單邊Lipschitz非線性多智能體系統一致性追蹤控制

羅 哲, 權婉珍,*, 張樸睿, 楊小岡

(1. 火箭軍工程大學導彈工程學院, 陜西 西安 710025; 2. 國防科技大學航天科學與工程學院, 湖南 長沙 410073)

0 引 言

近年來,多智能體系統協同控制已經成為許多學者關注的熱點,被應用到多無人機編隊控制、傳感器網絡同步、多機器人協作、多導彈協同攻擊、分布式電網控制、多衛星組網技術等領域。一致性控制是各個智能體根據鄰居狀態信息設計的一種協作策略,在環境變化的影響下各個智能體仍然能利用這種策略使共同關注的狀態信息達到一致。

目前,多智能體系統的一致性問題已經被廣泛研究。文獻[15]基于一致性理論,提出了一種二階線性多智能體系統時變性能編隊控制協議,適用于實際中無人機電池和燃料等資源有限的情況,驗證了所設計的控制協議不僅能夠形成期望的編隊,同時系統所消耗的能量小于給定的系統總能量。文獻[16-17]考慮到多智能體系統中部分狀態不可測,提出了多智能體系統的輸出一致性控制。文獻[18-19]研究連續時間和離散時間的混合多智能體系統一致性問題,利用博弈論的方法對兩組智能體建模,獲得了系統一致的充分必要條件。文獻[20]設計了一種改進的控制協議,可抑制外界擾動并實現了多智能體系統的一致性。上述研究都是針對線性系統,線性系統比較簡單,易于分析,但由于實際中幾乎所有系統是非線性的,很難用線性去刻畫出實際物理系統的非線性本質。

為了解決以上線性系統所帶來的缺陷,Lipschitz非線性系統的一致性問題引起了學者的廣泛關注和深入研究。文獻[21-22]研究了基于狀態觀測器的Lipschitz非線性系統,巧妙地利用分離原理,獲得了系統穩定的充要條件。文獻[23]針對二階Lipschitz非線性無領導者有限時間一致性問題,提出了有限時間一致性算法,使多智能體在有限的時間內達到平衡狀態。文獻[24-25]以Lipschitz非線性多智能體系統為研究對象,考慮了智能體之間通信鏈路中斷問題,提出了切換拓撲條件下的一致性追蹤控制器,獲得了Lipschitz非線性系統一致性跟蹤的充分條件。文獻[26]針對任意有向網絡結構,設計了帶有動態增益的一致協議,實現了在馬爾可夫切換拓撲下高階非線性多智能體系統的一致性控制。以上文獻主要是Lipschitz非線性系統為研究對象,分別從Lipschitz非線性多智能體之間的通信拓撲結構、收斂時間、狀態不可測等方面進行一致性分析和設計,并取得了一定的研究結果,較之前線性系統具有更強的工程應用價值(如單連桿柔性機械臂系統、航天器姿態控制系統、蔡氏電路系統)。但通常情況下,Lipschitz非線性多智能體系統的Lipschitz常數必須為正數,從而限制了非線性函數的增長速率,這使得Lipschitz條件常數具有局限性,將會給系統帶來保守性。

針對上述Lipschitz條件常數所帶來的局限性問題,本文研究了單邊Lipschitz非線性多智能體系統一致追蹤控制。相比較以上的線性和Lipschitz非線性系統,本文研究的單邊Lipschitz非線性多智能體系統主要有以下特點:首先,單邊Lipschitz非線性多智能體系統的單邊Lipschitz常數可以為負數、零和正數,克服了Lipschitz常數的局限性,降低了系統的保守性。其次,解決了Lipschitz常數因系數增大而失效的問題。因此,本文所提出的單邊Lipschitz非線性系統具有更強的實際工程應用意義,有待進一步的深入研究。

1 預備知識及問題描述

1.1 預備知識:圖論

=((),())表示多智能體構成的一個有向通信拓撲結構圖,其中非空集()={,,…,}表示圖的節點集,節點表示智能體,()?()×()表示邊集,每條邊由一對節點(,)來表示,表示智能體與智能體之間的通信關系,其中代表父節點,代表子節點。={:(,)∈()}表示節點的鄰居節點的集合。圖的拉普拉斯矩陣定義為=()-(),其中非空集()=[]∈×表示鄰接矩陣,表示邊的權重,≥0且>0當且僅當(,)∈(),()=diag{,,…,}表示入度矩陣。

1.2 問題描述

假設+1個非線性智能體具有相同的結構,并構成了一個單邊Lipschitz非線性領導-跟隨者多智能體系統,其動力學模型如下:

(1)

式中:()和()分別代表領導者和跟隨者的狀態;()代表其對應的控制輸入。單邊Lipschitz非線性函數()∶×[0,+∞)→是連續可微的,且滿足單邊Lipschitz條件和二次內部有界條件如下:

(2)

(3)

式中:表示單邊Lipschitz常數;和是已知的常數。

本文研究的單邊Lipschitz條件優勢在于其常數,和可以為正數、0、負數,而Lipschitz條件常數>0。即單邊Lipschitz條件和二次內部有界條件代表了更廣泛的一類非線性函數,而傳統Lipschitz條件不具備所有非線性動力學特性。在這種情況下,研究的單邊Lipschitz非線性多智能體系統具有更廣泛的應用價值。此外,基于Lipschitz條件的非線性控制方法對Lipschitz常數具有很強的依賴性,通常要求其較小,當Lipschitz常數很大時,很難找到一個可行的解。因此,基于單邊Lipschitz條件和二次內有界的單邊Lipschitz非線性多智能體系統的研究具有十分重要的意義。

