基于平面波展開法的聲學黑洞梁彎曲波帶隙研究

李敬， 朱翔,3， 李天勻,3， 萬志威

(1.華中科技大學 船舶與海洋工程學院，湖北 武漢 430074； 2.船舶和海洋水動力湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430074； 3.高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

聲學黑洞(acoustic black hole,ABH)作為一種新型的高效波被動控制結構，主要通過冪律裁剪截面的形式抑制結構彎曲波的傳播，進而實現減振降噪[1-3]。目前對于單個黑洞效應的研究相對集中, Georgiev等[4]在橢圓板焦點處設置聲學黑洞，驗證了聲學黑洞抑制橢圓板振動的有效性。Denis等[5]研究了尖端帶聲學黑洞梁的反射系數測量方法，實驗結果表明聲學黑洞能有效地吸收在波束中傳播的彎曲波。鄧杰等[6]研究了單個聲學黑洞梁振動能量分布問題。曾鵬云等[7]研究了一維錐形桿黑洞梁能量聚集效應，表面其尖端聚能效果優于楔形梁結構。何璞等[8]研究了盒式聲學黑洞梁振動特性，實現了結構全頻帶的減振效果。

人工周期性結構形成聲子晶體能產生聲波帶隙，是近年來結構減振降噪的另一思路。有部分學者研究了帶聲學黑洞的周期性結構，Zhu等[9]對內嵌周期性聲學黑洞的薄板的頻散特性進行了研究，發現在部分頻帶出現禁帶特性，為高薄壁結構的減振降噪提供思路。劉波濤等[10]通過實驗研究了嵌入陣列聲學黑洞的薄板的隔聲性能，在低頻帶得到了較好的寬頻隔聲性能，并給出了一種工程中實用的聲學黑洞周期結構。Ganti等[11]探索了基于聲學黑洞元素的單位單元設計拓撲彈性波導的可能性，表明聲學黑洞單元的使用能夠顯著簡化結構設計并對結構頻散特性進行微調，而且更容易產生低頻帶隙。但這方面研究仍相當匱乏，比如材料特性與聲學黑洞周期性的結合。因此本文構建出一種以聲學黑洞為原胞的周期性梁，結合材料屬性變化，分析結構彎曲波帶隙特性。

目前，聲子晶體帶隙計算方法主要有平面波展開法、傳遞矩陣法以及有限元法。平面波展開法是通過以平面波的形式將各種參數在倒格矢空間展開為傅里葉級數，將級數代入波動方程得到特征方程，適用范圍廣。目前對于聲子晶體梁的帶隙研究大多針對恒定截面梁[12-14]，部分學者利用不同的方法研究了變截面梁，付志強等[15]采用近似的集中質量法對彈性縱波在一維指數形截面有限周期聲子晶體中的傳播進行了研究,何東澤等[16]利用回傳射線矩陣法研究了線性均勻變截面聲子晶體梁的帶隙特性。平面波展開法處理聲子晶體問題具有較好的實用性，但利用平面波展開法計算類似聲學黑洞的連續變截面梁的彎曲波帶隙研究尚未見到，因此本文基于平面波展開法，推導了周期聲學黑洞梁基本結構參數的平面波展開形式，給出平面波展開法計算彎曲波帶隙的特征方程，為后續周期聲學黑洞結構彎曲波帶隙研究提供一定的理論基礎。

雖然傳遞矩陣法可得到精確解，但利用傳遞矩陣法解決此類連續變截面梁問題時，需將原胞分成很多小段，相較于平面波展開法，其計算量與計算時間急劇增加，效率較低，因此僅利用傳遞矩陣法驗證計算結果的準確性。

1 周期聲學黑洞結構模型與原理

周期聲學黑洞梁結構如圖1、2所示，圖1是單個原胞結構，即單個黑洞結構，圖2是周期黑洞梁結構，由原胞周期延拓形成。

圖1 周期聲學黑洞梁原胞

圖2 周期聲學黑洞梁

聲學黑洞截面按二次拋物線規律變化：

h(x)=εx2+h0, -a/2≤x≤a/2

(1)

