大型水工鋼閘門結構設計理論與方法探討

王正中

(西北農林科技大學 水利與建筑工程學院,陜西 楊凌 712100)

0 前 言

隨著水利水電事業的快速發展，到2016年年底，中國已建成各類水庫大壩98 460座，總庫容達8 967億m3，其中大中型水庫4 610座，總庫容8 260億m3，大壩數量居世界首位[1]。作為水利水電工程輸、泄水建筑物調節咽喉的水工鋼閘門，正向著具有高水頭、大孔口、大流量等特點的大型化和輕型化方向發展，閘門承受的荷載及自重越來越大。如：世界最大孔口尺寸 63 m× 17.5 m(長×寬)的 Bureya 水電站弧門[2]，最大自重715 t 的大藤峽底孔弧形閘門，最高水頭 181 m 的 Inguri 弧形閘門，最大跨度 360 m 的鹿特丹新水道擋潮閘門。一般規定水工鋼閘門門葉面積與水頭乘積在1 000～5 000 m3的閘門稱為大型水工鋼閘門，超過5 000 m3的為超大型水工鋼閘門[3]。表1統計了世界大型及高水頭閘門的基本情況(按閘門受到的最大水推力從大到小排序)。

表1 世界大型及高水頭閘門基本情況統計表

1853年坐落于巴黎塞納河的上的4扇閘門8.75 m×1.0 m(寬×高)是最早應用的弧形閘門。1860年，在埃及北部的羅塞塔壩和杜姆亞特壩上安裝了若干“圓筒閘門”，隨后1910年新型反轉弧形閘門的設計也被提出。二戰以后，各國政府為發展經濟，開始大規模興建水利工程。我國在黃河、長江等的干支流上興建的一大批水電工程，如烏東德、白鶴灘、溪洛渡和向家壩等大型水利水電樞紐，其工作閘門和事故閘門都到達了很大的尺寸，如圖1所示。隨后出現了形式多樣的各類閘門，如1960年建造于荷蘭的Hagenstein護目鏡閘門，1984年坐落于倫敦的泰晤士水閘，采用大寬高比弧形閘門和扇形閘門組合，1997年兩扇平面轉動式弧形閘門在荷蘭馬斯朗特成功建成,2006年浙江曹娥江采用雙拱空間管桁平面鋼閘門作為河口擋潮閘，2013年浙江奉化象山港避風錨地采用管桁式三角閘門作為通航船閘，具體如圖2所示。大跨度、高水頭、造型新穎的閘門結構將會逐漸成為未來閘門結構的發展趨勢。

圖1 大型工作閘門和事故閘門

圖2 閘門類型

一方面隨著高壩大庫及一帶一路沿線國家水利水電工程的建設與發展；另一方面在風光水電互補運行模式下閘門的啟閉愈加頻繁，閘門結構設計將面臨更復雜的運行工況和邊界條件，以及產生更強的空間效應。常規的閘門線性設計理論與分析方法已不滿足這類大型水工鋼閘門的設計需要，需要發展與大型水工鋼閘門相適應的結構非線性設計理論與方法。實際上，工程結構的非線性問題早在19世紀中葉就引起學者的關注，經過幾代科學家多年的不斷研究攻克難關，特別是自20世紀60年代以來，有限元等數值方法的產生和發展，以及電子計算機技術的普及應用，為非線性問題的解決提供了必要的分析手段和計算工具，促使結構非線性分析理論方法在水工鋼閘門中應用成為了現實。

1 大型弧形鋼閘門面板彈塑性分析及設計方法

1.1 鋼閘門面板彈塑性極限承載力

1.1.1彈性極限承載力的確定

計算模型選取上理應逐一研究各種支承情況下鋼閘門面板的彈塑性極限承載力，但因閘門的梁格剛度與面板面外剛度相比要大得多，加之面板一般為雙向連續板，其每一區格內的面板受力狀態與四邊固支板的非常接近，試驗研究也證明了這一結論。但為安全考慮，將分別對四邊固支的矩形薄板和四邊簡支的矩形薄板進行分析，如圖3所示(令b為長邊)，在笛卡爾坐標系中薄板的彎曲微分方程為公式(1)：

