基于ADMM的分塊壓縮感知圖像重構(gòu)方法

邱孝龍

（西安石油大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710065）

0 引 言

日常生活中，圖像信號已經(jīng)成為信息的主要載體。因此，對圖像進(jìn)行處理的技術(shù)受到廣大學(xué)者的關(guān)注，也被廣泛地應(yīng)用于超分辨成像[1]、醫(yī)學(xué)成像[2]等領(lǐng)域。傳統(tǒng)的信號采樣方法需滿足香農(nóng)采樣定律[3]。該定律要求采樣頻率必須大于信號最高帶寬頻率的兩倍才能有效重構(gòu)信號，這給高頻信號的采集和傳輸帶來一定麻煩。為了解決上述問題，DONOHO[4]提出了壓縮感知理論，并指出在低于奈奎斯特采樣定理要求的采樣頻率去獲取信號，也能有效地重構(gòu)信號。該理論一經(jīng)提出，便被廣泛地應(yīng)用于模式識別[5]、鬼成像計算[6]等領(lǐng)域。由于傳統(tǒng)恢復(fù)方法需要較大的矩陣來進(jìn)行采樣和重構(gòu)，這對計算資源造成了嚴(yán)重的消耗。為了解決大尺度圖像的實時傳輸和重構(gòu)問題，2007年，GAN L提出了分塊壓縮感知（Block Compressed Sensing，BCS）[7]，該方法對每一個圖像塊進(jìn)行采樣，大大降低計算復(fù)雜度。2009年，MUN等人對原始圖像信號進(jìn)行分塊處理，結(jié)合平滑投影Landweber的方法，提出了BCS_SPL方法[8]。該方法以較小的測量矩陣對信號進(jìn)行測量，并有效地重構(gòu)原始信號。

由于信號在采集過程中會受到噪聲污染的問題，因此一些經(jīng)典的去噪方法被提出，如非局部中值濾波[9]、魯棒主成分分析（RPCA）[10]以及BM3D[11]等。其中，BM3D是一種經(jīng)典的去噪方法，可以有效地保存圖像中的細(xì)節(jié)信息。針對傳統(tǒng)分塊壓縮感知方法存在的抗噪能力差的問題，本文結(jié)合BCS_SPL方法和BM3D去噪方法的聯(lián)合重構(gòu)模型，運(yùn)用交替方向乘子法（Alternating Direction Multiplier Method，ADMM）來重構(gòu)含有噪聲的圖像信號，提出了基于ADMM的分塊壓縮感知圖像重構(gòu)方法。

1 基本原理

1.1 壓縮感知理論模型

壓縮感知理論指出，當(dāng)原始信號具有稀疏性，可以對該信號進(jìn)行觀測采樣，然后運(yùn)用重構(gòu)算法從較少的測量值中重構(gòu)信號，其具體模型如下所示：

式中：x∈RN是原始信號，y∈Rm是通過觀測矩陣Φ得到的觀測信號。如果Φ滿足且 0＜δk＜1，則稱Φ滿足 RIP 條件[12]，此時原始信號可以通過最小化l0范數(shù)的方法來求解原始信號，具體表達(dá)式為

式中：||||表示非零元素的個數(shù)，精確恢復(fù)k階稀疏信號，需要滿足

1.2 分塊壓縮感知理論模型

分塊CS理論是通過將圖像進(jìn)行分割處理，得到大小為B×B的不重疊圖像塊，然后選取一個觀測矩陣將高維信號映射到一個低維空間進(jìn)行觀測，通過重構(gòu)算法來求解原始信號。對于N維原始信號其中第j個子圖像塊可以被表示為x[j]，同時運(yùn)用長度的索引集Γ={l1,l2,…,ln}，其中l(wèi)j=B×B，關(guān)于分塊壓縮感知的模型可以被表達(dá)為

式中：ΦB是 觀 測矩陣，y[j]=ΦBx[j]，1≤j≤n，特別地，當(dāng)n=1的時候，該模型可以表示壓縮感知模型。

此處給出一個定義：對于一個給定的k階稀疏的原始信號x∈RN，當(dāng)存在一個參數(shù)0＜δk＜1滿足且 0＜δk＜1，就說ΦB滿足k階的分塊RIP條件[13]。對于整張圖像的測量矩陣Φ而言，可以用塊對角矩陣表示：

