工業機器人復雜曲面拋磨運動軌跡生成算法*

李盛前，張小帆

(1.廣東機電職業技術學院 電氣技術學院，廣東 廣州 510550；2.廣東技術師范大學 汽車交通學院，廣東 廣州 510665)

隨著人們生活水平的提高，人們對產品外表的視覺美觀效果越來越重視，在復雜曲面產品的制造過程中，拋光是一道很重要的工序，表面拋光加工過程的好壞直接影響產品的外觀和質量。傳統拋光方式主要依靠人工手持工件進行拋磨，勞動強度大，加工質量無法保證，效率低。近年來，隨著數控加工技術和CAD/CAM技術不斷成熟[1-3]，以及工業機器人的廣泛應用，使得工業機器人在自動化生產領域中成為不可或缺的自動化設備，如何很好地利用工業機器人技術已成為目前研究和應用發展的重要課題[4-5]。由于機器人特有的靈活性、柔順性和開放性等特點，猶如人的手腕，使得它非常適合于代替人工作業，尤其是對復雜曲面的拋光加工，更能體現出機器人拋磨的優越性[6-7]。而任何一種工業機器人要完成所規定的拋光任務都必須進行軌跡規劃，因此對機器人軌跡生成方法的研究非常有必要，這也是機器人關鍵技術中研究的熱點問題之一。目前，國內外對此已經進行了廣泛的研究。于淼等在曲面CAD模型處理得到一系列交線，將所得到的截交線作為機器人末端加工運動軌跡[8-9]，向丹等采用基于CAD模型的自由曲面自適應采樣方法，根據曲率特征使采樣點在曲線上自適應分布，更好地逼近曲線、曲面的幾何特征等[10-13]。傳統的拋磨機器人一般采用人工示教法得到工業機器人的加工運動軌跡。這種方法缺陷很多，不但編程加工精度低，示教耗時長、難度大，使用不夠靈活，而且無法完成任意復雜曲面的加工；而離線編程是在虛擬的作業環境下，通過使用計算機內的CAD模型，生成示教數據，間接地對機器人進行示教，不但軌跡精度高，編程時間短，難度降低，而且可以完成復雜曲面加工運動軌跡規劃[14]，這樣軌跡規劃過程的自動化將顯著提高拋磨效率，以及減輕技術人員的勞動強度。針對這些問題，考慮到復雜曲面曲率的輪廓變化因素[15]，以及總結前人以往方法的優缺點，有必要研究一種有效可行的拋磨運動軌跡生成算法實現這些創新思路，這對工業機器人技術領域的理論研究和實際應用價值具有重要的意義。

1 復雜曲面機器人拋磨軌跡生成問題的研究

機器人軌跡規劃是其軌跡跟蹤控制的基礎，也是機器人執行作業任務的基礎。機器人的軌跡指操作臂末端在運動過程中的位移、速度和加速度。路徑是機器人位姿的一定序列組合，而不考慮機器人位姿參數隨時間變化的因素。機器人為了實現預定的運動完成規定任務必須進行軌跡規劃，那么運動軌跡是如何規劃生成呢？目前，運動軌跡生成的方法主要有[16]參數線法、截面線法和導動面法等。但在機器人實際加工中，機器人末端不可能完全沿著上面方法生成的軌跡運動，而只能沿著極微小兩點間的直線段運動，從而逼近理想軌跡，換句話說，生成的軌跡最后還要進行離散化。

當前機器人拋光應用中，大多針對簡單的曲面進行加工，拋磨軌跡簡單，機器人的優越性無法體現，為了充分發揮機器人的優勢，拋磨更復雜曲面，而形狀復雜的自由曲面既不是能用簡單的非參數數學解析式表達其數學模型的簡單解析曲面，也不是能由參數表達式表達其數學模型的簡單自由曲面，而是由這些曲面組合在一起，所以復雜曲面的數學模型很難用數學表達式建立[17]。針對以上對軌跡生成問題的綜合分析，本文提出一種結合CAD技術、以NURBS曲線和杠桿自適應采樣算法為核心的方法，自動生成平滑的復雜曲面拋磨運動軌跡，該方法處理過程如下：首先在Pro/E中生成自由曲面的CAD模型，利用截面線法切割自由曲面生成一系列的空間截交線，采用密集離散點近似表示截交線，離散點根據加工精度要求可進行加密；然后采用NURBS曲線擬合離散數據點，使擬合曲線不但平滑無突變，且更好地逼近理論輪廓線；最后根據曲率的杠桿自適應采樣處理得到曲面拋磨的一序列離散點集合，即將位于各截交線上的離散點插值反算獲得NURBS曲線，再結合曲率特征進行杠桿自適應采樣處理，使曲率大的地方生成的離散點越密集，反之亦然。從而達到拋磨加工要求，保證自由曲面的拋磨加工質量及精度。

