探究輔助角公式中“φ”的確定與運用

■黃文青

在三角函數(shù)中,有一種常見而重要的題型,即化asinx+bcosx為一個角的三角函數(shù)形式,進而求原函數(shù)的周期、值域、單調(diào)區(qū)間等。這就要求同學(xué)們需要記憶和掌握輔助角公式。

一、輔助角公式中“φ”的確定方法

asinx+bcosx=(sinxcosφ+cosxsinφ)=,其中tanφ=,φ所在的象限由系數(shù)a,b的符號確定。一般地,由tanφ0=求出銳角φ0,若點(a,b)在第一象限,則取φ=φ0;若點(a,b)在第二象限,則取φ=π-φ0;若點(a,b)在第三象限,則取φ=π+φ0;若點(a,b)在第四象限,則取φ=-φ0。這樣處理輔助公式中的“φ”的值,既不容易出錯又簡單易學(xué)。

評析:在尋找角的過程中,一定要找“同一個角”的正弦值和余弦值。

練習(xí)1:函數(shù)f(x)=2sinxcosx-的最小正周期是____。

二、輔助角公式中“φ”的運用

對于輔助角“φ”,一方面要注重研究其來源,另一方面要把握輔助角與原生角的范圍關(guān)系,確定其大致范圍,可以更好地掌握和使用公式。

例2當(dāng)x=θ時,函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值,則cosθ=____。

評析:解答本題的關(guān)鍵是利用正弦函數(shù)的性質(zhì)尋求輔助角與原生角的范圍關(guān)系。

練習(xí)2:已知,則tanα的值為____。