黃河下游引黃灌區水資源優化配置研究

劉 昀，李 倩，王 靜

（黃河水利委員會山東水文水資源局，濟南 250100）

1 動態規劃的基本原理

動態規劃，縮寫為DP，是20世紀50年代初期由美國數學家貝爾曼等人提出， 并逐漸發展起來的數學分支， 是一種多階段決策過程最優化問題的數學規劃方法。用動態規劃法求解的問題，必須具備以下特點：①滿足最優化原理；②所研究的系統能劃分成若干階段；每個階段都能作出決策；③相鄰兩個階段的狀態能夠轉移并且這種轉移是通過使用某一決策而實現的［1］。

1.1 基本概念

1.1.1 階段

階段可定義為所研究的事物在發展中所處的時段或步驟（或某一局部空間），以序列數字k=1，2，…，K表示。

1.1.2 狀態

描述系統演變過程中各階段所處狀況的特征量稱為狀態，常以符號S表示。描述過程狀態（或系統狀態）的變量，稱為狀態變量。它可以是一維變量，也可以是多維變量。 在任一階段k可有若干個狀態，構成該階段的狀態集合Sk。

式中 r為階段k的狀態點數。

1.1.3 決策

某階段狀態給定后， 從該狀態演變到下一階段某個狀態的選擇稱為決策，用d表示。 在多階段決策過程的任一階段中，當階段的狀態Sk給定后，如果做出某一決策dk， 則階段初的狀態就轉移到一個相應的下一階段狀態Sk+1，描述決策的變量稱為決策變量。

1.1.4 策略

由第一階段開始直到終點為止的過程稱為問題的全過程。 Dk是由每個階段的決策Dk（k=1，2，…，K）所組成的決策序列，稱為全過程策略，簡稱策略。

1.1.5 狀態轉移方程

狀態轉移方程， 即從過程的一個狀態轉移到另一個階段某狀態的演變過程，Sk+1=Dk（Sk）表明第k+1階段的狀態變量的值隨第k個階段的決策變量Dk和狀態變量Sk確定。

1.1.6 指標函數

指標函數是描述過程優劣的數值指標，如式（1）：

1.2 動態規劃數學模型的解法

動態規劃的數學模型主要包括： 系統的階段變量、狀態變量、決策變量、目標函數、約束條件等。 數學模型的解法一般分為逆序解法和順序解法。 逆序解法是從終點向前推移， 使每一階段到最后都能達到最優，最后求得整個過程的最優解。順序解法是從起點開始，使起點到每一階段都能達到最優，最后給定全局最優解。

2 典型灌區水資源優化配置

2.1 灌區概況

選取黃河下游陳垓灌區作為模型計算的典型灌區，陳垓灌區位于山東省濟寧市梁山縣境內，始建于1959年， 有效灌溉面積3.68萬hm2， 主要農作物為小麥、玉米、棉花，小麥和玉米種植面均為2.45萬hm2、棉花種植面積0.36萬hm2，復種指數為1.43。 灌溉水利用系數為0.56。

2.2 灌區典型年作物灌溉水量

根據該灌區歷年降水量及氣象數據可以計算出不同降雨頻率情況下充分灌溉時作物的需水量，經計算該灌區降雨頻率為50%時（平水年），小麥灌溉凈水量2475m3/hm2，玉米灌溉凈水量450m3/hm2，棉花灌溉凈水量2475m3/hm2； 降雨頻率為75%時 （干旱年）， 小麥灌溉凈水量2925m3/hm2， 玉米灌溉凈水量675m3/hm2，棉花灌溉凈水量2925m3/hm2。 這里凈水量是指作物正常生長所需灌溉的水量，不包括蒸發、滲漏等損失水量［3］。

根據各作物的凈灌水量可以算出降雨頻率為50%時，充分灌溉條件下，灌區作物總需水量8066萬m3，降雨頻率為75%時，灌區作物總需水量9883萬m3，水利部門分配給該灌區農灌用水許可水量7820萬m3，根據其灌溉水利用系數， 計算出進入田間的凈水量約4380萬m3，遠小于作物充分灌溉條件下的需水量。