2 機器人復雜曲面拋磨運動軌跡生成算法

等截面法是磨具沿著曲面與等距截平面的相交線進行加工(見圖1)。該法可較快生成機器人拋磨軌跡，但適用于拋磨曲率變化平緩的曲面，其優點是加工軌跡容易生成；缺點是截平面間的距離及拋磨運動步長難以控制，造成拋磨軌跡在曲面的平坦處(曲率小)相對密集，而在陡峭處(曲率大)較稀疏，導致加工表面質量不高，精度差，因此應對生成的截交線再次處理，生成更合理的拋磨軌跡。

圖1 等截面法生成軌跡

2.1 自由曲面數據點提取

針對完成自由曲面的CAD建模，數據點的提取成為后面反算理論輪廓曲線和計算曲率特征的數據基礎。本文通過CAD/CAM技術建立復雜曲面模型，利用截平面切割復雜曲面得到一系列截交線，通過CAD/CAM系統可獲取各截交線的一系列離散數據點(見圖2)。這些離散理論數據點(坐標點)為后續NURBS曲線擬合做好了準備。

圖2 截交線的離散數據點

2.2 拋磨軌跡數學模型建立

根據上節在各拋磨軌跡上提取出來的一系列離散數據點，采用非均勻有理B樣條曲線(NURBS)擬合方法，對離散數據點進行擬合計算，得到表示拋磨軌跡的非均勻有理B樣條曲線。

首先提取得到數據點，然后采用積累弦長法計算法則計算出與離散數據點一一對應的結點參數，得到節點矢量U，最后將數據點和節點矢量代入NURBS曲線定義公式，根據方程組矩陣表達式求解出控制點，最后得到NURBS曲線。

1)一條p次NURBS曲線的定義[18-19]：

(1)

式中，di為控制點，用來形成擬合曲線的控制多邊形；ωi>0為控制點所對應的權因子，其大小影響著曲線的形狀，本文討論中令ωi=1，表示各個控制點對曲線形狀的影響程度相同；Ni,p(u)表示在節點矢量U中第i個p次B樣條基函數，其定義為：

(2)

2)節點矢量計算。

當從每條拋磨軌跡離散得到的一系列數據坐標點集合{PK}(k=0,1，……,n)，要把每條拋磨軌跡的離散點擬合成NURBS曲線時，要指定這些離散點一一對應一個參數值，使得這些參數值有序組合成一個個矢量U，這就是節點矢量，節點矢量計算常用的方法有均勻參數化、弦長參數化和向心參數化等3種。

均勻參數化：

于是

弦長參數化：在每條拋磨軌跡的離散數據點集合中，每相鄰兩點之間的連線成為一條弦，令每條拋磨軌跡構成的弦長之和為L，于是有：

得到

U={0,0,0,0,u4,……，un+2,1,1,1,1}

向心參數化：

得到

U={0,0,0,0,u4,……，un+2,1,1,1,1}

由NURBS曲線擬合性質可知，為了對拋磨軌跡離散數據點擬合得到的曲線與理論輪廓線相近且平滑，應在拋磨軌跡上曲率大處比曲率小處采集的數據點相對密集，因此本文采用了弦長參數法計算節點矢量，使NURBS曲線擬合效果更佳。

3)控制點的定義與反算。

當得到拋磨軌跡離散數據點{PK}(k=0,1，……,n)時，所有數據點都有一個與之對應的節點矢量，由以上計算得的節點矢量代入式1得如下矩陣方程組：

(3)

可以看出，系數矩陣中的元素全部是樣條的基函數，并且這些基函數的值只與節點值有關系，于是由以上方程組可以求解出曲線擬合的所有控制點dn。

綜合上述，最后把控制頂點dn、曲線擬合次數p及節點矢量U代入式1，這樣可以得到一條p次NURBS曲線。

2.3 基于曲率的曲線杠桿自適應采樣離散方法

實現機器人跟蹤軌跡拋磨，最后還應對擬合生成的NURBS曲線(拋磨軌跡)進行離散化處理得到合理的砂帶拋磨觸點，連接各個觸點生成機器人拋磨加工運動路徑，這樣觸點的分布情況影響著機器人的拋磨加工運動路徑，為了提高復雜曲面的拋磨加工精度及效率，復雜曲面曲線曲率大的部分采樣點分布應當密集，而在曲率小的部分分布應當稀疏，本文提出了杠桿平衡原理處理采樣點的自適應分布方法。杠桿平衡系統示意圖如圖3所示，根據杠桿原理，各個質點的質量越大越靠近支點，而質點的質量越小越遠離支點，由此啟發，可以將曲線上各處的曲率函數K(u)看作是各個質點的質量，這樣利用杠桿平衡原理計算得到自適應采樣的離散點，這里稱為杠桿自適應采樣法。

