弧齒錐齒輪齒面數學建模方法

田國富，趙繼寧

(沈陽工業大學機械工程學院，遼寧沈陽 110870)

0 前言

弧齒錐齒輪正朝著高速、重載和輕量化的方向發展。長期以來，可用于螺旋錐齒輪的齒面類型受到限制，并且型號很少。齒輪齒面的形狀取決于所用機床刀具的形狀，嚴重影響了工業設備的進一步發展應用[1]。

目前可查到的文獻，主要通過分析齒面的幾何設計、加工制造及接觸，實現齒面優化，提高齒面的承載能力。但尚未查到關于提高齒輪傳動性能的研究。

弧齒錐齒輪的嚙合過程和齒面形狀極為復雜，因此其建模過程異常困難。該方法和一般齒輪的共軛曲面成形理論不同，它以齒輪的嚙合理論為基礎，運用MATLAB 作為運算輔助工具，利用三維軟件SolidWorks進行三維繪制，以研究一種快速精確的齒輪齒面設計方法。該方法的研究有利于推進弧齒錐齒輪制造工藝的發展和進行齒輪有限元分析[2]。

1 齒面成形機制

1.1 齒輪的嚙合方程

2個齒輪相互嚙合傳動的基本要求是齒輪2個相互接觸的齒面必須相切于空間的某一點，如圖1所示。分別設置S1和S2為齒輪相互嚙合的2個齒面，且相切于點M，無論2個齒面如何運動，點M都在2個運動曲面上。這2個齒面S1和S2上分別有坐標系σ1和σ2，并隨著齒面的運動而運動。

圖1 嚙合曲面相切于點M

在曲面S1和S2上分別設置徑向矢量r1和r2、法向矢量n1和n2，設置O1和O2分別為坐標系σ1和σ2的原點，則由O1到O2徑向矢量m=O1O2[3]。根據齒輪的嚙合原理，切點M處的2個曲面必須滿足接觸并且相切的要求，則有如下方程組：

(1)

當齒輪的2個接觸齒面在點M處接觸時，條件是上述方程組中的第1個公式；當2個齒面在點M處相切時，條件是上述方程組中的第2個公式[4]。齒輪在旋轉過程中要達到嚙合狀態，必須滿足方程組(1)。采用相對微分的方法，對接觸點的曲率、速度進行轉換，在齒面嚙合接觸的位置，還需要滿足以下條件：

v12·n=0

(2)

該方程的物理含義：2個運動表面的法向子速度必須相等，以確保2個運動表面連續嚙合。否則，這2個表面將在下一刻分離或彼此嵌入，但這是不被允許的[5-6]。

在弧齒錐齒輪2個相互接觸嚙合的齒面，無論是線接觸還是點接觸均應同時滿足公式(1)和公式(2)[7]。

1.2 齒輪加工坐標系的建立

根據螺旋錐齒輪的嚙合運動關系建立坐標系，創建機床坐標系Sm、搖臺坐標系Sg、刀盤坐標系St、輔助坐標系Sn和Sq、工件坐標系S1,這些坐標系的空間位置關系如圖2所示[8]。

圖2 弧齒錐齒輪銑齒加工坐標系

1.3 大輪齒面方程的建立

圖3所示為刀具切削錐面。大輪刀具的切削面(錐面)方程rt和法線方程nt在坐標系Ot中表示。

圖3 刀具切削錐面

(3)

(4)

其中：“-、+”由加工齒輪的凹凸面決定，凹面為“-”、凸面為“+”[9-10]。

經過坐標變換，大輪切削面方程為

r2(up,θp,φp)=M2a·Mam·Mmp·Mpe·re

(5)

式中：M2a、Mam、Mmp、Mpe為坐標變換矩陣。為方便計算，可以消去一個參數up，因此，在固定坐標系Sm中建立嚙合方程：

vm·nm=0

(6)

