注重思維 突出應(yīng)用 聚焦素養(yǎng)
——以2021年天津市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試題為例

馮玉嫻 白紹強(qiáng) 劉金英

2021年天津市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)學(xué)科命題全面貫徹黨的教育方針，充分體現(xiàn)義務(wù)教育的性質(zhì)，堅持公平、全面、科學(xué)的原則。命題的主要依據(jù)為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）和《教育部關(guān)于加強(qiáng)初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見》（教基〔2019〕15號）。命題整體把握時代精神，積極落實立德樹人根本任務(wù)，體現(xiàn)社會主義核心價值觀，認(rèn)真貫徹課程標(biāo)準(zhǔn)理念，加強(qiáng)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容、思想方法、關(guān)鍵能力的考查，注重在基礎(chǔ)知識和基本技能的考查中體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。試題將知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度四個方面目標(biāo)有機(jī)結(jié)合，發(fā)揮育人導(dǎo)向作用。本文主要從“注重思維”、“突出應(yīng)用”和“聚焦素養(yǎng)”三個方面，結(jié)合試卷中的典型試題進(jìn)行評析，并對今后的課堂教學(xué)提出建議，以發(fā)揮評價的導(dǎo)向作用。

一、典型試題評析

試卷內(nèi)容圍繞初中數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，聚焦學(xué)生對基本概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，注重考查數(shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧和繁難運(yùn)算。試卷從知識到能力再到素養(yǎng)導(dǎo)向的設(shè)計，充分體現(xiàn)了從關(guān)注知識的掌握到關(guān)注人的發(fā)展；恰當(dāng)融入課程思政元素，彰顯了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。

（一）強(qiáng)調(diào)能力，注重思維

數(shù)學(xué)課程應(yīng)該實現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。試卷呈現(xiàn)的一些綜合性問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，需要運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析與解決問題，這是《標(biāo)準(zhǔn)》對于“四能”在教學(xué)和評價方面的要求[1]。如第（12）題是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中一元二次方程、二次函數(shù)、不等式等內(nèi)容的綜合運(yùn)用；第（17）、（21）題是“圖形與幾何”領(lǐng)域中三角形的性質(zhì)、全等三角形、正方形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)等內(nèi)容的綜合運(yùn)用。這類問題考查了學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、運(yùn)算能力、推理能力，以及對同一領(lǐng)域數(shù)學(xué)知識之間關(guān)系的理解。再如第（24）題是“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”兩個領(lǐng)域的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生在較為復(fù)雜的問題情境中綜合運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問題的能力。

1.借助幾何直觀，突出分析問題的能力：第（12）題

已知 拋 物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常 數(shù)，a≠0）經(jīng)過點（-1，-1），（0，1），當(dāng)x=-2時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y＞1.有下列結(jié)論：①abc＞0；②關(guān)于x的方程ax2+bx+c-3=0有兩個不等的實數(shù)根；③a+b+c＞7．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）．

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

本題考查了畫二次函數(shù)圖象，應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題。本題需根據(jù)已知條件畫出拋物線草圖后，由開口方向、對稱軸、與y軸的交點位置判斷出a，b，c的符號，得出結(jié)論①；由圖象可以直觀判斷出結(jié)論②正確，體現(xiàn)二次函數(shù)與一元二次方程之間從“數(shù)”和“形”兩個方面的聯(lián)系，還可以通過根的判別式對②進(jìn)行分析判斷；由代入已知點的坐標(biāo)得出a與b的數(shù)量關(guān)系及各自的取值范圍，再根據(jù)c=1綜合判斷出結(jié)論③正確。學(xué)生在分析已知條件的前提下，畫出拋物線是解決問題的關(guān)鍵，借助幾何直觀把復(fù)雜的問題變得簡明、形象，從而更好地解決問題。

2.關(guān)注基礎(chǔ)圖形，強(qiáng)化要素關(guān)聯(lián)：第（17）題

如圖，正方形ABCD的邊長為4，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在BC，CD的延長線上，且CE=2，DF=1，G為EF的中點，連接OE，交CD于點H，連接GH．則GH的長為________．

本題涵蓋正方形、直角三角形、等腰三角形、三角形的中位線、全等三角形等內(nèi)容，關(guān)注學(xué)生在復(fù)雜圖形中分離出基本圖形的能力，是對學(xué)生識圖能力、推理能力的綜合考查。強(qiáng)調(diào)了基本圖形的基本性質(zhì)，探究圖形基本要素之間的內(nèi)在聯(lián)系[2]，這樣有助于學(xué)生合理選擇數(shù)學(xué)方法，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。抓住“關(guān)鍵要素”，探究相關(guān)聯(lián)系是解決本題的重要思路。