變截面的歐拉梁的自由彎曲振動方程[17]為:

(2)

如圖1所示，原胞的中心取為坐標原點，聲學式中ρ(x)、S(x)、E(x)、I(x)分別為梁的密度、截面面積、彈性模量和截面慣性矩，均是關于x的位置坐標函數，將其稱為結構參數m(x)、y(x,t)為結構彎曲振動位移，并令M(x)=ρ(x)S(x),D(x)=E(x)I(x)表示結構的質量與剛度。

對于周期聲學黑洞梁，彎曲波滿足Bloch定理，黑洞梁的彎曲振動位移y(x,t)可表示為：

y(x,t)=uk(x)exp[i(kx-ωt)]

(3)

式中：ω是圓頻率；k是限制在第一簡約布里淵區的波矢；uk(x)是與結構參數具有同樣周期的函數，可以通過傅里葉級數展開：

(4)

式中UG1是一維倒格矢G1對應的Fourier系數。

結構參數m(x)具有周期性，也可以展開為傅里葉級數：

(5)

式中MG2是一維倒格矢G2對應的Fourier系數，滿足：

(6)

1.1 雙材料周期聲學黑洞梁

記圖1聲學黑洞原胞左半段為材料A，右半段為材料B，將結構參數M(x)、D(x)代入式(5)、(6)展開為級數形式,并利用倒格矢的性質:Ga=2nπ,n為整數進行化簡得：

(7)

(8)

H、C、P、F均為關于G0、ε、h0的表達式。

將式(3)、(4)、(7)、(8)代入式(2)，得：

exp[i(kx+G2x+G1x)]

(9)

利用復指數函數的正交性，在等式左右兩邊同時乘以e-i(G3x+kx)后在一個原胞上對x進行積分，化簡得到特征方程：

(10)

式中G3=G1+G2。

G3與G1取遍整個倒格矢空間，式(10)是無限矩陣的特征值問題。為便于分析，實際上選用倒格矢空間的有限個倒格矢代替整個倒格矢空間。對稱選取半波軸上n個不過原點的倒格矢進行計算，則總倒格矢有2n+1個，平面波數量為N=2n+1個，則將式(10)轉換成N階的廣義特征值問題：

ω2LU=TU

(11)

對于圖2所示的周期聲學黑洞梁，L、T均為實對稱矩陣，而且L為實對稱正定矩陣。利用實對稱正定矩陣的性質，則由式(11)求出的廣義特征值ω2一定為實數，即方程必定有解。

1.2 純周期聲學黑洞梁

當結構中原胞材料相同時，結構參數中的密度ρ(x)與彈性模量E(x)為常數，即：ρA=ρB=ρ，EA=EB=E。將此種聲學黑洞原胞周期延拓形成的周期梁稱之為純周期聲學黑洞梁。此時需對截面慣性矩I(x)與截面面積函數S(x)展開成傅里葉級數，式(7)、(8)中帶ρA-ρB,EA-EB的項均為0。并將E、ρ當公因式提出來。而截面慣性矩I(x)與截面面積S(x)的傅里葉展開級數為：

(12)

(13)

將式(3)、(4)、(12)、(13)代入式(2)，并利用復指數函數的正交性，化簡得到特征方程：

(14)

2 收斂性分析

對于純周期聲學黑洞梁，分別取4種材料計算各自的帶隙特性。4種材料為環氧樹脂、有機玻璃、鋁和鋼。材料屬性見表1。對于2種材料構成的聲學黑洞梁，選取環氧樹脂-鋁、環氧樹脂-鋼、環氧樹脂-有機玻璃、鋁-鋼周期聲學黑洞梁4種結構進行分析。

表1 材料屬性

黑洞參數為a=0.2 m、h0=1.5 mm、h1=15 mm。截面高度度h(x)隨長度x(-R≤x≤R)變化表達式：

1.35x2+0.001 5 m

(15)

