熱傳導問題的數值分析方法概述

馮曉燕，賀 熙，游小龍，周林凱，單保平

（新余學院建筑工程學院，江西 新余 338004）

熱傳導具體表現為能量從物質中的溫度高的一邊轉移到溫度低的一邊，從溫度高的物質轉向溫度低的物質，這一現象的產生是因為大量分子之間的相互撞擊引起的。目前熱傳導問題是科技研究領域中的熱點話題，常用的數值方法包括有限元法、比例邊界有限元法、有限差分法、擴展有限元法、有限體積法及無網格法等。

1 有限元法

當分析工程問題時經常需要對各種微分方程描述的物理場進行求解，但由于許多微分方程都很難得到其解析解，這時可以將微分方程的問題區域進行離散化，即把復雜的問題區域分割為比較容易分析的有限元來表示，有限元之間通過節點相互連接，然后使用變分法或加權余數法，將偏微分方程轉化為代數方程組進行計算，整個問題區域的求解由對所有子區域進行獨立的運算結果組成。最終的結果并不是一個準確值，而是一個求極限之后的近似值。在實際問題中很難得到精準值的情況下，采用有限元法的可以得到一個精度較高的近似值，而且它能適用于各種復雜形狀，是一種較為成熟的工程分析手段。現如今互聯網技術發展迅速，涌現出了許多應用有限元法軟件，常見的有限元軟件有ANSYS、MSC、ABAQUS等公司的產品。隨著計算機技術的發展，有限元軟件與CAD軟件被結合使用，可以在CAD軟件上直接完成零部件的繪制后，軟件直接運用有限元法原理進行計算，如果不符合要求工程師可以直接在CAD軟件上對零部件進行修改，從而可輕松快捷地完成以前難以應對的復雜工程分析問題。有限元法在實踐中的應用十分普遍，例如在工程結構、傳熱、流體力學、電磁力學等領域中，有限元分析越來越多地被運用于工程問題的仿真模擬，來求解真實的工程問題。熱傳導是一種在自然界常見的現象，如果存在溫度差，熱量就會由高溫的向低溫物體傳輸，就會存在熱量的增加和減少，從而引起溫度的變化。在分析熱傳導問題時，運用拉普拉斯方程描述穩定溫度場的求解是工程中常遇到的問題，但很難求出其解析解，這時可以運用有限元法求解偏微分方程求得一個較為精準的近似解，首先利用變分原理將偏微分方程轉化為等價的泛函，假設單元上的場變量變化形式及插值函數或嘗試函數，尋找嘗試函數的系數-節點場變量，以使泛函取極值，從而得到有限元的計算格式計算出穩定溫度場。魯治誠、李錄賢在復合材料熱傳導問題中提出了多尺度有限元法的應用，對于傳熱屬性突變的復合材料，主要關心復合材料宏觀尺度，忽略細觀尺度的求解精度時，取得單元形狀函數滿足問題的微分控制方程，將材料的傳熱突變特性反映在形狀函數上，可在較小的求解規模上，取得較高的求解精度。這種采用多尺度有限元法既提高了計算精度，又節省了計算時間。