本題條件“連接OE，交CE于點H”，點H是什么？它置身于正方形中與誰有關(guān)？引導(dǎo)學(xué)生思維向縱深發(fā)展。點H同時在FC，OE上，是正方形、直角三角形的共同的要素，如何發(fā)揮它在不同圖形的作用值得思考。通過三角形全等或平行線等分線段，可得出點H為OE的中點，先定性分析，再定量計算出GH的長。顯現(xiàn)隱形要素，構(gòu)成完整圖形是解決本題的基本方法。在幾何問題中，要獲得結(jié)論，往往需從分析與結(jié)論有關(guān)的要素出發(fā)[3]。添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，根據(jù)需要進(jìn)行“補(bǔ)形”，使圖形的隱形要素顯現(xiàn)出來，構(gòu)成完整的基本圖形，再研究要素間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。“遇中點，想中位線”是幾何證明常見的思路，中位線定理的應(yīng)用有時需要構(gòu)造第三邊，有時僅知一個中點，需取第二個中點，才能形成中位線。本題點G、H是中點，連接OF構(gòu)造第三邊，求出OF的長即可；還可取FC的中點，構(gòu)造中位線，在新形成的直角三角形中，只要求得另一直角邊的長，運(yùn)用勾股定理就可得到GH的長。

這樣的設(shè)計，一是考查兩個基本圖形的基本性質(zhì)；二是考查組合圖形中主要要素之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，學(xué)生需要在新的圖形情境中，借助幾何直觀分析問題。試題給學(xué)生預(yù)留了很大的探索空間，學(xué)生在解決問題的過程中，能夠體會多角度思考問題，從而發(fā)展合情推理和演繹推理的能力。

3.多種途徑解題，培養(yǎng)發(fā)散思維：第（21）題

已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，∠BAC=42°，點D是⊙O上一點．

（Ⅰ）如圖①，若BD為⊙O的直徑，連接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；

（Ⅱ）如圖②，若CD∥BA，連接AD，過點D作⊙O的切線，與OC的延長線交于點E，求∠E的大小．

本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系（相切）。試題與等腰三角形、直角三角形、特殊的四邊形（圓的內(nèi)接四邊形）有機(jī)結(jié)合，是一道以圓的有關(guān)知識為基礎(chǔ)的幾何圖形證明題、計算題，對學(xué)生的識圖能力、幾何直觀、推理能力有一定的要求。

本題取材于人教版教科書九年級上冊習(xí)題24.1第3題，一個等腰三角形內(nèi)接于圓，由底角的度數(shù)求出頂角的度數(shù)。（Ⅰ）中的點D是直徑的端點，（Ⅱ）中的點D是平行線與圓的交點，題目在兩種特殊的位置下求有關(guān)角的度數(shù)。本題結(jié)構(gòu)鮮明，切入清晰，思路順暢，考查重點突出，涉及到的圖形性質(zhì)有：圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理。

第（Ⅰ）問存在兩個基本圖形：等腰△ABC和直角△DBC。等腰三角形的頂角和底角是重要要素，等腰三角形的兩個底角相等，所以由頂角的度數(shù)知底角的度數(shù)；BD是圓的直徑，有∠BCD=90°，直角△DBC的兩個銳角互余；圓自身的性質(zhì)有同弧所對的圓周角相等，∠D=∠BAC=42°，這樣依據(jù)圖中角之間的關(guān)系就可以求出各角的度數(shù)。

第（Ⅱ）問中需要構(gòu)造完整圖形，將問題層層轉(zhuǎn)化。DE是圓的切線，依據(jù)切線的性質(zhì)，有DE⊥OD，于是連接半徑OD，得到Rt△ODE，將求∠E的大小轉(zhuǎn)化為求出∠DOC的大小，而∠DOC=2∠DAC，問題又轉(zhuǎn)化為求出∠DAC的大小即可，問題逐步轉(zhuǎn)化，由“要知”思考到“需知”，思路自然順暢，合情合理。

