小學數學數量關系教學的實踐與思考

周浦吉

（常州市武進區鳴凰中心小學，江蘇常州 213000）

一、當前背景

傳統“應用題”教學留下“熟悉類型—識別類型—套用解題方法”的基本模式。以發展的眼光來看，類似這樣機械的數量關系教學并不可取。而新課改后的教學又將關注的重心過多地放在對信息的收集、整理上，對數量關系的形成與分析顯得比較單薄，導致教學從“生活情境”直接走向“應用”，忽視了“數量關系形成”這個重要的數學建模過程。這樣的教學，勢必會削弱學生解決問題的思考能力，縮小學生的數學理解空間，這與新課程要求“解決問題”教學所要達到的目標相去甚遠。

二、實質內涵

數學的本質是：在認識數量的同時認識數量之間的關系，在認識數的同時認識數之間的關系。數量之間最基本的關系是多與少，因此數量關系的本質是多與少。他認為小學應用題從本質看，只有三種類型：1.總價=單價×數量、路程=速度×時間；2.植樹問題；3.歸一法問題，其余都是變式題型。

我們也可以將四則運算意義分為兩大類，一類是部分量與總量的從屬關系，另一類是兩個量的比較關系。

簡單地講，小學數量關系就是加、減關系、乘、除關系以及復合關系。加減計算是一切計算的基礎，由此產生的加減關系自然成為所有數量關系的基礎，加減關系從小學一年級一直延伸到六年級。加減法的關系具體表現在兩方面，一方面是部分與總數的部總關系可以有不同的呈現方式讓學生感知；對加法的逆運用——從總數中減少一部分數。另一方面是比較類，也就是比大小，相差關系。

而對于乘除法，乘法本身產生于加法，是一種簡便的加法，每個加數都相同的連續加法就是乘法；同理除法也是一種特殊的減法，連續遞減同一個數，直至減完為止，就是除法。因此對應的乘除法關系也有兩大類，一類是總數、每份數、份數關系；讓學生體會到乘法的三種模型：連加、數軸和矩陣，并且熟識它們之間的轉化。乘除法的第二類關系是比較類，該類關系是把較小的數看成一份，較大的數有這樣的幾份，或者把較大的數看成單位“1”，較小的數有這樣的幾分之幾。

復合數量關系就是既有加減關系，又有乘除關系。實際來說，復合類解決問題才是教學的難點，復合應用題需要同學們能理解兩層邏輯關系，先抓住題干中的主要數量關系，然后再尋找子元素下的分數量關系，就能有效解題了。

一上已經滲透了部總、相差和分總關系，一下有大量的部總和相差關系，二上是更抽象的相差關系和分總關系。也就是到二上為止孩子們對于部總、相差和分總之間的關系應該是比較清楚的了。二下是兩步計算的問題，以及分總關系的一種變形。到三上是倍數關系，并且出現連除的問題。這就要求前期對數量關系是非常熟悉和熟練的。到三上為止，基本的數量關系都出現了，并且都應該是比較熟練的。三下還有連乘的問題。后期都是把數量關系柔和到一起進行使用，因為出現兩步甚至三步的解決問題。其實還是萬變不離其宗的。從三上開始出現解決問題的策略，每冊書一種策略。

三、教學策略

數量關系的教學，承載著學生“由表及里，由淺入深”的質的飛躍。教師的教學應“深入淺出”，學生的學習應“淺入深處”。如何把握這“深”與“淺”的度，我們認為可以從以下幾個方面嘗試：低段啟蒙 感知數量關系、情境感悟 提煉數量關系、全程貫穿 分析數量關系和生活中數學靈活選擇數量關系。

策略（一）：低段啟蒙 感知數量關系

在前面我們已經提到：四則運算的意義是數量關系最為基本的模型，數量關系與四則運算是相伴相生的，所以數量關系的教學要伴隨著四則運算同步進行，在四則運算意義教學中有效滲透數量關系，做到低段啟蒙，感知數量關系。如在二上學完表內除法后，設計了這樣一題：根據這幅圖，請學生說說下面算式的意思：8＋2、8-2、8×2、8÷2。學生的回答是比較精彩的：8＋2表示買1個文具盒和1塊橡皮一共要多少錢。8-2表示買1個文具盒比1塊橡皮要貴幾元錢。8×2表示買2個文具盒要多少錢。8×2表示買8塊橡皮要多少錢。8÷2表示買1個文具盒的錢可以買幾塊橡皮。這是一個比較復雜的問題，引導學生主動把實際問題與加減法和乘除法的意義聯系起來，有利于學生加深理解數量關系，發展學生的求異思維能力。