為了解決單邊Lipschitz非線性多智能體追蹤問題,考慮控制協議:

(4)

式中:=1,2,…,;是有待設計的控制增益矩陣。單邊Lipschitz非線性多智能體系統一致性追蹤控制的定義為:如果存在一個控制增益矩陣使得lim→∞(()-())=0(=1,2,…,)成立,那么通過設計控制增益矩陣,單邊Lipschitz非線性領導-跟隨者多智能體系統式(1)在控制協議式(4)的作用下可實現一致性追蹤。

本文主要研究如何設計出合適的增益矩陣使單邊Lipschitz非線性領導-跟隨者多智能體系統實現一致性追蹤控制。

2 控制協議設計

本節給出單邊Lipschitz非線性領導-跟隨者多智能體系統一致性追蹤控制設計的充分條件。

首先,根據控制協議式(4),可得

0(()-())+(())

(5)

令狀態差()=()-(),在控制協議式(4)和式(5)的作用下,單邊Lipschitz非線性領導-跟隨者多智能體系統可轉化為誤差系統:

0(())+(())-(())

(6)

對于領導-跟隨者結構作用拓撲為

=[,,…,1]

=diag{,,…,1}

式中:表示領導者與跟隨者的通信拓撲;表示跟隨者之間的通信拓撲。通信拓撲包含生成樹且跟隨者之間的拓撲是無向的,則矩陣+是對稱的。因此,存在一個正交矩陣滿足條件(+)=diag{,,…,},且拉普拉斯矩陣的特征值>0(=1,2,…,)。

對于任意給定的系統參數>0,>0,存在矩陣=使得

成立。其中,*表示對稱矩陣。那么通過將控制增益矩陣設計為=,可保證單邊Lipschitz非線性領導-跟隨者多智能體系統式(1)在控制協議式(4)的作用下實現了一致性追蹤控制,其中:

(7)

式中:=1,2,…,;=>0,可以看出()>0。將()沿著誤差系統式(6)的解對時間求導可得

(8)

根據單邊Lipschitz非線性條件式(3),下面的不等式成立:

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中:

=++2+2μ-2

對式(14)左乘右乘diag{,},等價變化可得

(15)

式中:

=++(2+2μ)-2

證畢

定理給出了單邊Lipschitz非線性系統中控制協議式(4)的設計判據。下面考慮在控制增益矩陣給定的情況下,給出了單邊多智能體系統實現一致性的分析判據。

對于任意給定的控制增益矩陣,存在一個對稱正定矩陣=>0使得

成立,那么單邊Lipschitz非線性領導-跟隨者多智能體系統式(1)在控制協議式(4)的作用下實現了一致性追蹤控制。其中，=++2+2μ-2。

3 仿真分析

本節通過一個數值仿真實例對單邊Lipschitz非線性系統的一致性追蹤控制算法的有效性進行仿真驗證。

單邊Lipschitz非線性領導-跟隨者多智能體系統由1個領導者和6個跟隨者構成,其中每個智能體的動力學方程由式(1)表示,系統矩陣為

單邊Lipschitz非線性函數(())(=0,1,…,)為

式中:函數()滿足條件單邊Lipschitz條件式(2)和二次內部有界條件式(3)。圖1表示領導跟隨者的通信拓撲結構圖,其中拓撲圖的權重都是0-1的。

圖1 通信拓撲結構圖Fig.1 Communication topology

每個智能體的初始狀態如下:

(0)=[02,03,15,06]
(0)=[12,08,-13,04]
(0)=[-15,05,12,09]
(0)=[-11,09,-06,03]
(0)=[-15,12,-12,10]
(0)=[-12,13,10,-08]
(0)=[13,02,11,-12]

選擇參數=01,=-5,=015,=02和=5。根據LMI工具箱的FEASP求解器求出:

則控制增益:

==[3612 2,0949 1,0390 6,3756 0]

圖2～圖5表示了狀態量的運動軌跡,其中紅色圓圈表示領導者的運動軌跡曲線,其他不同顏色的曲線表示不同跟隨者的狀態運動軌跡。圖2～圖5分別表示狀態量1(),2(),3()和4()(=0,1,…,6)的運動軌跡。從圖2～圖5的仿真結果可以看出,最后跟隨者的狀態與領導者的狀態達到一致,因此可以得出在控制協議式(4)的作用下,單邊Lipschitz非線性領導-跟隨多智能體系統式(1)實現了一致性追蹤。

圖2 狀態xi1(t)的軌跡曲線Fig.2 Trajectories of the state xi1(t)

圖3 狀態xi2(t)的軌跡曲線Fig.3 Trajectories of the state xi2(t)

圖4 狀態xi3(t)的軌跡曲線Fig.4 Trajectories of the state xi3(t)

圖5 狀態xi4(t)的軌跡曲線Fig.5 Trajectories of the state xi4(t)

4 結 論

本文研究了單邊Lipschitz非線性多智能體系統的追蹤控制問題。首先,提出了分布式一致性控制協議。然后,利用正交變換,將一致性協議的設計問題轉化為系統穩定性問題。同時,給出了單邊Lipschitz非線性多智能體系統追蹤控制的充分條件。理論結果表明,所設計的控制協議能夠實現領導者和跟隨者之間狀態一致,即實現了一致追蹤控制。最后,通過仿真算例驗證了本文所提出方法的正確性。在未來工作中,將考慮一般非線性系統的一致追蹤問題。