由于學(xué)生的知識儲備、思考問題的方式不同，解決問題的策略和方向也就不同。教師要理解學(xué)生的所思所想，對于學(xué)生富有個性色彩的“異想天開”要加以呵護(hù)，秉承“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”數(shù)學(xué)課程的基本理念，為不同學(xué)生的多樣性發(fā)展提供空間。如（Ⅰ）中求∠DBC的度數(shù)，可連接OC，∠DBC即是等腰△OBC的底角，而頂角∠BOC=2∠BAC=84°，問題得以解決；還可連接AD，∠DBC=∠DAC，∠DAC=90°-∠BAC，問題得以解決；（Ⅱ）中求∠E的大小，連接AO、OD，由平行線的性質(zhì)得∠ACD的度數(shù)，由圓周角定理得圓心角∠AOC=2∠B和∠AOD=2∠ACD，∠COD=∠AOC-∠AOD，問題得解。這樣的題目設(shè)計采用經(jīng)典圖形，注重學(xué)生對所學(xué)基礎(chǔ)知識的理解，幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。

4.注重動靜結(jié)合，把握運(yùn)動變化的本質(zhì)：第（24）題

在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°，BO=BA，頂點A（4，0），點B在第一象限，矩形OCDE的頂點點C在y軸的正半軸上，點D在第二象限，射線DC經(jīng)過點B．

（Ⅰ）如圖①，求點B的坐標(biāo)；

（Ⅱ）將矩形OCDE沿x軸向右平移，得到矩形O′C′D′E′，點O，C，D，E的對應(yīng)點分別為O′，C′，D′，E′．設(shè)OO′=t，矩形O′C′D′E′與△OAB重疊部分的面積為S．

① 如圖②，當(dāng)點E′在x軸正半軸上，且矩形O′C′D′E′與△OAB重疊部分為四邊形時，D′E′與OB相交于點F，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；

本題以矩形的平移問題為背景，將圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)等內(nèi)容進(jìn)行了有機(jī)整合，考查了在平面直角坐標(biāo)系下用二次函數(shù)模型刻畫變量之間的關(guān)系，體現(xiàn)了模型思想。在問題的設(shè)計上，第（Ⅰ）問是求點的坐標(biāo)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，確定∠BOA=45°，由斜邊OA=4，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，求得點B的橫縱坐標(biāo)，這是最基礎(chǔ)的考查。第（Ⅱ）問①，給定矩形平移的方向和在x軸上的邊OE的長，由于矩形在平移過程中不斷變化位置，與靜態(tài)的等腰直角三角形會形成不同形狀的重合圖形，這對學(xué)生的空間想象能力是一種挑戰(zhàn)，題目選取了某一階段重疊部分為四邊形時，探索重疊面積S與平移距離t之間的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生只要明確運(yùn)動變化的本質(zhì)是關(guān)鍵線段OE′隨t的變化而變化，△OE′F的形狀始終保持不變，只是大小在改變。因此可以采取“先定形”“后定量”的策略，解決“用含t的式子表示S”的問題。而確定t的取值范圍是有一定困難的，必須用特殊的位置來考慮，這也是對學(xué)生思維縝密性的評價。

第（Ⅱ）問②，根據(jù)給定t的取值范圍，求S的取值范圍。這樣設(shè)計的目的是區(qū)分學(xué)生是否真正明確了平移的全過程，整體、全面地理解在給定的t的取值范圍內(nèi)，重合部分的圖形形狀是從四邊形到五邊形再到四邊形的變化過程。在整體分析三個不同變化階段的情況下，運(yùn)用三個不同的二次函數(shù)解析式求圖形面積的取值范圍，難點在于重合面積的最小值需要針對兩個四邊形面積的最小值進(jìn)行比較。命題堅持公平、公正的原則，求真、求實地評價學(xué)生的思維能力，這樣才能更好地甄別學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。問題由淺入深，層層遞進(jìn)，進(jìn)而利用函數(shù)模型來刻畫變化過程中變量之間的對應(yīng)關(guān)系。學(xué)生在分析矩形平移的過程中，探索發(fā)現(xiàn)矩形與等腰直角三角形重疊部分面積的變化規(guī)律，經(jīng)歷知識的“再發(fā)現(xiàn)”過程，運(yùn)用二次函數(shù)探索重疊部分面積的最值問題。在研究圖形的性質(zhì)和運(yùn)動、確定圖形位置等過程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。在用函數(shù)模型解決問題的過程中，凸顯數(shù)形結(jié)合和變化與對應(yīng)的思想。這樣的設(shè)計，將幾何與代數(shù)問題有機(jī)地結(jié)合，突出轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合、歸納、變與不變、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法的有效運(yùn)用，較好地突出了試卷的選拔功能。