圖3 矩形板計算簡圖

(1)

公式(1)中：ω為四邊固支矩形彈性薄板的擾度撓度,m；x，y分別為四邊固支矩形彈性薄板沿x軸和y軸方向的位移，m；D=Et3/12(1-μ2)為板的彎曲剛度,N/m；q為法向均布荷載(取q為單位面積上的均布荷載)，N/m。

引入一位移函數：

(2)

顯然：

所以，該函數性狀滿足各邊界條件，可作為位移函數。根據能量原理的伽遼金法可確定四邊固支矩形彈性薄板撓度為

(3)

因此，取一微小單元體，根據彈性薄板理論，有以下物理關系：

(4)

如前所述，對均布荷載作用下的四邊固支矩形彈性薄板，長邊中點處最先達到彈性極限，關注的是該點的Mx，根據公式(3)和公式(4)得：

(5)

當該點達到彈性極限時，可令Mx=Mp(Mp為對于Mx的彈性極限彎矩)：

(6)

由上式即可求得彈性極限荷載：

(7)

同理可以求得四邊簡支矩形薄板的彈性極限荷載為(面板區格中心為控制點)

(8)

1.1.2塑性極限承載力的確定

對真實的鋼閘門面板來說，面板從進入塑性的開始其塑性區逐漸擴展，由于變形和內力的連續性，因而會形成“面包”狀光滑曲面的殘余變形，實際面板的塑性變形比理想彈塑性材料薄板要小，亦即實際面板的極限承載力要比理想彈塑性面板的大。為了確定極限承載力的下限用最大彎矩極限條件求解，由理論分析可假設極限狀態下的面板的內力場為

Mxy=-C3xy

(9)

(10)

(11)

同理可得四邊簡支面板的極限荷載下限為

(12)

1.2 鋼閘門面板彈塑性調整系數

按現行規范校核面板強度時考慮到面板屈服具有局部應力性質，故以鋼材屈服極限為強度極限，即給容許應力乘以彈塑性調整系數α。鋼閘門面板按薄板小撓度理論可得出其彈塑性調整系數α為塑性極限荷載與彈性極限荷載的比值：

(13)

(1)對于四邊固支鋼閘門面板的α值，根據公式(11)、(13)和公式(7)得:

(14)

(2)對于四邊簡支鋼閘門面板的α值，根據公式(12)、(13)和公式(7)得

(15)

為便于比較，將理想彈塑性材料鋼面板的彈塑性調整系數理論值和各國的規范值隨β=b/a的變化如圖4所示。

由圖4可以看出，四邊固支面板的理論彈塑性調整系數比各國規范值大得多，其最大值為3.04，最小值為2.34；四邊簡支面板的理論彈塑性調整系數，其最大值為2.10，最小值為1.50，具體數值與長寬比有關，整體上還是大于我國現行規范值。故認為現行規范值是比較保守的，也沒有給出α與長短邊比β的一一對應關系。

圖4 α-β的關系

1.3 面板厚度合理直接設計方法的提出

體現面板長寬比影響的彈塑性調整系數αp與體現梁整體彎應力影響的彈塑性調整系數αm，這兩者是獨立無關的。所以當同時考慮面板長寬比及整體彎應力的彈塑性調整系數α的表達式如下：

α=αpαm

(16)

實際工程中為了使面板承載能力充分發揮，常使面板長寬比β=b/a>1.5，且面板長邊沿主梁軸線方向布置，于是面板內應力最大的部位常出現在梁格的長邊中點，鑒于此，給出長邊中點上游面的彈塑性調整系數αA。其中α、β和m三維關系如圖5所示。

圖5 α、β和m的三維關系

由圖5可以看出，彈塑性調整系數α受面板長寬比和梁整體彎曲應力的共同影響，呈現連續變化，而并不是一個固定不變的值；梁整體彎曲應力對彈塑性調整系數α的影響顯著，梁整體彎曲應力越大，彈塑性調整系數越小。當m≤(0.4～0.6)時，α≥1.5，說明此時規范值是偏于保守的；相反當m>(0.4～0.6)時，α<1.5，說明此時規范值是偏于危險的。

(17)

