數矩陣。

4 仿真實驗

采用由STSMC和NAC算法組成的非線性軸位控制方法，在MATLAB/Simulink環境下，對機床軸的電機庫侖摩擦的響應信號TC,m進行仿真估計，并與傳統的P-PI級聯控制進行比較分析。控制器的仿真參數在表2中列出。

表2 控制器仿真參數

4.1 庫侖摩擦響應

圖4—圖6為分別在0.1、0.5、1 Hz的頻率下庫侖摩擦TC,m估計的結果。可以看出：當庫侖摩擦的參考真實值為0.15 N·m時，P-PI控制由于其激勵較差，導致控制器性能在參考頻率最慢的情況下估計誤差較大達到0.03 N·m，且隨著時間的增加，其波動明顯。而STSMC-NAC非線性軸位控制在不同的庫侖摩擦值或參考信號時間增大的情況下，其估計值更接近實際參數值，估計誤差較小，且校正波動較小，使系統獲得了穩態輸出。說明相比于P-PI控制，STSMC-NAC非線性軸位控制具有更豐富的激勵，自適應地捕獲了由軸的不確定性引起的擾動，從而使庫侖摩擦的估計值與實際值的偏差減小，對未知動態和擾動具有更強的魯棒性。

圖4 0.1 Hz下的庫侖摩擦

圖5 0.5 Hz下的庫侖摩擦 圖6 1 Hz下的庫侖摩擦

4.2 控制器量化標準

為了進一步驗證文中所提控制器的性能，給出了量化的比較標準，即最大絕對誤差MAE、功率控制CP和復雜性指數CI，如表3所示。Np和Ns分別為庫侖摩擦信號可調參數的數量。

表3 控制器量化標準

PI控制和STSMC-NAC控制的MAE、CP和CI的結果如圖7所示。相比于P-PI控制，STSMC-NAC控制下MAE、CP和CI的值都有所降低。在保證MAE和CP分別降低約50%和33.3%的情況下，系統的復雜度CI也沒有增加。說明STSMC-NAC非線性軸位控制在所有情況下都優于傳統的P-PI級聯控制，提高了系統的軸位控制精度，對庫侖摩擦進行了良好的精度估計，且控制效率也有所增加。

圖7 控制器標準

5 結論

構建了由機床軸和等效雙質量振蕩器組成的單軸機床系統，其控制目標為單軸機床的彈性摩擦精度控制。對物理系統進行數學建模，建立了簡化的單軸系統。提出了基于滑模和非線性控制的STSMC-NAC非線性軸位控制算法，在MATLAB/Simulink環境下，對機床軸的電機庫侖摩擦的響應信號進行仿真估計，并與傳統的P-PI級聯控制進行比較分析。結果表明:STSMC-NAC方法提高了系統的軸位控制精度，對庫侖摩擦進行了良好的精度估計，且控制效率也有所增加。