基于二次逆可靠度分析方法的邊坡穩(wěn)定性研究

高樂星 梁 斌 吳 政 賀 敏

(湖南工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院,湖南 株洲 412007)

在進行邊坡穩(wěn)定性分析和評估時,巖土體的基本參數(shù)、邊坡的破壞模式和外荷載等因素以及它們的變異性,都是我們需要進行考量的。此等情況下,運用邊坡穩(wěn)定性分析方法中的確定性分析方法顯然不合適,不確定性分析方法中的可靠度方法[1-2]是基于概率統(tǒng)計,充分考慮存在的不確定性因素,最終以可靠度指標(biāo)β或失效概率Pf來衡量邊坡的穩(wěn)定性的一種方法。但是單純依靠β或Pf評價邊坡的穩(wěn)定程度在實際工程中應(yīng)用起來并不方便,傳統(tǒng)確定性方法又過于單調(diào)。因此,為打破傳統(tǒng)安全系數(shù)法和可靠度方法的單一性限制,尋求更加靈活的穩(wěn)定性求解方法,將可靠度方法與傳統(tǒng)的安全系數(shù)法結(jié)合起來,本研究提出一種可靠度指標(biāo)加穩(wěn)定性系數(shù)的二元綜合評價體系[3],形成逆可靠度分析方法。

以可靠度理論為基礎(chǔ),逆可靠度分析法[4]為給定結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)β(失效風(fēng)險)的前提下,逆向求解結(jié)構(gòu)的安全系數(shù),繼而進行調(diào)整以保證結(jié)構(gòu)的安全性。至今,已有諸多學(xué)者對此進行了研究與探索。Winterstein S R 等[5]運用一次逆可靠度方法成功估算了海邊建筑結(jié)構(gòu)的設(shè)計荷載,奠定了其在逆可靠度方法中的核心地位。程進等[6]將一次逆可靠度法應(yīng)用至求大跨懸索橋主纜穩(wěn)定性系數(shù)并給出了迭代方法。Chen Jin 等[7]把一次逆可靠度和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相融合,進而分析結(jié)構(gòu)隱式功能函數(shù)問題。李隱[8]則在邊坡工程中采用一次逆可靠度方法,反向推演邊坡的黏聚力、內(nèi)摩擦角和坡角。羅正東等[9]針對邊坡的穩(wěn)定性問題使用一次逆可靠度方法并對邊坡的影響因素進行了敏感性分析。一次逆可靠度方法已發(fā)展得相對成熟,應(yīng)用廣泛。

在此背景下,針對逆可靠度分析方法的研究一直停留在一次逆可靠度法研究領(lǐng)域內(nèi)的現(xiàn)狀,為了豐富逆可靠度分析方法,加速逆可靠度分析方法的發(fā)展進程,以及擴展邊坡穩(wěn)定性分析方法,本研究提出二次逆可靠度方法。該方法將可靠度指標(biāo)加穩(wěn)定性系數(shù)作為綜合評價指標(biāo),對邊坡進行穩(wěn)定性分析,能很好地適應(yīng)工程目標(biāo)可靠度指標(biāo)的變化,同時,把二次二階矩法融入至逆可靠度思想中,在一次逆可靠度方法的基礎(chǔ)上進一步提升精度,達到主動控險和降低工程造價的目的,對于安全縮減現(xiàn)今邊坡設(shè)置保守的安全儲備、節(jié)約工程成本具有十分重要的實際工程意義。

1 二次逆可靠度法基本原理

與一次逆可靠度分析方法類似,二次逆可靠度是對于既定的目標(biāo)可靠度指標(biāo)βt,在一定的約束條件下根據(jù)結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程確定設(shè)計參數(shù)。以上可歸結(jié)[10]為:給定目標(biāo)可靠度指標(biāo)βt和約束條件的前提下求設(shè)計參數(shù)θ,約束條件表達為