在得到準確考慮了面板長寬比和梁整體彎應力影響的彈塑性調整系數α=αpαm后，可以直接由強度條件σmy≤α[σ]設計面板厚度。筆者曾提出面板厚度計算公式：

(18)

公式(18)中：面板長寬比β和無量綱整體彎應力水平m值可依據結構布置及工程經驗確定，由公式(16)求得α，再由公式(18)直接計算面板厚度。

2 高水頭閘門主梁翹曲應力及變形分析

高水頭的深孔平面鋼閘門及大荷載作用下的組合截面鋼梁應用非常廣泛，且大都是在荷載作用下發生橫力彎曲的深梁，如水工結構中的深孔鋼閘門的主梁，其主梁的跨高比介于3～8，屬于均布荷載作用下橫力彎曲的短梁。然而對于這類薄壁截面的短梁目前仍沿用細長梁純彎曲理論計算彎曲正應力與撓度，忽視了剪力對彎曲正應力與撓度的影響，并且彎矩和剪力作用導致梁的橫截面發生翹曲，此外又由于各橫截面剪力不同，導致翹曲不同步，相鄰橫截面的縱向纖維發生拉伸或壓縮，從而影響彎應力的分布。

2.1 橫力彎曲梁撓曲線微分方程

橫力彎曲時梁撓曲線微分方程為：

(19)

(20)

公式(19)～(20)中:K為標志截面特征的無量綱數；q為均布荷載集度,kN；f為梁的撓度,mm；f"為撓度二階導數；M為橫截面上的彎矩，N·m；E為材料的彈性模量，Pa；G為剪切模量，Pa；μ為泊松比；A為橫截面面積，m2；I為橫截面對中性軸的慣性矩，m4；b(y1)為距中性軸y1處橫截面寬度，m；S*為橫截面距中性軸y1以外部分面積對中性軸的面積矩，m3。

橫力彎曲正應力為：

(21)

2.2 鋼閘門工字形組合梁截面特性

鋼閘門主梁典型截面為單軸對稱的工字形截面，主梁截面如圖6所示，設上、下翼緣面積分別為A2,A1，寬度為b2、bl，距中性軸距離為h2和h1，腹板高度為h0，厚度為δ，面積為Af，梁高為h，橫截面總面積A。

圖6 閘門主梁截面

為便于計算，再設：

(22)

則：

(23)

A=(1+β1+β2)Af

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(1+4β1+4β2+12β1β2)2

(29)

(30)

以上公式對箱形截面也完全可以適用[4]。

2.3 深孔平面閘門簡支主梁橫力彎曲正應力及撓度計算公式

深孔平面鋼閘門的主梁可簡化為兩端簡支的情況加以分析，水壓力可以近似按對稱(平面彎曲)均布荷載處理。設梁計算跨度為l，單位長度上荷載為q，取鋼材的泊松比μ=0.3，則彎曲正應力及撓度計算如下[5]。

2.3.1彎曲正應力

最大彎矩發生在跨中，其值為Mmax=ql2/8，最大彎曲正應力在該截面的下翼緣外側y=α1h處，則由公式(21)、(25)和公式(30)得：

(31)

對于雙軸對稱工字形截面，則β=β1=β2，公式(31)可寫為：

(32)

顯然，公式(32)中括號內第2項代表剪力對彎曲正應力的影響，它不僅與跨高比有關，而且與各翼緣與腹板的面積比有關。為了直觀地反映不同跨高比、不同截面特征的簡支梁剪力對彎曲正應力的定量影響，引人無量綱系數：

(33)

并繪出簡支梁剪力影響系數(λσ-l/h-β的關系)曲線如圖7所示。由圖7可以看出，對矩形截面(β=0)梁，當跨高比l/h=4，即剪力對正應力的影響占純彎曲正應力的2.2%，這與彈性力學結論相同[6]。但β從0變到0.2時，即由矩形變為工字形時，λσ增大很快，當l/h=4時λσ=0.07，即此時剪力對工字形梁彎曲正應力的影響占總應力的7%，已不可忽略。從整體的趨勢看，隨著跨高比l/h的減少，剪力對彎曲正應力的影響急速增大。隨著工字形截面特征β的增大，剪力彎曲正應力的影響也增大，但在閘門中系數β中介于0～1，在此范圍內β對λ的最大影響為矩形梁的5倍。