2.3 水分生產函數及產生的效益

2.3.1 水分生產函數

作物水分生產函數， 是指在作物生長發育過程中， 作物產量與投入水量或作物消耗水量之間的數量關系。 作物水分生產函數可以確定作物在不同時期遇到不同程度的缺水時對產量帶來的影響。

為了進行水資源優化分配， 達到最大效益的目的， 首先必須建立各種作物全生育期耗水量與產量的關系。 作物水分生產函數的特征曲線一般包括遞增和遞減兩部分。當水分成為產量的限制性因素時，表現為遞增函數； 水分成為產量的非限制性因素或過量實施造成減產時，表現為遞減函數［4］。 因此，全生育期水分生產函數的數學模型多為拋物線型，全生育期水分生產函數的數學模型表達式，如式（3）。

式中 F（Qk）為作物產量（kg/hm2）；Qk為灌水量（m3/hm2）；a，b，c為經驗系數。

參考林磊［5］對引黃灌區各作物建立的水分生產函數，各系數如表1。

表1 作物全生育期水分生產函數經驗系數

各作物全生育期水分生產函數如圖1～圖3。

圖1 小麥全生育期水分生產函數

圖2 玉米全生育期水分生產函數

圖3 棉花全生育期水分生產函數

2.3.2 作物經濟效益

根據各作物的產量、 種植面積及目前的價格可算出各作物的經濟效益， 各作物的價格根據黃河下游山東地區2021年糧食行情報價的平均值，小麥3.2元/kg，玉米2.8元/kg，皮棉24元/kg。

2.4 典型灌區水資源優化配置模型

針對陳垓灌區的情況， 采用動態規劃的逆序解法建立數學模型。

2.4.1 階段變量每一種作物為一個用水單位，可看作一個階段，共3個階段，階段變量k=1，2，3。

2.4.2 狀態變量和決策變量

狀態變量為各階段可用于分配的有效水量，即從第3種作物到第K種作物分配的水量，以qk表示；決策變量為分配給第k種作物的水量，以xk表示。

2.4.3 目標函數

設fK（qK）為以總水量Q分配給3種作物而獲得的最大總凈效益。計算凈效益時根據水分生產函數、各作物的種植面積及價格，則目標函數如式（4）。

2.4.4 約束條件

（1）供給各種作物水量之和不超過水資源總量Q：

（2）供給第k種作物的水量xk不超過在第k階段可用于分配的有效水量Q-qk+1：

動態規劃就是要在系統的階段變量、狀態變量、決策變量、約束條件、邊界條件約束下，尋求目標函數最優值和相應的最優決策序列。 各種作物分得的水量可以通過優化程序來獲得， 本程序分為3個階段， 需要先將狀態變量、 決策變量在可行域內離散化， 離散間隔即步長為10， 然后由最后一個階段開始，逆序進行逐階段擇優計算，最后輸出計算結果。

計算程序的流程如圖4：

圖4 模型計算流程

根據作物灌溉可引黃水量及灌溉水利用系數，輸入凈水量4380萬m3，輸入小麥、玉米、棉花的種植面積，最終計算出灌區最大凈效益為6.285億元，小麥灌溉凈水量為2010萬m3，玉米灌溉凈水量為1750萬m3，棉花灌溉凈水量為630萬m3， 分別占總水量的46%，40%，14%?；谝陨嫌嬎憬Y果，灌區可以根據當年的實際情況按作物不同生育期需水比例引用黃河水進行灌溉，從而使灌區獲得最大的經濟效益。

3 結語

模型的建立為黃河水資源優化配置提供了決策依據，從而使有限的水資源得到有效合理的利用。 今后模型的建立還可從不同作物種植面積和水量兩者優化進行考慮， 可利用模型調整不同作物種植面積及不同作物分配水量， 從而使有限的水資源發揮最大的經濟效益。