只有以各種方式不斷拓展對運算本質的理解，才能逐步完善學生對運算意義的建構。在此過程中學生也會有意識地思考情境中的問題與運算意義的聯系，基本數量關系的教學也得到潛移默化的滲透。

策略（二）：情境感悟 提煉數量關系

新教材提倡讓學生自主經歷，從實際問題情境中探索隱含的數學模型，然后去解決數學問題，體現數學的過程。

如二上40頁習題：一包餅干是4元，一塊蛋糕是3元，一盒巧克力是6元，那么3包餅干、5塊蛋糕和2盒巧克力分別是多少元？教師可以大膽放手。首先讓學生自己計算，出示算式，讓學生初步感受到一包餅干、一塊蛋糕和一盒巧克力的價格是“幾個幾”中第二個“幾”，3包、5塊和2盒是第一個“幾”，其實就是每個物品的價格、物品個數、物品的總價。并且通過觀察、比較，學生還會發現三個算式的共性，找到三者之間的關系，從而構建出“每個物品的價格×物品個數=物品的總價”這一具體的數量關系，其實也是“每份數×份數=總數”的具化。在教學的時候，就可以滲透單價、數量、總價的概念了，構建總價類數量關系。

其次，也可以采用一些已有的生活常識與經驗來增強學生的“數感”訓練。如利用學生熟悉的購物經驗，可以進行總價數量關系的專項練習；也可以利用學生熟悉的路程問題，進行對比梳理。幫助學生建構常見的數量關系。

策略（三）：全程貫穿 分析數量關系

并不是當我們遇到一個問題，才想起數量關系教學；數量關系的教學也不是一蹴而就的，必須經歷由特殊到一般、由量變到質變、由感性到理性、由具體到抽象等過程。

如三下長方形和正方形面積教學，學生通過列表感悟長、寬與面積的關系；再出示圖形，分割，發現一行有5個小正方形，有這樣的3行，所以小正方形的個數是3×5得15個。這里就包含著簡單的數量關系——分總關系，從而分析出具體的數量關系——長×寬=面積，從而類比出正方形面積計算公式。

而對于平行四邊形、三角形和梯形的面積的計算學生存在很大的問題，因為在教學中往往會忽略探討問題的過程，從而學生只記公式，最后公式經常記錯，比如平行四邊形的面積會把兩條邊的長度乘起來，這種問題究其本質，是因為學生沒有真正理解平行四邊形的面積公式是如何利用數量關系推導而來的,北京特級教師劉延革老師是這樣教學的：

師：長方形的面積=長×寬，長表示什么意思？寬呢？

生：長是一行有多少個面積單位，寬表示一列有多少個面積單位，面積就表示有多少個面積單位。

師：正方形面積=邊長×邊長，在計算面積時，邊長表示什么意思？

生：和長方形一樣，都是一行有多少個面積單位和一列有多少個面積單位。

師：再想想長方形和正方形在計算面積的時候有什么相同的地方？

明確：有兩條邊相乘，第一個數表示一行有幾個面積單位，第二個數表示一列有幾個面積單位也就是有幾行，最后算得一共有多少個面積單位。

追問：誰再來說一說？

提問：你能用剛剛的方法解決平行四邊形的面積嗎？

學生操作活動。

交流探討學生都想到要轉化成一個長方形或幾個長方形來計算。

提問：每行單位面積的個數對應平行四邊形的哪里？行數呢？

推導公式：平行四邊形的面積=底×高。

……

劉延革老師在新授課前做了很多鋪墊，復習長方形和正方形的面積公式，可是她不光光復習面積公式，更多的是復習面積推導方法，從而為后面的教學提供了有力的保障。事實上面積公式的探究權利應該教給學生，學生進行操作活動，將新圖形轉化成學過的已知圖形，找到新舊兩個圖形之間的對應關系，推導出公式，從而抽象出“直角模式”：一行單位面積的個數和行數，所有圖形的面積都是由幾行單位面積堆疊出來的，要找到這樣堆疊的單位面積就需要進行轉化成有直角的圖形——長方形，那么計算面積的時候就得把底和高相乘，而不是兩條邊相乘，同樣地，如果接下來梯形或者圓形的面積公式孩子也會有一些方法，而不會盲目效仿記憶公式。