圖7 簡支梁剪力影響系數(λσ-l/h-β的關系)曲線

2.3.2撓度計算

對橫力彎曲梁撓曲線微分方程連續進行兩次積分，并考慮邊界條件即可求出跨中最大撓度。簡支梁跨中最大撓度為：

(34)

若為雙軸對稱工字形截面，則β=β1=β2。

(35)

同理公式(35)中括號內第2項代表剪力對撓度的影響，它不僅與跨高比有關，而且與各翼緣與腹板面積之比有關。對比公式(33)和公式(35)，可以看出：剪力對撓度的影響較之對彎曲正應力的影響更為明顯，不僅表現在跨高比上，而且也表現在截面特征β上。為了直觀反映剪力對不同跨高比，不同截面特征簡支梁撓度的定量影響，引人無量綱系數：

(36)

繪出簡支梁λf-l/h-β關系曲線，如圖8所示。由圖8可以看出，對于矩形截面(即β=0)梁，當l/h=4時，λf=0.156，即剪力對撓度的影響占純彎撓度的15.6%，已不可忽略，這也與彈性力學結果一致[6]。當β從0變到0.2時，λf增大的很快。從整體趨勢看也基本與剪力對彎曲正應力的影響規律一致，區別正如前述，剪力對撓度的影響明顯比剪力對彎曲正應力的影響要大。

圖8 簡支梁λf-l/h-β關系曲線

2.4 深孔弧門雙懸臂主梁橫力彎曲正應力及撓度計算

雙懸臂主梁因其內力及撓度較小，對跨度較大的深孔弧形鋼閘門則更為適用[7]。為了使主梁跨中與支座的正負彎矩數值基本相等，內力分布較為均勻，閘門規范[8]建議其懸臂長度選用0.2倍的梁長。仍取均布荷載集度為q，主梁中間跨長為l0，深孔弧形鋼閘門雙懸臂主梁的計算簡圖如圖9所示。

圖9 雙懸臂主梁的計算

2.4.1正應力計算

(37)

由公式(37)可見，第1項是彎矩產生的正應力, 第2項是剪力產生的正應力，與公式(31)比較可以看出，由于雙懸臂主梁彎矩減小為簡支梁彎矩的一半，因而第1項減小為簡支梁的一半，但均布荷載沒有變，故剪力產生的彎曲正應力沒有改變，從而使剪力產生的正應力的權重增大為簡支的2倍。對于雙軸對稱工字形截面梁β=β1=β2，則上式可簡化為：

(38)

(39)

圖10 雙懸臂梁關系曲線

2.4.2撓度計算

同理只要對橫力彎曲的撓曲微分方程連續積分兩次，并考慮邊界條件，即可求出撓曲線方程，不同的僅是彎矩方程分3段，在支座處變位協調，因只求跨中最大撓度，只考慮中間段，故跨中撓度為：

(40)

上式中第2項代表剪力對雙懸臂主梁跨中最大撓度的影響?？梢姡谙嗤奢d條件下，雙懸臂梁因彎矩減小，使剪力對撓度的影響增大到簡支梁的2.1倍。對雙軸對稱工字梁，β=β1=β2，上式改寫為：

(41)

(42)

圖11 雙懸臂梁關系曲線

2.5 應用實例

(1)某深孔水工平面鋼閘門，水頭Hs=43.5 m，主梁跨度l=5.56 m，高度為h=1.04 m，A1=60 cm2，A2=132 cm2，Af=200 cm2，最大彎曲應力σmax=144.8 MPa，最大撓度f0max=3.95 cm，允許應力[σ]=156.9 MPa，允許相對撓度為[f/l]=1/750。

β=A1/Af=A2/Af=0.206，主梁跨高比l0/h=3.60。

按橫力彎曲計算此梁撓度增大1倍，并且稍超過允許撓度，深孔閘門的主梁多屬于短梁，剪力對其彎曲正應力及撓度的影響已不可忽略，且剪力對撓度影響更大；對于簡支梁和雙懸臂梁，剪力對雙懸臂梁的彎曲正應力及撓度影響更大。

