小議恒成立與能成立問題

■宋秀玲

解決不等式恒成立、能成立問題,常見有四種解法:解集法,分離參數(shù)法,主參換位法和數(shù)形結(jié)合法。解答這類問題的方法靈活,能提升同學(xué)們的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)。恒成立問題:a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max,a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min。能成立問題:a＞f(x)能成立?a＞f(x)min,a≤f(x)能成立?a≤f(x)max。

題型1:自變量在R 上取值,不等式恒成立,求參數(shù)的取值范圍

例1設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1,若對于x∈R,f(x)＜0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是____。

評注:對于函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,只有當(dāng)a≠0時,才是二次函數(shù)。當(dāng)a＞0時,圖像的開口向上,當(dāng)a＜0時,圖像的開口向下。

例2已知函數(shù)f(x)=asinx-,若對任意的x∈R 都有f(x)≤0,則實數(shù)a的取值范圍為( )。

A.B.[-1,0)∪(0,1]

C.(0,1] D.(1,3]

評注:解答本題要注意兩點:一是正弦函數(shù)的有界性,二是換元后新元的取值范圍。

題型2:自變量在某個區(qū)間上取值,不等式恒成立,求參數(shù)的取值范圍

例3已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對任意的x∈[m,m+1],都有f(x)＜0 成立,則實數(shù)m的取值范圍為____。

圖1

對任意的x∈[m,m+1],都有f(x)＜0,只需滿足由此代入解析式得解得＜m＜0。故實數(shù)m的取值范圍是。

評注:畫二次函數(shù)圖像有兩個要點:一是看二次項系數(shù)的符號,確定二次函數(shù)圖像的開口方向;二是看對稱軸和最值,確定二次函數(shù)的具體位置。

例4已知函數(shù)f(x)=loga(2x-a)在區(qū)間上恒有f(x)＞0,則實數(shù)a的取值范圍是( )。

“楓橋經(jīng)驗” 以化解基層矛盾糾紛而著稱，而調(diào)解一直是其基本手段和途徑。人民調(diào)解制度的創(chuàng)造性運(yùn)用和發(fā)展，是“楓橋經(jīng)驗”長盛不衰、歷久彌新的秘訣之一。2011年以來，諸暨市以“楓橋經(jīng)驗”為引領(lǐng)，堅持“大調(diào)解、大服務(wù)、大發(fā)展”的工作思路，努力推進(jìn)“大調(diào)解”體系建設(shè)，取得了顯著成效。

評注:解對數(shù)型函數(shù)問題,應(yīng)注意對底數(shù)的分類討論。

題型3:當(dāng)參數(shù)在某個區(qū)間上取值時,不等式恒成立,求自變量的取值范圍

例5已知函數(shù)y=mx2-mx-6+m,若對于1≤m≤3,都有y＜0恒成立,則實數(shù)x的取值集合為_____。

評注:轉(zhuǎn)換思維角度,把變量與參數(shù)變換位置,構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù),再求得原變量的取值范圍。

例6已知函數(shù)f(x)是定義在R 上的單調(diào)增函數(shù),f(1-ax-x2)≤f(2-a)對任意的a∈[-1,1]恒成立,則x的取值范圍為____。

令函數(shù)g(a)=a(x-1)+x2+1,則解得x≥0 或x≤-1,所以x的取值范圍是(-∞,-1]∪[0,+∞)。

評注:在處理多變元問題時,可以選取其中的常數(shù)(或參數(shù)),將其看作是“主元”,而把其他變元看作常量,從而達(dá)到減少變元,簡化運(yùn)算的目的。

題型4:?x∈R,使不等式成立,求參數(shù)的取值范圍

例7已知函數(shù)f(x)=,若存在x∈R,使得f(x)≥2成立,則實數(shù)m的取值范圍為____。

令y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2,所以m≥-2,所以實數(shù)m的取值范圍為[-2,+∞)。

評注:能成立問題可以轉(zhuǎn)化為m＞ymin或m＜ymax的形式,從而求出y的最小值與最大值,即得參數(shù)的取值范圍。

例8已知命題p:存在實數(shù)x,使得不等式x2+2ax+a≤0成立。若命題p是假命題,則實數(shù)a的取值范圍為_____。

(方法2)若命題p是假命題,則不存在實數(shù)x,使得不等式x2+2ax+a≤0成立,即對任意的實數(shù)x,不等式x2+2ax+a＞0恒成立,從而Δ=4a2-4a＜0,解得0＜a＜1,即實數(shù)a的取值范圍是(0,1)。

評注:根據(jù)命題真假求參數(shù)的方法:利用題目條件,推出每一個命題的真假(有時不一定只有一種情況);再求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍;最后根據(jù)每個命題的真假情況,求出參數(shù)的取值范圍。