（二）貼近生活，突出應(yīng)用

現(xiàn)實生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決。學(xué)生應(yīng)該有意識地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。

1.反映時代的特征，落實德育為先的理念

第（3）題關(guān)注了第七次全國人口普查，主要數(shù)據(jù)結(jié)果于2021年5月11日發(fā)布，數(shù)據(jù)顯示10年來我國人口變化的主要特點是增速放緩、平穩(wěn)增長，與我國經(jīng)濟(jì)增長趨勢吻合。試題緊跟時代發(fā)展步伐，引導(dǎo)中學(xué)生關(guān)注人口普查結(jié)果顯示的新變化、新特征、新趨勢和其中蘊(yùn)含的機(jī)遇與挑戰(zhàn)。“十四五”規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要的實現(xiàn)需要高素質(zhì)人才隊伍的支撐，作為新時代的中學(xué)生應(yīng)當(dāng)在實踐中錘煉品格、提升科學(xué)文化素質(zhì)，努力成為擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興大任的時代新人。用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)值較大的數(shù)，不僅能讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的簡約之美，而且能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識廣泛應(yīng)用于社會生產(chǎn)和日常生活的各個方面，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心和決心。

第（4）題“山河歲月”與紀(jì)念中國共產(chǎn)黨成立100周年息息相關(guān)。《山河歲月1921-2021》是一部紀(jì)念中國共產(chǎn)黨成立100周年的大型紀(jì)錄片，介紹了中國共產(chǎn)黨100年的發(fā)展歷程和取得的光輝成就。以美術(shù)字“山河歲月”為素材，充分反映了習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想，有機(jī)融入堅持和發(fā)展中國特色社會主義，培育和踐行社會主義核心價值觀的基本內(nèi)容和要求，培養(yǎng)學(xué)生良好的政治素質(zhì)、道德品質(zhì)和健全人格，使學(xué)生堅定中國特色社會主義的道路自信、理論自信、制度自信和文化自信，引導(dǎo)學(xué)生形成正確的世界觀、人生觀、價值觀，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情。本題通過美術(shù)字考查了軸對稱圖形的概念，讓學(xué)生感受軸對稱現(xiàn)象的無處不在，體會軸對稱在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)之美，進(jìn)一步理解和掌握軸對稱的性質(zhì)。

2.選取身邊的素材，重視隨機(jī)觀念的培養(yǎng)

第（15）題是日常生活中經(jīng)常遇到的概率問題，人們都在自覺或不自覺地應(yīng)用概率的思想。對于事先無法斷定其結(jié)果的事件，當(dāng)大量重復(fù)試驗（或觀察）時，事件發(fā)生的可能性就整體來說呈現(xiàn)出一定的規(guī)律；隨機(jī)事件結(jié)果發(fā)生的可能性是有大小的，從定量的角度刻畫隨機(jī)事件結(jié)果發(fā)生可能性的大小就是概率。本題由人教版教科書九年級上冊習(xí)題25.1第6題改編，以簡單的摸球試驗為背景，從袋子中隨機(jī)取出1個球，在一次試驗中，共有7種可能的結(jié)果，其中取出的球是紅球的結(jié)果有3種，即可計算出取出的球是紅球的概率。

學(xué)生在解決實際問題的過程中，體會概率與實際生活的密切聯(lián)系，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)概率知識的積極性，能夠提高應(yīng)用知識解決問題的能力。

3.注重素材挖掘，滲透數(shù)據(jù)分析觀念

第（20）題以調(diào)查小區(qū)部分家庭一年的月均用水量為背景，貼近學(xué)生的實際生活，為學(xué)生進(jìn)行節(jié)約用水宣傳提供依據(jù)。結(jié)合課題學(xué)習(xí)《從數(shù)據(jù)談節(jié)水》，從教科書中選取素材、合理開發(fā)、利用教科書中的資源成為命題的立足點。本題由人教版教科書八年級下冊第20.1.2節(jié)練習(xí)2改編。第（Ⅰ）問要求學(xué)生根據(jù)所給的統(tǒng)計圖，計算接受調(diào)查的家庭的個數(shù)和對應(yīng)的用水量數(shù)據(jù)所占的百分比；第（Ⅱ）問要求學(xué)生求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)。

