論流體能量守恒及壓力勢能與伯努利原理的應用

張辰辰

（北京城建亞泰建設集團有限公司，北京 100000）

1 論述壓力勢能做功的形式

我們都知道伯努利原理：

這個式子被稱為伯努利方程。式中，p為流體中某點的壓強，v為流體該點的流速，ρ為流體密度，g為重力加速度，h為該點所在高度，C是一個常量。

我們設△V為一圓柱形流體構成的系統,當我們將公式（1）兩邊乘以一個體積元△V。

即p△V+ρ△Vgh+(1/2)ρ△Vv2=c△V。

如圖1：（一段在圓柱體內的具有壓力的流體，先稱其為圓柱形流體）。

圖1 截面積為s圓柱形流體系統（移動距離a）

此時，我們將圓柱形流體看作一個系統，其移動距離a，及圓柱形流體作用在s面上的壓力做功W=Fa→E=Fa（2），F為作用在s面上的力，a為圓柱形流體的長度。

圓柱形流體的重量勢能E=mgh（3），m為圓柱形流體的質量，g為重力加速度，h為圓柱形流體抵抗重力做功的距離。

圓柱形流體的動能E=(1/2)mv2（4），m為圓柱形流體的質量，v為圓柱形流體的流速（v為圓柱形流體這個系統的速度≠其該點的流速）

壓力勢能+重力勢能+動能=常數（與上式一一對應）

這樣看，壓力勢能是由于某質元△m因處于壓力F的場中而具有的能量。需要注意的是，壓力勢能與重力勢能不同，是物體由于位形（不是位置）而具有的能量。

此式表示為壓力勢能與重力勢能及流體動能守恒。

因為大氣壓力勢能即為大氣壓力潛在所做的功，其大小與相對真空的大氣壓強和真空的體積有關。任何形狀的真空體都可視為由若干微小的高度為h底面積之和為s的柱體構成，高度h可視為大氣壓力做功時經過的距離，面積之和s可視為大氣壓力的受力面。設大氣壓力勢能為E、大氣壓力所做的功為W、大氣壓力為F、大氣壓強為P、真空的體積為V。根據大氣壓力與大氣壓強的關系以及功與力的關系可得：E=PV（6）（壓力勢能是一種機械能，與重力勢能、動能、內能在一定條件下可以相互轉換。）

由公式可知：大氣壓力勢能與相對于真空的大氣壓強和真空的體積有關。

液體壓力勢能也是如此：將一個真空的球體壓入水下（球體重量忽略不計），深度h,球體體積v，則球體浮力為ρvg,球體壓入水中所做的功：W=ρvgh=pv.→E=PV。

又根據克伯龍方程：PV=nRT（7），P表示壓強，V表示氣體體積，n表示物質的量，T表示絕對溫度，R表示氣體常數。所有氣體R值均相同。如果壓強、溫度和體積都采用國際單位（SI），R=8.314帕·米3/摩爾·K。如果壓強為大氣壓，體積為升，則R=0.0814大氣壓·升/摩爾·K。R為常數。

理想氣體狀態方程：pV=nRT，

由式（4）、（6）得：流體壓力勢能E=pV=nRT（8），

由流體壓力勢能公式（8）、流體壓力勢能公式（5）、（6）得：nRT+mgh+(1/2)mv2=K（9），n表示物質的量，T表示絕對溫度，R表示氣體常數，v為流體系統（文中流體系統表示為一段重力勢能、動能、內能、壓力勢能總和不變的圓柱形流體如圖一）速度，m為流體系統質量，g為重力加速度，h為圓柱形流體抵抗重力做功的距離，K是一個常數。

由nRT+mgh+(1/2)mv2=K，

重力（亦或是其他力F=mg），得：nRT=K-Fh-(1/2)mv2（10），及當圓柱形流體系統動能增大，或系統重力勢能增大（對外做功）時，溫度減小。用此式可以解釋渦流管分離冷氣與熱氣的現象。

渦流管：壓縮氣流通過收斂型的噴嘴膨脹加速，以音速沿切線方向進入圓形管內腔，并沿同口徑的管道擴散，形成高速旋轉的渦流，從管道的截面看，此時雖然都叫氣流，但是中心的氣流角速度大，由公式（10）可知，速度增大溫度T減小，靠近壁管的氣流發生摩擦角速度比較低，公式（10）可寫為nRT=K-(1/2)mv2隨著速度增大溫度減小。

實際就是內圈高速旋轉的渦流靠摩擦力帶動外圈的渦流低速旋轉，因此，內圈的氣流不斷帶動外圈旋轉，結果就是內圈渦流的氣體內能不斷轉換為旋轉動能，公式（10）可寫為nRT=K-Fh。由于內圈旋渦的氣體不斷對外圈氣體做功，所有溫度降低，相應的外圈氣體不斷因摩擦獲得動能維持旋轉，同時，氣體內能也不斷增加，導致溫度升高。其實不止渦流管，旋轉的流體都會出現這種現象，只是速度太小導致溫度變化小，不易察覺。