2 相關(guān)工作

2.1 平滑投影Landweber（SPL）重構(gòu)方法

平滑投影Landweber（SPL）法是一種有效的重構(gòu)原始信號的方法。其首先對需要重構(gòu)的圖像x(0)進(jìn)行初始化，最終的結(jié)果可由下面式子進(jìn)行運(yùn)算：

式中：γ是ΦTΦ的最大特征值，λ是用于控制收斂的常數(shù)，A是關(guān)于轉(zhuǎn)換系數(shù)的常數(shù)。從式（6）可以看出，初值的預(yù)估往往決定重構(gòu)質(zhì)量的好壞，因此本文采用x(0)=ΦTy作為初始值。

2.2 BM3D去噪方法

BM3D是一種經(jīng)典的去噪方法。該方法的實現(xiàn)過程主要分為基礎(chǔ)估計和最終估計兩個部分。這兩個部分都有圖像塊分割、三維協(xié)同濾波及聚集這三個步驟。兩者的不同之處在于三維協(xié)同濾波。其中，基礎(chǔ)估計的三維協(xié)同濾波是硬閾值濾波，最終估計的三維協(xié)同濾波是維納濾波。此外，對比基礎(chǔ)估計，最終估計可以還原更多的細(xì)節(jié)信息。

設(shè)原始信號為x，y是觀測信號，η是均值為0，方差為σ2的高斯噪聲，其采樣過程如下所示：

首先將圖像分成大小為B×B的大小，尋找塊x[j]與塊x[j′]之間的相似性進(jìn)行匹配，選取歐式距離閾值作為匹配標(biāo)準(zhǔn)，含噪聲塊之間的歐式距離可以表示為

式中：B2是估計階段的圖像塊大小，x[j]和x[j′]是計算距離的圖像塊，是l2范數(shù)。由于噪聲比較大或者圖像塊較小的時候會導(dǎo)致誤差較大，從而導(dǎo)致分組錯誤，因此需要加一個前置的硬閾值濾波對圖像塊進(jìn)行處理，此時歐式距離為

式中：γ′(Tht-2D(·))是前置硬閾值濾波操作，通過設(shè)定歐式距離閾值τht把相似的塊聚集在一起，則每個相似 塊 組 的 集 合 為Sht={x[j],x[j′]∈x|d(x[j],x[j′])≤τht}。然后對聚集而成的相似塊組進(jìn)行三維矩陣的線性變換，通過硬閾值濾波或者維納濾波來減少噪聲，最后通過三維逆變換得到矩陣中圖像塊的估計值。由于在圖像分塊的的過程中，當(dāng)步長小于分塊大小時會出現(xiàn)像素塊的重疊部分，因此對于某個像素可能會存在多個估計，需要進(jìn)行加權(quán)平均。

2.3 基于ADMM的分塊壓縮感知像重構(gòu)方法

本文所提算法將圖像分成大小均勻的子塊，采用維納濾波進(jìn)行平滑處理，降低圖像的塊效應(yīng)。然后將BCS_SPL求解方法與BM3D去噪模型相結(jié)合，利用ADMM方法來重構(gòu)圖像。該算法具體實現(xiàn)步驟如下。

接下來，本文將要在大尺度圖像分塊重構(gòu)的過程中引入ADMM-BM3D模型，從而實現(xiàn)含噪聲圖像的有效重構(gòu)。

處理帶有噪聲的圖像信號，首先要對信號進(jìn)行分塊處理，其次對信號平滑投影，并利用ADMMBM3D模型進(jìn)行去噪，最后利用求解算法進(jìn)行信號重構(gòu)。下一節(jié)將通過實驗與其他算法進(jìn)行比較，證明所提算法在重構(gòu)效果方面優(yōu)于其余算法，且具有相對較高的PSNR值，滿足信號恢復(fù)的基本要求。