式中,Q(u)為極限狀態(tài)方程;x、θ為基本隨機變量,變換至標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間為u=(ux,uθ),ux=(ux1,ux2,…,uxn),θ為待求設(shè)計參數(shù)。

x和θ則通過式(2)和式(3)求累計分布函數(shù)Fxi(·)和Fθ(·)的反函數(shù)獲得;φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

二次逆可靠度方法其實是對一次逆可靠度方法的一種修正,除了利用極限狀態(tài)方程的梯度外,還將其二階導(dǎo)數(shù)納入考慮范圍,更加全面地考慮了極限狀態(tài)曲面在驗算點附近的非線性比如曲率、凹向等性質(zhì)。其原理是采用正可靠度方法中的二次二階矩法對結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程Q進行反復(fù)迭代,直到找到一個θ值以滿足目標(biāo)可靠度指標(biāo)βt為止。

根據(jù)驗算點法可知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量u和目標(biāo)可靠度指標(biāo)βt在驗算點處滿足:

式中,?uQ表示極限狀態(tài)方程Q在u處的梯度向量。

聯(lián)立式(4)和式(5),得:

這樣,約束條件Q(u)=q(x,θ)和式(5)就共同構(gòu)成了求解二次逆可靠度問題的要素。

將極限狀態(tài)函數(shù)Q在假設(shè)的待求參數(shù)初值θ0處,應(yīng)用Taylor 級數(shù)展開并截取至2 次項:

根據(jù)設(shè)定的初始值u0和θ0計算得到?u0Q及?Q(u)/?θ0,然后通過式(6)和式(7)計算得到新的隨機變量u1和新的設(shè)計參數(shù)θ1,再視u1和θ1為新的初始值,進行反復(fù)迭代計算,直到滿足收斂條件式(8)時止。

式中,um和θm分別為第m次迭代計算得到的隨機變量值與設(shè)計參數(shù)值;收斂精度ε1、ε2的取值范圍一般為10-4～10-3。

2 邊坡穩(wěn)定二次逆可靠度求解方法

2.1 極限平衡理論中的簡化Bishop 法

作為邊坡可靠穩(wěn)定性分析中最經(jīng)典的算法,極限平衡法因簡便適用、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、精度較高一直沿用至今,期間以此為基礎(chǔ)形成了多種不同的分析方法,包括Bishop 法、簡布法、摩根斯坦—普瑞斯法、薩爾瑪法等[11]。

本研究采用的簡化Bishop 法是由瑞典圓弧法優(yōu)化而來[12]。與傳統(tǒng)的瑞典圓弧法相比,簡化Bishop法計算安全系數(shù)時忽略了條間剪力,并假定土條之間的力是水平的,土條底面上的法向力由在豎直方向上的靜力平衡條件求出,根據(jù)邊坡整體力矩平衡來確定邊坡的安全系數(shù)FS。其表達式[13]為

式中,FS為安全系數(shù);ci為黏聚力;φi為滑面內(nèi)摩擦角;Wi、bi、αi分別為第i個條塊重力、寬度、網(wǎng)弧底面傾角;ui為第i個條塊孔隙水壓力。其中,Wi、bi、αi、ui的取值與滑面半徑R有關(guān)。

2.2 基于二次逆可靠度方法反推安全系數(shù)

在運用二次逆可靠度方法對邊坡進行穩(wěn)定性分析時,任何力學(xué)參數(shù)或穩(wěn)定性系數(shù)都可作為待求系數(shù)θ。本研究主要針對邊坡的安全系數(shù)FS進行逆向分析。一般考慮土體的黏聚力c,內(nèi)摩擦角φ和重度γ這3 個重要參數(shù),將它們視為3 個相互獨立的基本隨機變量且服從正態(tài)分布,即ux= (γ,c,φ),設(shè)μγ、μc、μφ和σγ、σc、σφ,分別為γ、c、φ的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,則ux=(μγ±λσγ,μc±λσc,μφ±λσφ),根據(jù)文獻[14]中的3 倍均方差原則取λ=3。結(jié)合簡化Bishop 模式下的極限狀態(tài)方程式(9)和式(10)得二次逆可靠度下的邊坡極限狀態(tài)方程為