如此一來，內圈的低溫渦流和外圈的高溫渦流，同時，向右錐形塞的出口擴散，而冷氣口由于氣體的附壁效應將角速度小的中心氣體帶出，形成冷空氣。渦流管如圖2。

圖2 渦流管示意圖

由圖1得當圓柱形流體系統移動距離a，及壓力對外做功（流體勢能對外做功）W=Fa，由公式（5）、公式（6）、公式（7）得E=Fa=PV=nRT→T=W/nR，圓柱形流體系統內能降低溫度減小。及圓柱形流體系統溫度與系統對外做的功成反比。

此處引用理想氣體方程，對于其他流體可代入dp/dT=L/(TΔv)，其中L是相變潛熱，Δv是比體積或摩爾體積的變化。易得出對外做功與溫度的變化。

2 論述流速與壓強的關系

旋轉的半徑為r的圓盤上放置一個質量為m的物體，此時，由于摩擦力提供向心力，物體保持與圓盤同步旋轉，物體受到的向心力為F=mv2/r，m為物體質量，v為物體速度，r為物體至圓心的距離。

將流體分子設為一質量m的質點，當流體放置在半徑為r的圓盤上旋轉，流體總質量為M,此時，分子與圓盤摩擦力提供向心力，單個分子受到的向心力為F=mv2/r。

圓柱形流體分子組成的質量為M的總流體，考慮總流體可以看作在r/2半徑上的一圈質點構成的圓環，則質點構成的圓環受到的向心力為F=Mv2/2r.→F=nmv2/2r（11）。單個質點向心力F=mv2/2r。而nm/2r可以表述為在半徑r上可以排列分子的數量。

圓柱形流體在半徑r/2圓柱面上產生的壓強：

P=(Mv2/2r)/πrh=Mv2/2πr2h=Mv2/2V=ρv2/2（12），(V半徑r高為h圓柱體積）。與圓柱半徑無關，與圓柱體積內流體密度成正比，與流體速度平方成正比。壓強的方向由圓心指向切點方向。

單個運動軌跡為半徑r/2質點在圓柱面上產生的壓強P’=(mv2/2r)/πrh=mv2/2πr2h=mv2/2V=ρ’v2/2，P’單 個質點為壓強貢獻值。ρ’為質點m在圓柱體積V內占的比重。P’與圓柱半徑無關，與體積有關，與質點質量有關，即質點移動速度v，該質點則產生P’的壓強，壓強的方向由圓心指向切點方向。

可以算出單個水分子在1立方米體積上的比重為：ρ’=m/V=水分子質量m/體積=2.99×10(-26)/1=2.99×10(-26)kg/m3。

當單個水分子速度為1m/s時，為壓強貢獻值為：P’=ρ’v2/2=2.99×10(-26)×12/2=1.49510(-26)kg/ms2，此單位表示，質點質量（kg）與其經過的路徑（m）與時間（s）的平方乘積成正比。kg/ms2分子分母同時乘以m,可得出壓強單位kgm/m2s2→N/m2，由動能公式E=mv2/2。流體在半徑r/2圓柱面上產生的壓強P=ρv2/2=Mv2/2V（13）。得P=E/V，同體積下，動能與正曲率方向（由圓心指向質點方向）上的壓強成正比。動能不變的情況下，系統體積與正曲率方向（由圓心指向質點方向）上的壓強成反比。

由動能公式E=mv2/2。單個流線質點（運動軌跡有曲率的質點）壓強貢獻值公式P’=ρ’v2/2=mv2/2V。得P’=E/V，同體積下，單質點動能與正曲率方向（由圓心指向質點方向）上的壓強成正比。動能不變的情況下，系統體積與正曲率方向（由圓心指向質點方向）上的壓強成反比。

流體在物體表面流動時，由于流體的黏性，在物體表面會產生速度梯度，即：τ=ηdv/dx=ηD（牛頓公式）其中η與材料性質有關，我們稱為“黏度”。當速度梯度不為線性時及速度v/x不為常數時（如圖3），我們可以理解為此處流體（物體表面上流動的流體）產生了壓強，單個質點產生壓強的大小為P’=E/V。則此處產生的壓強P=ρv2/2。方向為正曲率方向，如圖3。

圖3

當速度梯度為弧形時，即板受到F運動時，則流體因黏度η的存在，靠近板的流體被帶走，上層的流體來補充，產生了沿弧形梯度流動的流體，由公式（12）知圓柱形流體產生的壓強P與圓柱半徑無關，與圓柱體積內流體密度成正比，與流體速度平方成正比。壓強的方向為正曲率方向。