3 樹狀支臂的穩定性

3.1 樹狀支臂的提出

弧形鋼閘門支臂框架是承受水壓力的主要結構，也是該結構容易失事破壞的薄弱環節，因此弧門結構型式的創新及結構優化設計的研究一般集中在弧門支臂框架方面。立足于弧門結構創新與優化，筆者研究團隊提出一種新型樹狀“Y”形支臂弧門結構型式，其支臂為樹狀分叉柱型式，樹干底端支承在支鉸上，樹枝頂端支承在井字梁結構的交叉點上，這種新型樹狀支臂弧門能集中二支臂和三支臂優點克服各自缺點，可實現閘門輕型與穩定的統一[9-12]。應用ANSYS拓撲優化方法證明了這種新型弧門支臂結構具有傳力路徑最優、剛度大、材料分布模式最優、抗振性能好等優點，且支撐覆蓋范圍廣(擋水面積大)、能有效地減小梁和柱的長度、起到強干豐枝作用、可用較小的桿件體積形成較大的支撐空間，這些特性都與大型弧門理想的結構性能非常吻合，拓撲優化結構如圖12所示。

圖12 弧門拓撲優化結果

筆者研究團隊[13-15]對弧形鋼閘門縱向框架內的樹狀支臂計算長度系數進行了理論推導，并給出了計算公式，同時結合工程實例對樹狀支臂弧形鋼閘門進行了數值計算，證明了樹狀支臂弧形鋼閘門具有優良的力學性能。結合ANSYS有限元分析軟件對主縱梁式弧門“Y”形支臂進行了數值找型，獲得樹狀支臂分叉點的合理位置。

3.2 樹狀支臂的穩定性分析

考慮支臂穩定約束的弧形閘門三維拓撲優化所得結果如圖13所示。

圖13 弧形閘門支臂三維拓撲結果

進一步依據現行鋼閘門設計規范進行結構布置，以樹狀支臂整體結構穩定性最高、材料最省為目標，以樹狀支臂的樹干和樹枝同時失穩為樹狀支臂結構整體失穩的失效準則，滿足強度、剛度和穩定等約束條件，建立二分杈樹狀支臂結構樹型優化模型。以某水電站露頂式弧形閘門為例建模進行數值優化分析。孔口尺寸13 m×24.3 m(長×寬)，閘門底檻高程193.50 m，支鉸高程217.60 m，弧面半徑32 m，正常蓄水位217.30 m，弧門設計水頭23.8 m。

建立的傳統二支臂模型和二分杈 “Y”形樹狀支臂模型分別如圖14和圖15所示。

圖14 二支臂有限元模型

圖15 二分杈樹狀支臂有限元模型

用特征值法和雙重非線性有限元法分別計算分杈點在不同位置時二分杈樹狀支臂結構和二支臂結構的屈曲荷載，為消除樹干長度與橫截面尺寸、樹枝長度與橫截面尺寸的絕對尺寸影響，采用樹干和樹枝單位剛度比、兩樹枝間夾角與二支臂夾角之比作為無量綱參數。為比較二分杈樹狀支臂結構與二支臂結構的優劣性，分別繪出了二分杈樹狀支臂結構與二支臂結構的屈曲荷載比值隨干枝單位剛度比的變化規律如圖16所示。

圖16 igz與(pcr(s)/pcr(e))的關系

圖16～18中tg為樹干的寬厚比；tz為樹枝的寬厚比；igz為樹干和樹枝的單位剛度比；pcr(s)為二分杈樹狀支臂結構的屈曲荷載,kN;pcr(e)為二支臂結構的屈曲荷載,kN。