本題向?qū)W生呈現(xiàn)了統(tǒng)計活動的全過程，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，用扇形圖、條形圖整理和描述數(shù)據(jù)，給學(xué)生提供了一個多元聯(lián)系表示的情境，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，讓學(xué)生了解數(shù)據(jù)分布的特征和規(guī)律，對數(shù)據(jù)的集中趨勢有一個直觀的感受，有助于學(xué)生探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果，幫助學(xué)生建立統(tǒng)計觀念，體會統(tǒng)計的思想，為后面進(jìn)行數(shù)據(jù)的分析做好鋪墊。

4.創(chuàng)設(shè)“海上救援”情境，抽象為數(shù)學(xué)問題：第（22）題

如圖，一艘貨船在燈塔C的正南方向，距離燈塔257海里的A處遇險，發(fā)出求救信號．一艘救生船位于燈塔C的南偏東40°方向上，同時位于A處的北偏東60°方向上的B處，救生船接到求救信號后，立即前往救援.求AB的長（結(jié)果取整數(shù)）．

本題考查學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化成三角形模型問題、再利用銳角三角函數(shù)解三角形的能力。本題由人教版教科書九年級下冊第28.2.2節(jié)例5改編，學(xué)生通過給出的測量數(shù)據(jù)AC、∠BCA和∠BAC的度數(shù)，合理添加輔助線，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中解直角三角形的問題，求出圖形中相應(yīng)線段的長，進(jìn)而得到貨船與救生船對應(yīng)兩點A、B間距離。

解直角三角形的應(yīng)用這類問題，要讓學(xué)生經(jīng)歷四個過程：①將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，本題抽象為三角形中已知一邊長和兩個內(nèi)角，求另一邊長；②將實際問題中涉及的數(shù)量在圖中表示出來，本題∠BAC=60°，∠BCA=40°，CA=257，求AB的長；③尋找或構(gòu)造直角三角形，本題過點B作BH⊥CA，構(gòu)造出兩個直角三角形Rt△BAH和Rt△BCH，是解直角三角形的常用方法；④建立數(shù)量關(guān)系，主要是利用直角三角形中的勾股定理、三角函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題，本題中的兩個直角三角形，求邊長的方法是設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、求得結(jié)果；⑤驗證解的實際意義。在這個過程中，學(xué)生能夠熟悉直角三角形各元素之間的關(guān)系，進(jìn)一步體會運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決實際問題所起到的作用。近似計算的處理，能夠培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，并進(jìn)而推動教師在教學(xué)中要切實落實“立德樹人”的教育宗旨，把落實學(xué)科核心素養(yǎng)作為學(xué)科教學(xué)的終極目標(biāo)。

5.設(shè)計“看圖說故事”情境，建立函數(shù)模型

第（23）題涉及“綜合與實踐”領(lǐng)域中的學(xué)生學(xué)習(xí)活動，以“看圖說故事”的形式，考查了綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，包括分析具體問題中的簡單數(shù)量關(guān)系、經(jīng)歷建立一次函數(shù)和一元一次方程模型的過程、體會建立數(shù)學(xué)模型的思想方法和實際意義。幫助學(xué)生了解其中包含的數(shù)形結(jié)合地研究問題的思想，學(xué)習(xí)如何借助圖象討論函數(shù)。

本題取材于人教版教科書八年級下冊習(xí)題19.2第14題，并融合《標(biāo)準(zhǔn)》第123頁例77“看圖說故事”的設(shè)計理念。根據(jù)給出的圖象設(shè)計了一個問題情境，使情境中出現(xiàn)的一對變量滿足圖示的函數(shù)關(guān)系。問題按照“填表—填空—解答”的方式，引導(dǎo)學(xué)生充分分析題目，逐層遞進(jìn)地理解題目要求，從而有效地反饋學(xué)生的分析能力和知識掌握程度。試題引導(dǎo)學(xué)生要多從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題。題目在考查學(xué)生提取信息能力的同時，還通過用函數(shù)表述數(shù)量關(guān)系的過程，引導(dǎo)學(xué)生體會模型的思想，建立符號意識。“變化與對應(yīng)”的思想體現(xiàn)在函數(shù)概念之中，用運(yùn)動變化的眼光，以函數(shù)為工具，把抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的函數(shù)圖象結(jié)合起來，從“數(shù)”與“形”兩方面動態(tài)分析問題，從而全面地認(rèn)識函數(shù)，是本題的突出特點。

本題源于教材，高于教材，并且具有“起點低、落點高”的特點，可以使學(xué)生充分認(rèn)識與體驗到數(shù)學(xué)知識的社會價值和實踐意義。試題注重發(fā)展學(xué)生的模型思想，幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。

