2021年高考函數的奇偶性和周期性中的“一題多解”

■盧智軍

一題多解可以開拓思路,培養同學們的發散思維能力,還可以通過縱橫發散,使所學知識串聯、綜合溝通,達到舉一反三的目的。下面舉例分析,供同學們學習與參考。

例1(2021 年高考全國卷)設函數f(x)=,則下列函數中為奇函數的是( )。

A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1

解法1:探究函數f(x)=的對稱中心,利用奇函數的定義求解。由題意得f(x)=。

對于A,f(x-1)-1=-2,其定義域不關于原點對稱,可知不是奇函數。對于B,f(x-1)+1=,顯然是奇函數。對于C,f(x+1)-1=-2,其定義域不關于原點對稱,可知不是奇函數。對于D,f(x+1)+1=,其定義域不關于原點對稱,可知不是奇函數。應選B。

解法2:探究函數f(x)=的對稱中心,利用圖像平移進行驗證。由題意得函數f(x)=,其對稱中心為(-1,-1),將函數f(x)的圖像向右平移1個單位,再向上平移1 個單位,可得函數f(x-1)+1的圖像,這時f(x-1)+1的圖像關于原點對稱,即為奇函數。應選B。

反思:函數的定義域關于原點對稱是判斷函數奇偶性的前提條件,再根據f(-x)與f(x)的關系得到結論,有時也可以借助圖像的平移探究復合函數的奇偶性。

例2(2021 年新高考卷)已知函數f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數,則a=____。

解法1:利用賦值法可求參數a的值。

由f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數,可得f(-1)=f(1),所以,所以a=1。

解法2:利用偶函數的定義可求參數a的值。因為f(x)=x3(a·2x-2-x),所以f(-x)=-x3(a·2-x-2x)。又因為f(x)為偶函數,所以f(-x)=f(x),即x3(a·2x-2-x)=-x3(a·2-x-2x),整理可得x3·(a-1)(2x+2-x)=0 對于任意的x恒成立,故a-1=0,即a=1。

反思:依據f(-x)=f(x)對于任意的x恒成立,可賦值確定a的值,也可利用偶函數的定義轉化為含參數的代數式確定a的值。

例3(2021年高考全國卷)設f(x)是定義域為R 的奇函數,且滿足f(1+x)=f(-x)。若,則=( )。

解法1:利用函數的奇偶性和函數的遞推關系f(1+x)=f(-x)求值。

解法2:由遞推關系和奇函數探究周期性求值。

由f(x+1)=f(-x)和f(x)為奇函數,可得f(x+1)=-f(x),則f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函數f(x)的周期為2,所以。應選C。

反思:由遞推關系和奇偶性探究周期性求值,往往使所求問題簡單化。

例4(2021 年高考全國卷)設函數f(x)的定義域為R,f(x+1)為奇函數,f(x+2)為偶函數,當x∈[1,2]時,f(x)=ax2+b。若f(0)+f(3)=6,則=( )。

解法1:利用f(x+1)是奇函數,f(x+2)是偶函數構建方程,確定f(x)解析式,再利用遞推法求值。

由f(x+1)是奇函數,可得f(-x+1)=-f(x+1),由f(x+2)是偶函數,可得f(x+2)=f(-x+2)。

據此解析式進行賦值:令x=1,可得f(0)=-f(2)=-(4a+b),f(3)=f(1)=a+b。

因為f(0)+f(3)=6,所以-(4a+b)+a+b=6,可得a=-2。

令x=0,可得f(1)=-f(1),所以f(1)=0,即a+b=0,所以b=2。

所以當x∈[1,2]時,函數f(x)=-2x2+2。

解法2:從周期性入手求解。由f(x+1)是奇函數,f(x+2)是偶函數,奇函數的圖像關于原點對稱,偶函數的圖像關于y軸對稱,可得函數f(x)的對稱中心為(1,0),相鄰的對稱軸方程為x=2,可知f(x)的周期T=4。利用周期T=4,f(-x+1)=-f(x+1)及當x∈[1,2]時,f(x)=-2x2+2,可得。應選D。

反思:在解決函數性質問題時,通常可以借助一些常用結論,求出其周期,進而達到簡便計算的效果。如解法2 中,用到f(x+1)是奇函數,f(x+2)是偶函數,可得f(x)的對稱中心為(1,0),相鄰對稱軸方程為x=2,由函數圖像知f(x)的周期為4。