由圖16可知，同材料用量下，當干枝單位剛度比(igz)在區間(0.99，5.67)內時，二分杈樹狀支臂結構的屈曲荷載與二支臂結構的屈曲荷載的比值(pcr(s)/pcr(e))隨干枝單位剛度比(igz)的增大而增大；當干枝單位剛度比(igz)在區間(5.67，171.88)內時，二分杈樹狀支臂結構的屈曲荷載與二支臂結構的屈曲荷載的比值((pcr(s)/pcr(e))隨干枝單位剛度比(igz)的增大而減??；值得注意的是當干枝單位剛度比在區間(0.99，26.78)內時兩者的比值均大于1，說明在此范圍內二分杈樹狀支臂結構的屈曲荷載大于二支臂結構的屈曲荷載；并且在干枝單位剛度比為5.67時二分杈樹狀支臂結構的屈曲荷載與二支臂結構的屈曲荷載的比值最大，其值為2.50～4.34為確定最優樹型，繪出優化目標(G(x)/Pcr(x))隨干支單位剛度比(igz)和α/β的關系如圖17和圖18所示；其中：其中：G(x)/Pcr(x)為二分杈樹狀支臂的材料質量與其屈曲荷載的比值；α為二分杈樹狀支臂的兩樹枝間的夾角，β為二支臂夾角。

圖18 G(x)/Pcr(x)和α/β的關系

由圖17可知，干枝單位剛度比(igz)在區間(0.99，5.67)內時，材料質量與二分杈樹狀支臂結構屈曲荷載的比值(G(x)/Pcr(x))隨干枝單位剛度比(igz)的增大而減小；干枝單位剛度比在區間(5.67，171.88)內時，材料質量與二分杈樹狀支臂結構屈曲荷載的比值(G(x)/Pcr(x))隨干枝單位剛度比(igz)的增大而增大。兩區間的分界點干枝單位剛度比igz在[5.33，6.02]范圍時，目標函數達到最小值，這就是說此時的樹型是最優的。

由圖18可知，兩樹枝夾角與二支臂夾角的比(α/β)在(1.03，1.98)內時，材料質量與二分杈樹狀支臂結構屈曲荷載的比值(G(x)/Pcr(x))隨兩樹枝夾角與二支臂夾角的比(α/β)的增大而減小；兩樹枝夾角與二支臂夾角的比(α/β)在(1.98，7.65)內時，材料質量與二分杈樹狀支臂結構屈曲荷載的比值(G(x)/Pcr(x))隨兩樹枝夾角與二支臂夾角的比(α/β)的增大而增大。兩區間的分界點樹枝夾角與二支臂夾角的比α/β在[1.92，2.04]范圍時，目標函數達到最小值，這就是說此時的樹型是最優的。

綜上，弧門二分杈支臂最優樹型為樹干與樹枝的單位剛度比為[5.33,6.02]，樹枝間夾角與二支臂夾角之比為[1.92,2.04]。與此對應的樹型支臂的枝干長度比為1.02，樹干與樹枝的截面高度比和厚度比分別為1.805和1.405。此時，二分杈樹狀支臂結構整體穩定性最高、重量最輕。

4 弧形閘門的優化布置

結構合理布置是閘門整體優化與安全運行的前提。結構布置主要指閘門承載結構形式、位置、數量的構成及布置，結構布置應確保閘門在各種工況下的結構布置科學合理，特別是保障在控制工況下運行時主體承載結構的強度、剛度和穩定性布置合理，為整體結構安全奠定基礎。只有建立在合理結構布置基礎上的優化設計才能實現閘門結構的全局最優，確保閘門整體結構經濟性和安全性的統一。我國閘門設計規范中對于弧形鋼閘門的結構布置原則及計算圖式，存在結構布置原則不盡完善的問題，使主要構件受力復雜化，為此提出更為合理簡潔的弧形鋼閘門布置原則及計算圖式。具體布置原則為：縱、橫向主梁的懸臂長度應以其支座處截面轉角為零予以確定，從而使主梁不發生扭轉變形，支臂在豎向及橫向平面內均不承受彎矩，只承受軸向力。

4.1 橫向主梁合理懸臂長度分析

現行規范建議橫向主梁懸臂長度時c=0.2L，主梁在支座處截面的轉角不為零，支臂端截面與主梁協同轉動，從而使支臂上產生彎矩。通過恰當地調整雙懸臂主橫梁的懸臂長度c，便可使其支座處橫截面的轉角為零，確定橫向主梁合理懸臂長度的計算圖式如圖19所示，取斜支臂式平面主框架，根據結構力學理論計算可得c=0.224L。