（三）聚焦素養(yǎng)，立德樹人

試題難易適中，坡度平緩，拾級而上，循序漸進(jìn)，為學(xué)生營造了輕松愉悅的考試氛圍，有利于學(xué)生建立自信，施展才能，發(fā)揮水平。

為有效區(qū)分學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和水平，部分題目設(shè)置了多種解法。對于較難的題目，適當(dāng)設(shè)計了梯度，做好鋪墊，引導(dǎo)思路，啟迪方法，幫助學(xué)生樹立戰(zhàn)勝困難的意志和信心。

1.充分發(fā)揮網(wǎng)格的工具性作用，發(fā)展創(chuàng)新意識

網(wǎng)格作圖題立意新穎且內(nèi)涵豐富，解答具有挑戰(zhàn)性，學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生對此類問題持有濃厚興趣。試題利用正方形的性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例以及平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等基本圖形變換，通過對基礎(chǔ)作圖的多種組合來完成題目所求作的圖形，因此，網(wǎng)格具有作圖工具的作用：第（18）題

如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A，C均落在格點上，點B在網(wǎng)格線上．

（Ⅰ）線段AC的長等于_______________；

（Ⅱ）以AB為直徑的半圓的圓心為O，在線段AB上有一點P，滿足AP=AC．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點P，并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明）___________________．

本題第（Ⅰ）問取材于人教版教科書八年級下冊復(fù)習(xí)題17第9題，運(yùn)用勾股定理易求得AC的長；第（Ⅱ）問“以AB為直徑的半圓的圓心為O，在線段AB上有一點P，滿足AP=AC．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點P，并簡要說明點P的位置是如何找到的.”學(xué)生可以思考做出∠APC=∠ACP，但點P的位置還沒有確定下來，無法做出∠APC=∠ACP。當(dāng)思維產(chǎn)生沖突時，學(xué)生必然要觀察圖形和已知條件，并產(chǎn)生聯(lián)想，將已知和未知建立聯(lián)系，這是常規(guī)的分析問題的方法。如果在圖中能發(fā)現(xiàn)隱性條件“中位線OD”以及與它有關(guān)的點、線等要素之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再聯(lián)想到“構(gòu)造等腰三角形”，利用等腰三角形的軸對稱性即可解決問題。

畫圖過程需要的關(guān)鍵步驟：①畫出兩個關(guān)鍵點。由平行線分線段成比例定理可知，CB邊與網(wǎng)格線的交點D即是CB的中點，OD為三角形的中位線，可知OD∥AC，OD的延長線與圓相交于點E，AC、BE的延長線相交于點F，則點E為BF的中點。點D、E成為本題的關(guān)鍵點；②應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì)。圓中的弧、弦、直徑、圓心角、圓周角有重要的性質(zhì)，本題中直徑AB所對的圓周角是直角，連接AE得∠AEB=90°，這樣點E具有雙重性質(zhì)，AE垂直平分BF，可得△ABF為等腰三角形。③體現(xiàn)等腰三角形的對稱性。底邊上的高所在直線是等腰三角形的對稱軸，若兩條相交線交于對稱軸上的一點，容易出現(xiàn)對稱軸兩旁的三角形全等。連接AE交BC于點G，連接FG并延長，與AB相交于點P，有△FGC?△BGP，得FC=BP，由線段的差可知AP=AC。這是一種解決問題的方法，關(guān)鍵在于學(xué)生是否真正明確畫圖的道理，這是《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，也是評價的目標(biāo)之一。

原創(chuàng)的試題構(gòu)思精巧，將△ABC和半圓放置在網(wǎng)格中，AB為兩個圖形建立聯(lián)系，呈現(xiàn)給學(xué)生新穎的問題情境，學(xué)生可以利用所給半圓，借助網(wǎng)格，設(shè)計不同的方案，實現(xiàn)畫圖。無論哪種畫法，都要做出合理的解釋，能夠“自圓其說”，因此，本題需要學(xué)生綜合運(yùn)用圖形的性質(zhì)進(jìn)行推理與證明，挑戰(zhàn)學(xué)生分析問題的高階思維能力。題目設(shè)計不僅重視學(xué)生已有的經(jīng)驗，也激發(fā)學(xué)生獨立思考，學(xué)生要體驗如何發(fā)現(xiàn)和提出問題，如何分析問題，如何設(shè)計解決問題的方案，這是“綜合與實踐”領(lǐng)域評價的目標(biāo)——獨立思考、學(xué)會思考，注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識和動手實踐的能力，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索和創(chuàng)新的精神。