u0和θ0為u和θ的初始值,由式(11)和式(12)求得Q在u0和θ0處的梯度表達式:

u1通過式(15)求得,θ1則通過解式(16)獲得。如此,再將u1、θ1作為下一輪的初始值進行反復(fù)迭代,直到滿足所設(shè)的收斂精度ε1、ε2為止。最后求得的θ即為既定可靠度指標(biāo)下的安全系數(shù)FS。

2.3 基于二次逆可靠度的邊坡穩(wěn)定具體分析步驟

綜上,邊坡穩(wěn)定性二次逆可靠度分析方法具體流程可歸納如下。

(1)利用有限元軟件搜索邊坡的潛在破壞滑動面,確定其滑面半徑并完成滑動體條塊劃分。

(2)建立簡化Bishop 模式下的邊坡功能函數(shù),并選取基本隨機變量且將其正態(tài)化,本身就是正態(tài)變量的無需進行這一步。

(4)將所求梯度代入式(6)、式(7),計算出u1、θ1后再將其作為新的初始值重新代入式(6)、式(7)中。反復(fù)迭代直至達到式(8)所設(shè)收斂精度。

(5)滿足收斂精度的θm即為事先給定失效風(fēng)險下的待求安全系數(shù)FS。

3 算例分析

以一均質(zhì)邊坡[15]為例,高20 m,坡比為1 ∶1。其土層參數(shù)信息:泊松比ν=0.3,彈性模量E=20 MPa,重度γ=20 kN/m3,黏聚力c=40 kPa,內(nèi)摩擦角φ=20°。c、φ相互獨立,均服從正態(tài)分布,變異系數(shù)都為0.1。

如圖1所示,利用有限元軟件確定出該邊坡潛在滑動面半徑為33 m,于是選取R=33 m 的滑動圓弧進行分析,圖2為邊坡滑動面的條塊劃分,計算中條塊的寬度取b=3.3 m,設(shè)邊坡的目標(biāo)可靠度指標(biāo)βt=3.0,對應(yīng)失效概率Pf= 0.135%,u0=(μγ0,μc0,μφ0) =( 20,40,20),θ的初始值設(shè)為1.0,然后按照上述求解步驟進行求解。

圖1 邊坡潛在滑動面示意Fig.1 Schematic of potential sliding surface of slope

圖2 邊坡滑動面條塊劃分Fig.2 Slope sliding noodle block division

通過式(13)、式(14)求得初值點處的梯度為

將以上各值代入式(15)、式(16)進行計算得

再把u1和θ1的值賦給u0和θ0開始下一次迭代,經(jīng)過8 次迭代后達到之前式(8)所設(shè)的收斂精度(設(shè)ε1,ε2都取10-3)。迭代過程見表1。

表1 二次逆可靠度迭代求解過程Table 1 Iterative solution process of quadratic inverse reliability

最后得u8=(0.877 3,-1.871 6,-2.174 3),θ8=1.229 0。即在失效風(fēng)險概率Pf=0.135%,可靠度指標(biāo)βt=3.0 的情況下,利用二次逆可靠度反向推演出邊坡的安全系數(shù)Fβt=1.229 0。對于此邊坡算例,利用一次逆可靠度以及簡化Bishop 法求解安全系數(shù),其結(jié)果對比見表2。

表2 3 種不同方法計算結(jié)果對比Table 2 Comparison of calculation results of three different methods