圖19 弧門橫向平面框架計算圖

從另一方面來講，只要Mh=0，對于該超靜定結構來說，必然是橫梁支座處截面轉角為零，這一點可以用單位力法簡單地證明。因此，當c=0.224L時，橫向主梁、橫向次梁及橫向輔梁將不會使縱向主梁發生扭轉變形及扭轉應力。

4.2 表孔閘門縱向主梁及雙支臂合理布置

對于深孔弧門，面板上的水壓力沿豎向可以近似認為是均勻分布，故此時縱向主梁的合理懸臂長度系數與橫向主梁的合理懸臂長度系數相同，即上下懸臂段長取為0.224倍弧長。對于表孔弧門，面板上的水壓力可以近似認為沿弧長是線性分布的，且門頂水頭取為零，為了求得縱向主梁在支座處截面的轉角為零，故在確定計算圖式時，可直接取為兩端外伸梁，而無必要取縱向平面框架作為計算圖式，經求解可得上懸臂段長度為0.389，中間段長度為0.455，下懸臂段長度為0.156。

作用在三支臂潛孔弧門主縱梁上的梯形水荷載可等效于均布荷載和線性荷載的疊加。設主縱梁長度單位1，各段長度系數分別為α、β、γ和η，采用Mathematica編程進行求解可得到α、β、γ和η的值分別為：α為0.353，β為0.339，γ為0.224，η為0.083。

4.3 主梁合理懸臂長度適用性論證

以上僅是從各主梁不產生扭轉，支臂不產生彎曲及扭轉角度出發，提出了橫向主梁縱向主梁的合理懸臂長度，實際工程上在進行結構布置時，還必須考慮結構剛度、強度等要求。為便于說明問題，以現行結構布置為準，從強度剛度方面對合理懸臂長度的適用性加以論證。強度方面對橫向主梁來說，采用c=0.224L后與c=0.2L相比較，橫向主梁控制剪力減少8%左右[16]，而控制彎矩約增大33%[16]，支座截面的最小抗彎模量增加了許多(支臂與主梁連接處的許多構造增大了主梁截面)；對支臂強度無多少影響。因此，橫向主梁及深孔弧門的縱向主梁采用c=0.224L后能提高主梁的抗剪能力，并不降低其抗彎能力，并有前述許多方面的優點。

4.4 深孔弧形閘門空間框架布置優化模型

以較典型的直支臂深孔弧形閘門為研究對象，設弧門面板半徑為R，孔口高度為H，寬度為B，并令：R=x1H，B=x2H，根據現行規范[8]對于深孔弧門x1介于1.2～2.2?？紤]到深孔弧門的水力條件，可把面板上的荷載簡化為均布荷載，取面板中心點水頭荷載P0作為計算荷載。

4.4.1目標函數

設弧門支臂共布置N根，根據實際情況，N可取4、6和9中的一個數(如金沙江白鶴灘水電站泄洪閘門)，對應于以下4種常見的弧門空間框架布置形式：

圖20 弧門空間框架布置形式

以上4種弧門框架各有其適用范圍，設支臂總用鋼量為V(體積)，以支臂總用鋼量最小為目標，建立目標函數如下：

V=N.A.R→min

(43)

4.4.2約束條件

(1)穩定性約束

支臂在支臂框架平面內和框架平面外的整體穩定按下式校核：

(44)

(45)

公式(44)～(45)中:φx，φy分別為彎矩作用平面內、外的穩定系數；φb為均勻彎曲受彎構件的整體穩定系數；η為截面影響系數；γx為截面塑性發展系數；NEx為軸心受壓桿件歐拉臨界力，N；βmx為彎矩作用平面內等效彎矩系數；βtx為彎矩作用平面外等效彎矩系數；W1X為支臂截面抗彎模量，Pa；p為截面軸力，N；Mx為截面彎矩,N·m。P=P/N，P為水工弧形鋼閘門面板所受的總水壓力，N。φx，φy根據各自平面內的長細比和偏心率查表得到，對于箱形截面φb=1.0，η=0.7,γx=γy=1.05，βmx=1,βtx=1。