2.函數(shù)與幾何模型的融合，凸顯數(shù)學(xué)育人價值：第（25）題

已 知 拋 物 線y=ax2-2ax+c（a，c為 常 數(shù)，a≠0）經(jīng)過點C（0，-1）頂點為D．

（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求該拋物線的頂點坐標(biāo)；

（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，點E（0，1+a），若DE=2 2DC，求該拋物線的解析式；

（Ⅲ）當(dāng)a＜-1時，點d（0，1-a），過點C作直線l平行于x軸，M（m，0）是x軸上的動點，N（m+3，-1）是直線l上的動點．當(dāng)a為何值時，F(xiàn)M+DN的最小值為并求此時點M，N的坐標(biāo)．

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理，一元二次方程，借助幾何直觀解決最值問題。

第（Ⅰ）問取材于人教版教科書九年級上冊復(fù)習(xí)題22第4題（1），用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，并用配方法或公式法得到拋物線的頂點坐標(biāo)；第（Ⅱ）問通過已知點坐標(biāo)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理建立一元二次方程，求得常量a的值，確定拋物線解析式；第（Ⅲ）問依據(jù)八年級上冊第13.4課題學(xué)習(xí)“最短路徑問題”，參考了《標(biāo)準(zhǔn)》第126頁“例79利用幾何圖形研究代數(shù)問題”，考查利用幾何圖形中的軸對稱、平移等變化，把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而做出最短路徑的選擇，求得此時a的值，最終得到符合題意的點的坐標(biāo)。此題源于“造橋選址”問題，是利用平移的性質(zhì)求三條線段和的最小值問題的模型。通過平移變換，把問題轉(zhuǎn)化為可以利用“兩點之間，線段最短”解決的問題。

試題與教科書完美對接，對教科書進(jìn)行改編創(chuàng)新，變“橋與河垂直”為“MN與兩線斜交”，變“A和B兩地在河的兩岸”為“F，D兩點在x軸同側(cè)”，考查學(xué)生知識技能的遷移能力，引領(lǐng)師生認(rèn)真研究和深入挖掘教科書中例題、習(xí)題的深層次價值，深刻領(lǐng)悟以知識內(nèi)容為載體所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。試題答案將點D向左平移3個單位長度，向上平移1個單位長度得點D′，就是考慮到作同樣的變換點N移動到點M，也就是相當(dāng)于平移線段DN得到D′M，把相距遙遠(yuǎn)的兩條線段FM和DN“接”在一起。接下來只要做出兩點D′、F其中任意一點關(guān)于x軸的對稱點，轉(zhuǎn)化為能用“造橋選址”模型解決的問題。

平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)都是全等變換，變換前后的兩個圖形全等，只是改變了圖形的位置，不改變其大小。學(xué)生可選擇不同的手段，也可不拘泥于變換的先后順序，既可以把FM“接”到DN上，也可以把DN“接”到FM上，其問題實質(zhì)是相同的。遵循全等變換的宗旨，以“變換線段的位置，構(gòu)建基本幾何模型”為問題解決的基本策略，將“將軍飲馬”“三角形三邊關(guān)系”“平行四邊形對邊相等”“直角三角形勾股定理”等多種幾何模型融合在一起，利用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，化同側(cè)為異側(cè)，實現(xiàn)了“折”轉(zhuǎn)“直”，將兩條線段首尾相連地“接”到一條線段上，使問題轉(zhuǎn)化為能夠用基本模型解決的問題。第（Ⅲ）問盡管具體做法有多種，但圖形變換是“腳手架”或“橋梁”，構(gòu)建模型、轉(zhuǎn)化為基本型才是根本，正所謂“萬變不離其宗”“殊途同歸”。

將一個學(xué)生熟悉的背景素材改編整合成具有新穎創(chuàng)意的壓軸題，對教學(xué)具有很好的導(dǎo)向作用。試題致力于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和科學(xué)探究精神，是數(shù)學(xué)學(xué)科育人價值的體現(xiàn)。

