求函數最值與值域的常用方法

■甄新鋒

求函數的最值與值域是高中數學的重要內容。函數的值域就是全體函數值的集合,是由其定義域、對應法則共同決定的。求函數的最值與值域在解法上是相通的。下面舉例分析,供同學們學習與參考。

方法一:函數的單調性法

例1已知函數f(x)=ax+(a＞0),且f(x)在[0,1]上的最小值為g(a),則g(a)的最大值為_____。

評注:利用單調性法求最值,先確定函數的單調性,再由單調性求最值。

方法二:判別式法

例2設非零實數a,b滿足a2+b2=4,若函數存在最大值M和最小值m,則M-m=____。

評注:形如分子、分母的最高次數為二次的分式函數,可利用判別式法求函數的最值。

方法三:二次函數的性質法

例3已知函數f(x)=4x2-mx+1在(-∞,-2)上單調遞減,在[-2,+∞)上單調遞增,則f(x)在[1,2]上的值域為____。

又[1,2]?[-2,+∞),且f(x)在[-2,+∞)上單調遞增,所以f(x)在[1,2]上單調遞增。所以當x=1 時,f(x)取得最小值f(1)=4-m+1=21;當x=2時,f(x)取得最大值f(2)=16-2m+1=49。

故f(x)在[1,2]上的值域為[21,49]。

評注:二次函數y=ax2+bx+c(a≠0),當a＞0時,頂點為圖像的最低點,即當x=時,y的值最小;當a＜0時,頂點為圖像的最高點,即當x=時,y的值最大。

方法四:基本不等式法

例4已知冪函數f(x)的圖像過點,則函數g(x)=f(x)+的最小值為_____。

評注:利用基本不等式求最值時,必須滿足的三個條件:一正、二定、三相等。“一正”就是各項必須為正數;“二定”就是要求和的最小值,必須把構成和的二項之積轉化成定值,要求積的最大值,必須把構成積的因式的和轉化成定值;“三相等”就是檢驗等號成立的條件,判斷等號能否取到,只有等號能成立,才能利用基本不等式求最值。

方法五:分離常數法

例5當-3≤x≤-1 時,函數y=的最小值為____。

評注:求形如的函數的值域或最值,常用分離常數法求解。

方法六:反解法

例6函數的值域為____。

評注:反解法求函數的值域,先由已知函數式解出x,再根據x的取值范圍列不等式求出值域。

方法七:換元法

例7函數y=x+的值域是_____。

評注:求形如y=+(cx+d)(ac≠0)或y=ax+b±的函數值域或最值,常用代數換元法或三角換元法,再結合函數的相關性質求解。

方法八:絕對值不等式法

例8函數y=|x+1|+|x-3|的值域為____。

評注:含有絕對值的不等式的性質:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。

方法九:數形結合法

例9函數f(x)=|x-1|+x2的值域為____。

函數f(x)=|x-1|+x2=

作出分段函數f(x)的圖像(圖略)。由圖知函數f(x)=|x-1|+x2的值域為。

評注:數形結合法包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面,其應用大致可以分為兩種情形:一是借助于形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系,即以形作為手段,數作為目的,如利用函數的圖像來直觀地說明函數的性質;二是借助于數的精確性和嚴密性來闡明形的某些屬性,即以數作為手段,形作為目的,如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。