面對一個問題情境，比如三上《長方形和正方形》教學，籃球場長28米，寬15米。籃球場的周長是多少米？教師應鼓勵學生基于自己已有的知識經驗自主構建“原生態”的數量關系，大部分學生都會得到求周長的方法：長+寬+長+寬，在此基礎上，教師可以引導學生進一步轉換思維視角，獲得更簡單、更為概括的數量關系第一次簡化：長×2+寬×2，第二次簡化：（長+寬）×2，通過對這一數量關系的變式運用，實現數量關系結構化遷移，從而貫穿我們教學的始終，學生有了這樣的數量關系結構化遷移的經驗，自然而然地會發現在解決問題時，一開始方法可能復雜的，可是隨著探究數量關系的遷移，問題會越來越簡單，也許這才是新課標中說的真正地解決問題吧。

目前，很多職業院校會計教學仍然是“一支粉筆走天下，一塊黑板寫春秋，一本教材定乾坤”，現代化的會計教具和教學手段十分有限，硬件設備落后，會計實訓器材缺乏，會計模擬實訓室不能充分發揮作用，實訓基地不足，實訓課成了名副其實的“副課”“加時課”，不能將原理與實務、手工記賬與會計電算化、會計核算與分析有機結合,不能滿足學生學習會計專業知識的需求。[1]

策略（四）：靈活運用 提煉數量關系

在教學中，數量關系是解決問題的途徑，既是可操作的方法，也是解決問題的策略，因此數量關系教學應與解決問題的策略互相滲透。傳統應用題教學中，分析法和綜合法是運用最多的具體方法，值得我們學習。它們有別于針對解決某類典型問題的單項技能技巧，具有廣泛的基礎性、遷移性和普適性，是解決任何問題都需要具備的最基本的能力。

教材還介紹了畫圖法、列舉法、倒推法、替換法和假設法。這些策略與數量關系分析，是你中有我，我中有你，并不是孤獨存在的。可是不管是哪種方法可能都是孩子解決問題的策略，在策略中需懂得其中的本質方法——數量關系，如植樹問題一直是教學中的一個難點，但是我想難就難在沒有懂得其中真正的數量關系，也就是明確點和段的關系。浙江特級教師俞正強老師是這樣教學的：

師：20米，5米分1段，共分幾段？

生：4段。

師：為什么？

生：因為20 ÷4=5。

師：為什么用除法解決？不用加、減法？

生：因為是平均分的問題。

師：你可以用圖形來表示嗎？

學生畫圖

師：20米，5米種一棵樹，共種幾棵？

生：4棵。

師：有不同意見嗎？

生：前面還有一棵，所以應該4+1=5（棵）。

師：到底是4棵還是5棵？怎么證明是5棵？

生：用畫圖的方法。

師：好，那你們去試試。

學生都畫圖。

師：實際上這是什么問題？

生：平均分的問題，所以用除法。

師：后面為什么還要加1？這兩個問題的相同點是什么？不同點是什么？

生1：相同點是都是平均分的問題，不同點一個有1道算式，另一個有2道算式。

生2：第一個是求“段”的，第二個是求“點”的。

師：樹是種在哪里的？

生：種在點上。

師：1段有幾個點？2段？3段呢？

……

不管最后是一頭種樹，還是兩頭種樹還是兩頭都不種樹，學生都能通過畫圖的方式明確是求點的問題，都是平均分成幾段后加1，再從圖上看哪里不種，再用點數減幾就能得到正確的答案，這樣學生不需要再去刻意地記憶公式，只需要記住畫圖的方法就可以了，最后也培養了學生探究數學規律的能力，學生的感悟也非常深刻，這樣的教學真的非常棒！

最后，學生數量關系的形成低段啟蒙是重點，提煉概括是升華，全程貫穿是保證，靈活運用是關鍵。新一輪課程改革中如何引領學生更好地提煉數量關系，需要全體教師的主動參與，更應該以新的觀念、揚棄的態度，傳承精華、開拓創新，讓學生動態探索，真正達到靈活運用數量關系的目的。