二、課堂教學(xué)建議

（一）研究課程標(biāo)準(zhǔn)，合理使用教材

試卷立足《標(biāo)準(zhǔn)》，回歸教材，許多試題素材的選取來自教材。《標(biāo)準(zhǔn)》不僅是指導(dǎo)教師開展教學(xué)工作的依據(jù)，更是階段性評價、學(xué)業(yè)水平考試的重要依據(jù)。教師在教學(xué)過程中要認(rèn)真領(lǐng)會《標(biāo)準(zhǔn)》，將《標(biāo)準(zhǔn)》的有關(guān)教學(xué)建議、要求細(xì)化到每一節(jié)課的每一個教學(xué)內(nèi)容中，制訂好符合學(xué)科教學(xué)特點、適宜學(xué)生發(fā)展的教學(xué)計劃。教材是《標(biāo)準(zhǔn)》的具體體現(xiàn)，是實現(xiàn)課程目標(biāo)、實施教學(xué)的資源。

教師在平時的教學(xué)中應(yīng)做到“用教材教”，而不是“教教材”。要讓學(xué)生在深刻理解教材內(nèi)容的同時，有效地形成知識網(wǎng)絡(luò)和數(shù)學(xué)思想方法體系。要重新審視、深入挖掘概念、性質(zhì)、法則、例題習(xí)題背后的教學(xué)價值，讓學(xué)生在獲取知識的過程中發(fā)展思維能力，在例題、習(xí)題的練習(xí)過程中掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法。建議在教學(xué)中重視《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，充分挖掘教材中數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，不盲目搞題海戰(zhàn)術(shù)，切實減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)。

（二）注重知識生成，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)

試卷從數(shù)學(xué)問題研究的過程與方法的角度，全面考查學(xué)生的思維過程，充分體現(xiàn)能力立意。數(shù)學(xué)教學(xué)要立足于最基本的、起始的知識，講清楚概念的內(nèi)涵外延、定義的關(guān)鍵點、法則的合理性、定理的推導(dǎo)證明，這些往往是知識的發(fā)生發(fā)展過程，也恰好是數(shù)學(xué)能力的形成過程。

教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出有效的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、抽象概括，揭示知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生整體把握數(shù)學(xué)知識的脈絡(luò)，思考知識的“生長點”與“延伸點”，助力學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

（三）設(shè)計有效活動，激發(fā)學(xué)生潛能

試卷以實際生活情境或數(shù)學(xué)情境為背景，考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析與解決問題的能力。教師作為學(xué)習(xí)過程的組織者、領(lǐng)導(dǎo)者、合作者，應(yīng)當(dāng)精心設(shè)計有意義的、多樣的有效數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生的口、手、大腦真正活動起來，在活動中提升對新事物的認(rèn)識，發(fā)展思維能力，獲得成功的體驗和精神享受，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和潛能。要創(chuàng)設(shè)問題情境，適時設(shè)置回答、練習(xí)、觀察、猜想、比較、歸納、探究、思考和交流等數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)特點、猜想規(guī)律、歸納結(jié)論、抽象本質(zhì)、分享成果。要通過數(shù)學(xué)活動激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，把學(xué)生的思考引向深入，抓住數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

（四）發(fā)揮評價功能，培育核心素養(yǎng)

試卷關(guān)注時代發(fā)展、科技創(chuàng)新、育人導(dǎo)向。廣大教師要把落實情感態(tài)度的目標(biāo)作為教學(xué)的重要目標(biāo)之一，以培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為基準(zhǔn)，充分挖掘教學(xué)內(nèi)容的育人價值，合理利用評價結(jié)果，發(fā)揮評價的激勵作用，幫助學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上更加堅定學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，提升學(xué)生在知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度等方面的全面發(fā)展。評價是教學(xué)的延續(xù)，要發(fā)揮好評價的導(dǎo)向性功能，讓科學(xué)的評價引導(dǎo)教學(xué)工作重知識聯(lián)系、重數(shù)學(xué)思想、重思維發(fā)展、重素養(yǎng)形成，能夠把學(xué)生的學(xué)習(xí)、教師的教學(xué)引向正軌。在數(shù)學(xué)教學(xué)與評價中，科學(xué)有效的評價要關(guān)注數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)結(jié)論獲得的思維方式，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)涵的思想性和教育價值，這樣才能使核心素養(yǎng)的培育和學(xué)科的育人價值落到實處[4]。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)與評價中，教師應(yīng)以《標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)，關(guān)注天津市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試評價的試題特點、育人導(dǎo)向，關(guān)注課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的全過程，教會學(xué)生思考問題的方法，積累經(jīng)驗，感悟思想，培育素養(yǎng)，為學(xué)生的終身發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。