2 比例邊界有限元法

比例邊界有限元法是新研究發展趨勢下的必然產物。該方法在求解熱傳導問題上，擺脫了陳舊的解析方式，結合多元解法的優點，達到高效精準的目的。比例邊界有限元法只需要在求解區域的邊界使用有限元網格進行離散，無需基本解，便可以精確、快速求解熱傳導問題。該方法最早應用在固體力學領域，并且集合了有限元法和邊界元法的特點于一身。在使用比例邊界有限元法進行數值計算時，該法通過在計算域引入相似中心，建立含有徑向和環向的比例邊界坐標系，再經過相似變換，物理變量轉變成域邊界點和相似中心相連的徑向坐標，偏微分控制方程轉變為一階常微分方程。其在單元離散時同邊界元法一樣，無須在整個結構內部劃分單元，只需要在計算區域的邊界環向坐標方向上進行離散， 從而降低了一維的空間維度，不需要設立相應的基本解，使得計算量明顯減少，而且比例邊界有限元法的計算效率和模擬精度都非常高，這是由于其在輻射坐標上的解析性。該方法還有自動滿足邊界條件達到無限遠的一大優勢。比例邊界有限元方法最初是為了求解無限域問題而提出的，但隨著其理論發展越來越完善，它的應用范圍也變得越來越廣，在各個方面都取得了不錯的成就。在彈性力學研究方向上，胡志強、林皋、王毅等基于Hamilton體系的彈性力學問題的比例邊界有限元方法研究內容中，運用比例邊界有限元的離散方法，結合彈性力學的Hamilton對偶體系，獲得狀態空間的控制方程，并由此得到彈性靜力學的比例邊界有限元的控制方程，導出靜力邊界剛度矩陣并求解。在靜電場問題上，劉俊、林皋、王復明等學者在基于靜電場分析的比例邊界有限元法內容中，由于該方法輻射坐標上具有解析性，故運用這種方法不僅有較高的模擬精度，并且無限遠的邊界條件可以自動滿足。通過以描述靜電場特性的控制方程，也就是拉普拉斯方程為起點，首先建立起笛卡爾坐標系統和比例邊界有限元坐標系統之間的轉換關系，再通過加權余量法推導出靜電場分析的比例邊界有限元方程，引入特征值問題對該方程進行求解得到電位計算公式以及電場計算公式。最后通過具體的算例對該數值方法與其他數值方法得到的結果進行對比，發現該方法的精度和計算效率都遠遠優于其他方法。

3 有限差分法

在眾多的熱傳導問題數值分析的方法中，有限差分法是很經典、發展很成熟的方法之一，也是解決此類問題的有效工具之一，直到現在仍然有廣泛的應用。有限差分法的原理是用差商去近似的代替微商，也就是用一個具體的函數值近似的去替換微分方程中的導數。其本質上是將微分問題直接轉換為代數問題的近似數值。在數值分析時，把要分析的問題的解域劃分為差分網格，此網格則是由有限數量的離散點來構成，把連續的解域用有限數量的網格節點所代替，網格節點也就是構成網格的那些有限數量的離散點，通過一系列數學方法，用網格上的離散變量函數近似地替換掉連續變量函數，用差商近似地替換掉原方程和條件中的微商，即把網格節點上的具體函數值近似的替換掉控制方程中的導數，這樣就可以得到以網格節點上的函數值為未知量的代數方程或者方程組，稱為有限差分方程組，用它來近似地代替原微分方程和定解條件。通過解有限差分方程組，可以得到原問題在網格節點上的近似解，進一步地可利用插值等方法求得定解問題在整個區域上的近似解。張建霞、邵創新、田坤等基于有限差分法對低溫防護服進行優化設計與仿真，學者們根據熱傳導微分方程進行了熱傳導建模后，發現該問題設置的邊界條件較為繁復，使用解析方法分析較為困難，于是決定使用有限差分法來求解這個熱傳導方程，最終在Matlab平臺上進行了計算與模擬驗證，得到了數值結果。同樣的，在林文生關于相變熱傳導問題的數值解及應用中，因為該問題難以得到解析解，所以選擇使用有限差分法來進行數據模擬分析，最后證實了有限差分法在熱傳導問題上的可行性。總的來說，有限差分法在解決有關熱傳導的數據分析等問題上運用是可行的，是解決此類問題的得力工具。然而有限差分法也有其自身的局限性，在王秦、雷鈞、谷巖等的基于時空聯合廣義有限差分法求解三維非穩態熱傳導方程中提到，傳統的有限差分法過于依賴網格的劃分，離散差分的過程步驟量大且復雜，從而導致編程和計算難度比較大。為此其采用了有限差分法延伸出的新方法，即廣義有限差分法，最后通過對一些問題進行模擬和分析，驗證了此方法是可行而且準確的。綜上，在熱傳導問題數值分析中，有限差分法的表現是十分出色的，其優點具體表現為原理簡單，應用成熟，且在各類問題上表現得很通用，甚至在無解析解等困難條件下仍然可以使用。其不足之處表現為依賴網格的建立和劃分，需要預估和評價誤差等。