求解式(5)、(6)，則可以消除參數up，得到大輪齒面方程r(θp,φp)。

2 齒面點獲取

選擇一組成對的弧齒錐齒輪，具體參數如表1所示，并以此齒輪為例獲取齒面點。

表1 齒輪基本參數

通過齒面方程得到的曲面是一種空間復雜曲面，對于整個齒輪，齒面只是整個曲面的一部分。因此，有必要確定齒面變量的范圍[11-12]。

旋轉曲面并將它投影到其軸向滑動平面上，再對軸向滑動平面上的投影面進行網格劃分，如圖4所示。

圖4 齒面旋轉坐標

將投影平面離散化以獲得一組用于齒側面的三維坐標方程，即軸截面上的投影齒側面點的坐標值；建立齒面與軸截面點之間的對應函數關系；根據函數得到齒面離散點的坐標[13]。獲取齒面點的具體流程如圖5所示。

圖5 求大輪離散點坐標流程

根據以上理論公式和流程，編寫MATLAB程序，求出齒輪基本參數、齒面方程，輸出一個齒輪凸面，具有5×9=45個數據點，得到這些點在大輪凸面上的離散坐標值[14-15]。表2為部分齒面點三維坐標。

表2 大輪部分齒面點坐標

3 齒面成形

文中使用MATLAB作為計算工具獲取的齒面點，求解齒輪的齒面方程和齒面點的坐標值，并計算其3D坐標值。通過編制的程序導出齒面離散點的坐標，并以SolidWorks可識別的文件格式保存[16-17]。該程序的一部分如下所示：

disp(′*齒面方程計算點*′)

pp(9,1)=Xe2;

pp(9,2)=de2/2;

pp(45,1)=Xe2+(ht-c)*sin(a2);

pp(45,2)=de2/2-(ht-c)*cos(a2);

l1=b/cos(Qa2);

l2=b/cos(Qf2);

kk1=tan(aa2);

kk2=tan(af2);

pp(37,1)=pp(45,1)-l2/sqrt(1+kk2^2);

pp(37,2)=pp(45,2)-kk2*pp(45,1)+kk2*pp(37,1);

pp(1,1)=pp(9,1)-l1/sqrt(1+kk1^2);

pp(1,2)=pp(9,2)-kk1*pp(9,1)+kk1*pp(1,1);

ll{1}=linspace(pp(1,2),pp(37,2),5);

ll{9}=linspace(pp(9,2),pp(45,2),5);

rrr{1}=linspace(pp(1,1),pp(37,1),5);

rrr{9}=linspace(pp(9,1),pp(45,1),5);

將通過MATLAB獲得的45個齒面點分成5組，并分別保存為.txt格式，導入到SolidWorks中以形成大輪凸面曲線，如圖6所示。

圖6 大輪凸面曲線 圖7 大輪凹凸面

再將曲線通過放樣曲面、縫合、延伸命令生成凸面，用同樣的方法生成齒面凹面并將它導入SolidWorks中，如圖7所示。根據螺旋錐齒輪輪坯的設計標準，確定齒輪輪坯的基本參數和修改參數，完成輪坯的設計。將凹凸面進行放樣切割，得到如圖8所示的齒槽，然后再進行環形陣列，得到如圖9所示的齒輪，至此完成弧齒錐齒輪大輪的精確建模。

圖8 大輪齒槽 圖9 大輪模型

4 總結

螺旋錐齒輪的齒面非常復雜，而3D模型構建的準確性直接影響后續性能分析的準確性。本文作者研究了一種高速精確建模方法，以齒輪嚙合原理為理論基礎，MATLAB作為運算工具，提高了齒輪齒面的精度，為弧齒錐齒輪的加工提供參考，也可以為圓弧齒廓齒面的研究提供模型參照。在獲得完整齒廓表面模型的基礎上，可以提高齒輪壽命和傳動效率，為研究和討論各種應用技術提供參考。