3 實驗仿真

3.1 評價指標(biāo)和仿真環(huán)境

對于本文所提算法，仿真在Matlab2015a編程環(huán)境下進(jìn)行，硬件配置為Intel-i5- 10300H （CPU）處理器，32 GB內(nèi)存和Windows 10操作系統(tǒng)。

為了驗證所提算法的有效性，本文選擇采樣率分別為0.1，0.15，0.2，0.25，0.3的時候進(jìn)行仿真，并采用客觀評價標(biāo)準(zhǔn)峰值信噪比（Peak Signal to Noise Rario，PSNR）來評價各算法的重構(gòu)質(zhì)量。對于原始圖像x∈RN，其重構(gòu)圖像為x^，PSNR可以被定義為

式中：MSE代表原始圖像和重構(gòu)圖像之間的均方誤差。當(dāng)PSNR增加，表示重構(gòu)質(zhì)量越好。

3.2 仿真結(jié)果與分析

在實驗仿真中，如果選擇較大的分塊尺寸，算法運(yùn)行時間就越長。相反，當(dāng)分塊尺寸變小時，運(yùn)行的時間越短，但存在明顯的塊效應(yīng)。因此，本文從整體上考慮，選擇了16×16的塊大小來進(jìn)行仿真實驗，并設(shè)置均值為0，方差為0.15的高斯噪聲對信號進(jìn)行污染。當(dāng)采用率為0.3時，將傳統(tǒng)OMP[14]算法、IRSL[15]算法、BCS_SPL[8]算法與本文所提算法進(jìn)行對比。

從圖1的重構(gòu)效果可以看出，當(dāng)采樣率為0.3，面對噪聲數(shù)據(jù)時，傳統(tǒng)的OMP算法和IRSL算法重構(gòu)效果不佳，無法克服噪聲對重構(gòu)圖像的影響。當(dāng)使用BCS_SPL算法時，其在圖像分塊的同時引入維納濾波，在一定程度上起到了抑制噪聲的作用，相比于經(jīng)典的重構(gòu)算法，具有一定的效果提升。本文所提出的基于ADMM的重構(gòu)方法，在重構(gòu)的過程中引入BM3D降噪處理技術(shù)，能夠在很大程度上重構(gòu)原始信號，且具有相對較高的峰值信噪比。

圖1 各算法重構(gòu)效果對比圖

圖2所示為取不同采樣率時，各算法重構(gòu)Lena圖像的PSNR走勢圖。可以看出，隨著采樣率的提高，PSNR在不斷增大，對比前文所提的經(jīng)典算法，本文算法的PSNR值提升較多明顯，說明本文算法具有更好的重構(gòu)精度。

圖2 對比Lena圖像在不同算法下的PSNR值

為了更具體地評價算法的有效性，探究不同采樣率對重構(gòu)效果的影響，本文統(tǒng)計了Lena圖像在不同算法下的PSNR值，如表1所示?？梢钥闯?，當(dāng)采樣率從0.10增大到0.30的時候，本文所提算法重構(gòu)圖像的PSNR值高于經(jīng)典的OMP算法、IRSL算法和BCS_SPL算法。其中比OMP算法提高約8 dB，比IRLS算法提高約6 dB，比BCS_SPL算法提高約3 dB。

表1 Lena圖像在不同算法下的PSNR值

4 結(jié) 語

本文提出了一種基于ADMM的分塊壓縮感知圖像重構(gòu)算法，首先將圖像進(jìn)行分塊處理，其次對初始化的子圖像進(jìn)行濾波處理，再次，對信號進(jìn)行平滑投影，最后采用BM3D模型對信號進(jìn)行去噪，并采用ADMM算法求解最終的原始信號。實驗結(jié)果表明，本文算法的恢復(fù)精度優(yōu)于經(jīng)典的OMP算法和IRSL算法。同時也與BCS_SPL算法進(jìn)行對比，本算法在一定程度上有效地克服了噪聲對重構(gòu)圖像質(zhì)量的影響，且具有相對較高的PSNR值。在后續(xù)的研究中，可重點研究信號結(jié)構(gòu)對重構(gòu)效果的影響，同時可以研究相關(guān)的主流去噪算法來提升重構(gòu)效果。