圖3 杠桿平衡系統示意圖

1)當杠桿系統達到平衡時，有如下關系：

M1(u2-u1)+M2(u2-u3)=0

(4)

可以推導出：

進一步簡化為：

(5)

2)NURBS的曲率計算式：

(6)

而反應曲線彎曲程度的特征函數：

(7)

式中，參數α≥0表示采樣點分布受曲線曲率影響的程度，α越大采樣點分布受曲率影響就越小，最終趨向于參數域均勻化分布的情況。

3)NURBS曲率的杠桿平衡公式。

由于將曲線上各處的曲率函數K(u)看作是各個質點的質量，于是根據式5得到NURBS曲率的杠桿平衡公式：

式中，K為設定的采樣數據點；C(uij)為uij處的曲率；ui為平衡支點，即所求的采樣點。

4)迭代求解：

上式迭代求解過程中，其收斂終止條件為：

式中，ε為曲線擬合精度要求誤差；s為迭代次數。

根據上述計算過程，然后迭代求解，滿足給定的終止條件后得到NURBS曲線在參數域上的杠桿自適應采樣點列ui；最后通過NURBS曲線方程計算出對應的曲線上的采樣點序列Pk，即拋磨過程的序列離散觸點。

3 實驗仿真結果與分析

3.1 軌跡自動生成算法描述

根據以上所述可知，利用機器人對復雜曲面進行拋磨加工時，運動軌跡自動生成算法流程如圖4所示。

圖4 拋磨軌跡自動生成算法流程圖

3.2 實例仿真

3.2.1 復雜曲面生成拋磨軌跡

上位機系統應用Pro/E軟件的二次開發功能結合VC++6.0軟件進行開發，在軟件中編程實現本文算法，系統運行自動生成拋磨加工軌跡，其系統為任意復雜曲面機器人拋磨加工自動生成的運動軌跡如圖5所示。

圖5 機器人拋磨軌跡生成

3.2.2 杠桿自適應采樣與其他常用采樣對比

為了更清楚地說明各種采樣算法的效果，本文應用MATLAB軟件進行仿真。利用截交線其中的一組離散數據點擬合得到的NURBS曲線，即拋磨機器人運動軌跡，分別采用本文的杠桿自適應采樣、等參數采樣、等弧長參數采樣對軌跡采樣得到機器人拋磨運動的一系列工具觸點集合進行仿真對比(見圖6)。

a) 杠桿自適應采樣

b) 等參數采樣

c) 等弧長參數采樣

從圖6中分析可知，本文杠桿自適應采樣點算法在曲線曲率大處分布較密，而在曲率平緩處分布較稀，實現了采樣點隨曲率大小自適應分布的效果。達到了優化拋磨軌跡，提高拋磨加工效率的目的，并且杠桿自適應采樣方法在曲率大處采樣間距最小，說明采用本方法得到的采樣點能更好地突出曲面曲線的特征，更準確地反映復雜曲面拋磨加工軌跡信息。

為了對比說明哪種方法能更高精度地逼近理論曲線，分別采用本文算法的杠桿自適應采樣、等參數采樣、等弧長參數采樣對理論曲線進行采樣離散，各自得到10個數據點，再分別進行NURBS擬合處理(見圖7)。

圖7 3種采樣方法數據擬合與理論曲線對比

從圖7可以看出，對這3種方法的離散點進行NURBS擬合曲線，杠桿自適應采樣的離散點得到的擬合曲線與理論曲線更逼近，說明本文杠桿自適應采樣方法精度更高，可提高拋磨加工精度。

4 結語

本文重點解決了目前復雜曲面拋磨機器人采用人工示教編程難度大、耗時長、效率低、精度不高以及運動軌跡不平滑的問題，文中通過CAD/CAM系統完成復雜曲面的建模，用一組平行平面切割復雜曲面得到一系列拋磨軌跡，并提取其某些坐標點生成一系列離散數據點；然后利用NURBS曲線擬合離散數據點，再結合曲率特征進行杠桿自適應采樣處理優化，得到一系列拋磨工具觸點的序列集合；最后將工具觸點依次連接生成機器人的拋磨運動路徑，從而實現了離線編程自動生成復雜曲面上平滑的拋磨軌跡規劃，克服了人工示教存在的許多缺點。實驗仿真結果表明，該方法簡單穩定，實用可靠，不但生成了平滑、無突變的任意復雜曲面的拋磨加工軌跡，而且提高了拋磨加工質量、精度以及效率。