3 種方法求出的安全系數(shù)FS均大于1,證明該邊坡滿足穩(wěn)定性要求,且一次逆可靠度方法和本文提出的二次逆可靠度方法所求FS均小于利用簡化Bishop法求得的FS,是因為一次和二次逆可靠度方法在反演求邊坡的FS時,不僅關(guān)注到了巖土體參數(shù)是時刻變化的,還將邊坡目標(biāo)可靠度和失效風(fēng)險納入了考慮當(dāng)中。表中結(jié)果還顯示二次逆可靠度方法的精度要明顯高于一次逆可靠度方法,對于邊坡失效風(fēng)險的把控做到更加精準(zhǔn)。

4 工程實例分析

4.1 工程概況與安全系數(shù)計算

某二級公路路基旁一均質(zhì)粘性土坡,坡高H=10 m,坡角為45°,土體黏聚力c=24 kPa,內(nèi)摩擦角φ=13.3°,c、φ均服從正態(tài)分布且相互獨立,變異系數(shù)均為0.1,重度γ=18.6 kN/m3,泊松比ν=0.3,彈性模量E=10 MPa。

利用有限元軟件FLAC3D進行數(shù)值模擬得到此邊坡的安全系數(shù)FS=1.309,如圖3所示。

圖3 邊坡計算安全系數(shù)Fig.3 Slope calculation safety factor

4.2 二次逆可靠度方法反推安全系數(shù)

首先確定邊坡滑動面并劃分條塊,如圖4所示。其滑動圓弧半徑為17.5 m,條塊寬度設(shè)為b=2 m。

圖4 邊坡滑動面條塊劃分Fig.4 Slope Sliding Noodle Block Division

然后設(shè)邊坡的目標(biāo)可靠度指標(biāo)βt= 2.2,u0=(uγ0,uc0,uφ0) = (18.6,24,13.3),θ的初始值設(shè)為1.0,然后按2.3 節(jié)求解步驟進行迭代計算。最后得um= (1.787 3,-2.123 3,-1.138 9),θm= 1.151 9。即在可靠度指標(biāo)βt=2.2 的情況下,利用二次逆可靠度反向推演出邊坡的安全系數(shù)Fβt=1.151 9。與其他方法對比結(jié)果如表3所示。

表3 不同方法計算結(jié)果對比Table 3 Comparison of calculation results of different methods

根據(jù)表4,《JTG D30—2015 公路路基設(shè)計規(guī)范》中的路塹邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)表知,正常工況下,二級及二級以下公路的邊坡穩(wěn)定系數(shù)的范圍為1.15 ～1.25。本文方法所求安全系數(shù) ,滿足規(guī)范要求。

表4 路塹邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)Table 4 Safety factor of cutting slope stability

表3中所有方法求出的安全系數(shù)FS均大于1,表明該邊坡滿足穩(wěn)定性要求,有限元法求得的安全系數(shù)FS值最大,其安全儲備也最大,簡化Bishop 法次之,一次逆可靠度法在參數(shù)復(fù)雜性和失效風(fēng)險雙重控制下所求的FS值小于前2 種方法,而本文提出的二次逆可靠度方法在一次逆可靠度方法的基礎(chǔ)上又提升了精度,不僅能更加精確地調(diào)控邊坡的失效風(fēng)險,同時在保證安全性的前提下也有效地節(jié)約了工程成本。

5 結(jié) 論

(1)由于安全系數(shù)法和可靠度方法的局限性,本文在一次逆可靠度方法的基礎(chǔ)上將兩者結(jié)合起來,針對邊坡工程建立起了一種精度更高,具備可靠度指標(biāo)和安全系數(shù)雙重控制指標(biāo)的穩(wěn)定性綜合評價體系。

(2)算例以及工程實例分析表明:本文提出的二次逆可靠度方法切實可行,精確度高,這對現(xiàn)今邊坡的安全儲備設(shè)置過大而造成的工程浪費現(xiàn)象具有很強的現(xiàn)實意義。

(3)本文僅對均質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性進行了二次逆可靠度評估,后續(xù)如何將其推廣至非均質(zhì)邊坡,加強基于二次逆可靠度邊坡穩(wěn)定性分析方法的普適性,這是我們需要考慮的問題。