對于平面波展開法，平面波數量N的選取影響計算結果的收斂性與精確性，因此首先改變平面波數量計算結構的固有頻率以進行收斂性分析。對于本文中的周期黑洞梁，第一布里淵區的中心(k=0)和端點(k=±π/a)的位置是結構的高對稱點，是容易使得結構發散的點。因此選取這2個位置進行收斂性分析。

2.1 純周期聲學黑洞梁

對于純周期聲學黑洞梁，結構材料不變。因此僅需選取某種材料構成的梁進行收斂性分析。這里選取環氧樹脂梁，對其高對稱點處的第3、6階固有頻率進行分析。參數n取值范圍為5～60,步長為1，即平面波數量變化范圍為：11～121。計算結果如圖3所示。

圖3 純周期黑洞梁平面波展開法收斂性分析

當n變化時，端點處和中心的固有頻率變化百分比誤差小于1%時，認為結果收斂，即選取波數m時結果收斂滿足的條件：

(16)

式中fm表示n=m時結構的頻率。

從圖3中可以看出，利用平面波展開法計算純聲學黑洞梁彎曲波帶隙特性時，隨著n的增加，固有頻率收斂較快。利用式16判斷收斂性，當n≥9時，即平面波數量N≥19時可認為結果收斂，從圖中也可看出此時結果收斂。

進一步分析可知，收斂較快是由于聲學黑洞是連續的冪律變截面結構，且結構沒有材料的變化，即結構中沒有出現阻抗失配嚴重的區域，這就導致材料參數通過平面波展開為級數形式時，級數收斂較快，從而選擇較少的平面波數量就能得出很穩定的結果。

2.2 雙材料周期聲學黑洞梁

對于2種材料構成的周期聲學黑洞梁，由于組成黑洞結構的2種材料不同，需要對這4種結構單獨進行收斂性分析，因此改變平面波數對4種周期黑洞梁的高對稱點處的第6階固有頻率進行分析。結果見圖4。

圖4 雙材料周期黑洞梁平面波展開法收斂性分析

利用式16判斷收斂性，環氧樹脂-鋼質黑洞梁收斂較慢，n≥103時中心點處收斂，n≥61時端點處完全收斂。而環氧樹脂-有機玻璃、鋁-鋼與環氧樹脂-鋁聲學黑洞梁收斂較快，分別在n≥19、n≥35、n≥43時收斂。

從收斂性結果得知，當材料差異較小時，利用較少的平面波就能使結果收斂，而且中心點處收斂較兩端慢。這是因為采用平面波展開法計算時，對材料參數進行級數展開，當材料差異較大時，不連續的參數使得傅里葉級數在材料分界面處收斂較慢，甚至可能發散。因此相較于同種材料的聲學黑洞梁，2種材料組成的聲學黑洞梁收斂需要更多的平面波數，材料差異越明顯，需要的平面波數越多。

3 結果分析

根據收斂性分析結果，將波矢k限制在第一布里淵區[-π/a,π/a]內，改變波矢k，為了結果的精確性，計算時選用的波數稍大于通過收斂性計算得到的臨界波數，故選取n=20對純周期聲學黑洞梁進行計算；分別采用半波軸數n=20、n=40、n=50、n=110對環氧樹脂-有機玻璃、鋁-鋼、環氧樹脂-鋁、環氧樹脂-鋼黑洞梁的前6階帶隙(即前7階固有頻率)進行計算。并且為了更好地分析帶隙特性，引入歸一化寬度D[18]：

(17)

式中f1、f2為帶隙截止與起始頻率。

3.1 純周期聲學黑洞梁

首先將利用平面波展開法計算的4種純聲學黑洞梁帶隙與傳遞矩陣法進行對比。如圖5所示，并且將2種方法計算的純環氧樹脂周期黑洞梁的具體帶隙區間列入表2，從圖、表可以看出，2種方法計算得出的帶隙吻合良好。帶隙區間、帶隙寬度與歸一化寬度基本一致。證明了本文利用平面波展開法計算純周期聲學黑洞梁帶隙的可行性與準確性。