4 有限體積法

目前，有限體積法是一種比較新的研究熱傳導問題的數值計算方法，其特點是既具有有限分差法的靈活性，又具有較高的精度和較好的便捷性。有限體積法在傳熱計算中起著重要作用，據統計，全球每年發表的相關計算傳熱問題的文章中約有60%使用有限體積法。有限體積法基于熱積分方程，可以使用儲能常數法和傅里葉定律直接從溫度場的任何有限區域分析中獲得。取溫度場中任何一個閉合面F，將周圍區域記錄為V，并根據能量保存方法對該區域的熱平衡進行分析，單位時間內輸入和輸出區域之間的熱差與內部熱源產生的熱量必須等于該區域中物體內部能量的增加。在有限體積法中，由于使用了單元中溫差的函數，結果為近似值。由于體積循環的控制方式不同，得到了不同的線性方程和分析結果，控制體積選擇的效率直接取決于有限體積法計算的準確性。目前，控制矩形元素體積的最常用方法是圓形繪制方法。在有限元法中，溫度場是離散的，每個方程被分解成每個單元的貢獻，最終合成一系列線性方程，元素搜索法計算每個元素對單個方程的貢獻，并且有限體積法，即能量方程，可以圍繞每個節點進行求解和創建。受有限元法的啟發，可以使用相同的單位搜索方法，首先執行單位分析，計算每個元素對每個方程的貢獻，然后執行積分綜合。為了得到節點溫度未知的線性方程，必須為每個單元建立一個單位插值函數，單元內的溫度分布必須表示為節點的溫度，有限體積法與有限元法完全相同。對于矩形單元，單元中的溫度分布是任意四個節點的溫度的線性函數，熱流的密度是恒定的。有限體積具有很多優點，但有限體積方法在某些情況下還存在一些計算誤差，所以對有限體積方法的理解有待提高和細化。

5 無網格法

無網格法是近幾十年分析工程問題的重要數值分析方法，其在數值計算時不需要生成網格，只需尋找一些隨意分布的坐標點，然后將這些坐標點通過插值函數列出離散控制方程，從而可清晰地表達出各種復雜狀態的熱場。這種方法采用點的近似值，可以從根本上或一部分地消除網格，具有較強的適用性和靈活性。目前已經提出了十幾種無網格法，如無單元伽遼金法、重構核粒子法、無單元伽遼金比例邊界法等。但無網格法沒有近似的解析表達式，而且大部分都是以伽遼金原理為基礎，導致求解時計算量大、計算較為困難。最近新興的一種無網格方法—插值型無單元伽遼金比例邊界法是一種在改進的插值型移動最小二乘法框架下，結合了比例邊界法和無單元伽遼金法長處的半解析數值方法。這種方法通過引入比例邊界坐標系，只需在求解域的環向上進行數值離散，在徑向上采用解析的方法進行計算，處理工程結構問題時擁有可觀的精度與效率，且具有一定的靈活性。這主要歸因于以下兩點：（1）引入改進的插值型移動最小二乘插值法，使得形成的形函數具有高階連續性，很大程度上提高了計算精度與收斂速度；（2）運用矩陣函數與Schur分解并行的求解技術，避免出現平行特征向量問題，保證了數值解的準確性與穩定性。目前這種方法已被成功應用于穩態熱傳導問題分析中，并通過具體的數值算例驗證了其高精度的特點。王峰、陳佳莉與陳燈紅等建立了以滑動Kriging插值為基礎的無單元伽遼金比例邊界法，并采用這種方法準確地分析了有限域及半無限域熱傳導問題。王曉飛、李興國、任紅萍提出了求解瞬態熱傳導問題的插值型復變量伽遼金法，為驗證此方法在二維熱傳導問題中的有效性，對兩個瞬態熱傳導的第一類邊值問題運用CVEFG方法進行求解。首先運用插值型復變量伽遼金法推導二維瞬態熱傳導問題的控制方程，然后對該控制方程進行伽遼金積分弱離散化，經過一系列的流程實施，最后通過數值算例，對二維熱傳導問題進行求解，最終得出結論，對求解二維瞬態熱傳導的第一類邊值問題，運用插值型復變量伽遼金法具有較好的擬合效果。總的來說，在用無網格法在求解二維熱傳導問題時，具有一定的優勢。

6 結語

有限元法、比例邊界有限元法、有限差分法、有限體積法及無網格法等數值方法都存在自身的優勢與不足，在未來研究發展方向上，有必要不斷改進方法，完善解析路線減弱缺點帶來的不利影響甚至是消除缺點。其中插值型無單元伽遼金比例邊界法在解決穩態熱傳導問題上相比其他方法具有一定的優勢，說明了該方法在熱傳導問題分析上的可行性，故采用該方法進一步處理瞬態熱傳導問題將具有一定的理論意義和實際價值。