(2)強度約束

實踐表明，弧門支臂多為為中柔度壓桿，對于該類桿，因在強度破壞之前便已喪失穩定，故整體穩定約束為主控約束，支臂截面的強度約束是無效的。

(3)剛度約束

為了減少支臂自重及動荷載引起的壓桿振動及彎曲變形，規范規定壓桿的最大柔度λmax必須小于容許值并滿足中柔度壓桿柔度的取值范圍。在水工弧形鋼閘門規范中，支臂的容許值[λ]取120，即λmax≤[λ]=120；而對于中柔度壓桿，50≤λ≤100。

(4)幾何約束

即對各設計變量的取值范圍做限制，通過鋼材規格及結構構造提供設計變量的上下限值來控制。

4.4.3優化模型求解方法

所建立的優化模型中目標函數和約束條件均為非線性，此類非線性模型通常可描述為下面的形式：

(46)

上述非線性優化問題可用SQP優化算法(序列二次規劃)求解。

4.4.4深孔弧門空間框架合理布置

以往對弧門支臂的布置問題已經有了一些定性的認識，但關系不明確，為了在定性認識的基礎上，得到一些定量的結論，主要針對弧門支臂最優個數、最優截面及其最優布置問題進行全面研究，以便指導工程應用，因此對40個工程實例進行優化計算(不考慮啟閉力)。將弧門半徑亦做為尋優變量，其尋優范圍參考規范的取值[8]。

經過用弧門支臂個數優化程序對這40個工程算例進行優化計算，所得到的弧門半徑的尋優結果皆為規范所允許的下限，亦即α=1.2，這和以往定性的認識是一致的，因為支臂越短，越能保證其穩定性，故在工程條件許可的情況下，盡可能讓弧門半徑取滿足規范的較小的值。

為了得到孔口寬高比β對弧門支臂布置個數的定量影響規律，繪出支臂布置個數關于寬高比的圖形點如圖21所示,可以看出：當β≤0.6時，布置6根支臂，由于寬高比較小，故采用主縱梁式布置方式；當β≥1.40時，也要布置6根支臂，由于寬高比較大，故采用主橫梁式布置方式；當0.6≤β≤1.40時，布置4根或9根支比臂。

圖21 N-β關系

圖21中并沒有反映出40個點，這主要是由于孔口寬高比相同但水頭不同、或孔口寬高比相同但孔口尺寸不同而導致了有些點重合在一起，即支臂布置個數還與孔口絕對尺寸及水頭大小有關，考慮到孔口面積(決定于孔口絕對尺寸)和面板中心壓強(決定于水頭大小)的乘積為總水壓力，則支臂布置個數取決于總水壓力。繪出支臂布置個數關于總水壓力P的圖形點如圖22所示。

圖22 N-P關系

由圖22可以看出，當P≤3.6×108N時，布置4根支臂；當3.6×108N≤P≤6.5×108N時，布置6根支臂；當6.5×108N≤P，布置9根支臂。

5 結 論

本文主要從水工鋼閘門的發展歷程、研究現狀及存在的關鍵科學問題出發，從面板和主梁的非線性設計理論和方法，樹狀支臂的穩定性以及弧形閘門的優化布置等方面進行了論述，形成結論如下：

(1)建立了鋼閘門面板彈塑性極限承載力的非線性力學模型，首次從理論上系統地證明了1976年河海大學原型試驗成果的合理性及準確性，并給出了理論解析解，為規范修訂提供理論依據。

(2)建立了復雜截面深梁橫力彎曲的力學模型，揭示了薄壁深梁彎剪耦合變形機理，提出了各種復雜截面、不同荷載、不同支承方式及不同跨高比時，深梁應力、變形的解析計算方法；并提出了梁臨界跨高比的新概念，既豐富了著名力學家S.Timoshenko深梁理論，又為深孔鋼閘門設計提供理論方法，為修訂規范提供了理論基礎。

(3)提出了弧門樹狀支臂結構，依據穩定理論證明了樹狀支臂閘門具有輕型穩定的優越性。

(4)提出了弧形鋼閘門空間結構最優結構布置型式，首次將深孔弧門支臂布置優化與截面優化統一起來，并通過大量工程實例研究給出了支臂最優布置個數N與孔口寬高比及總水壓力的關系。