圖5 純周期聲學黑洞梁彎曲波帶隙

表2 傳遞矩陣法與平面波展開法帶隙區間對比

將其余3種純周期聲學黑洞梁的具體帶隙區間及帶寬列入表3。結合圖表可以看出，有機玻璃周期黑洞梁帶隙區間最低，環氧樹脂黑洞梁次之，鋁與鋼質聲學黑洞梁帶隙區間頻率較高。

表3 不同純周期黑洞梁帶隙特性

另外，四者對應的帶隙曲線變化規律一致，歸一化寬度完全吻合，說明材料不同的同種結構帶隙區間雖然不一致，但是可以統一用歸一化寬度D去描述同種結構型式的帶隙變化特性，而且前幾階帶隙的歸一化寬度較大，隨著帶隙階數增加，歸一化寬度逐漸變小，到第6階帶隙時已經衰減到很小的值，說明進行結構設計時盡量把目標頻帶設計到較低階數的帶隙區間內能起到更好的效果。

3.2 雙材料周期聲學黑洞梁

平面波展開法計算的環氧樹脂-有機玻璃、鋁-鋼、環氧樹脂-鋁、環氧樹脂-鋼黑洞梁的前6階帶隙如圖6，并將其與傳遞矩陣法計算的結果進行比較。從圖中可以看出，平面波展開法計算的環氧樹脂-有機玻璃、鋁-鋼周期聲學黑洞梁與傳遞矩陣法完全一致，曲線完全重合；平面波計算的環氧樹脂-鋁、環氧樹脂-鋼黑洞梁與傳遞矩陣法基本吻合，計算的帶隙曲線有著細微的差別，出現細微差異的原因是當材料差異較大時，即使平面波數量足夠多，分解面處的材料參數展開的傅里葉級數并沒有一致收斂而產生Gibbs效應[19]。但足以證明雙材料周期黑洞梁帶隙特性的平面波展開計算方法的正確性。

圖6 雙材料黑洞梁彎曲波帶隙曲線

為了進一步分析材料差異對結構帶隙的影響，將純環氧樹脂、環氧樹脂-有機玻璃、環氧樹脂-鋁以及環氧樹脂-鋼黑洞梁的第2、5階彎曲波帶隙變化繪制在圖7中。從圖7中可以看出，環氧樹脂與有機玻璃材料屬性差異較小，因此環氧樹脂-有機玻璃聲學黑洞梁與環氧樹脂梁彎曲波帶隙差異較小，但由于有機玻璃縱波波速較小，環氧樹脂-有機玻璃梁帶隙起始頻率與截止頻率都較低。環氧樹脂-鋼黑洞梁的帶隙起止頻率較高，帶隙寬度最寬，環氧樹脂-鋁黑洞梁次之。說明隨著組成原胞的2種材料特性差異越大，帶隙區間越寬，可以通過調整材料的阻抗差異獲得寬頻帶隙。

圖7 不同黑洞梁帶隙特性變化曲線

4 結論

1)對純周期聲學黑洞梁，結構中沒有材料差異，同種結構的彎曲波帶隙變化規律一致，歸一化寬度保持一致，可通過歸一化寬度描述同種結構的帶隙特性；不同材料的純周期黑洞結構帶隙起止區間存在差異，主要取決于結構的縱波波速，波速越小，各階帶隙起始頻率越低。借此可以得到更低頻的帶隙。

2)對2種材料構成的聲學黑洞梁，結構中2種材料之間的差異會影響各階帶隙的寬度，材料之間阻抗差異越明顯，各階帶隙越寬。選擇不同的材料組合可以調控結構彎曲波帶隙，以此獲得低頻寬帶，為帶聲學黑洞結構的減振降噪提供一定思路。