基于多元表征的小學數學概念教學探索

黃曉丹

建構主義學習觀認為，在學習知識時，要想實現對知識深刻、真正的理解，學習者需要使掌握的知識呈現出結構化、整合性等特征。在當前的數學課堂中，學習活動已經呈現出新的顯著特征，但是仍有教師在教學過程中存在誤區，導致學生的合作學習僅停留在比較淺顯的表層，未能真正培養學生的綜合能力，也不利于學生數學素養及必備品格的發展。因此，應展開怎樣的合作學習？如何才能通過合作學習培養學生的多元化技能？應實施怎樣的合作學習策略？這些都是一線教師需要關注和思考的問題。而在數學概念教學中引入多元表征，能夠幫助學生在掌握基礎概念的同時了解其內涵與外延，既有助于促進學生新知的生成，又有助于學生發展數學思維，提高解題能力。就當前的數學體系來看，概念經歷了多層次的抽象、多視角的歸納以及多維度的建構，在這種情況下，無論是數學知識的內在表征，還是具體的數學思維過程，都是可感、可視的。

一、借助縱橫推進，引導學生建構概念

數學概念之間是存在聯系的。因此，在小學數學概念教學中，教師要善于借助縱橫推進的策略，引導學生對概念進行建構，讓學生在處理縱向化表征與橫向化表征的過程中，開展高效的數學概念學習。

（一）縱向化表征，促進學生對概念的多層次建構

在小學數學概念教學中，教師需要以小學生的認知規律為基礎，由具象到抽象，合理運用縱向多元表征，對小學生形成思維引領，使其逐漸剝離事物中個性化、非本質的屬性部分，并保留事物的共同屬性、本質屬性等，分層次深入架構數學概念。

以“認識數字1—10”為例，教材中除了呈現實物情景圖之外，還融合了圖形表征、書寫符號表征以及動作表征等。教師可基于實物表征的方式，讓學生建立數學知識皆來自現實生活的感知。同時，基于圖形表征，教師能夠從中剔除實物本身的物理屬性，保留學生易于理解的數量屬性；基于書寫符號表征，教師能夠幫助學生在數量和符號之間建立一一對應的關系；基于動作表征，學生可以實現對知識的進一步鞏固與內化。此外，在課堂教學過程中，還有一項必不可少的內容，即言語表征，比如認讀數字“7”。在經歷了由具象到抽象的學習之后，學生也能獲得較好的學習體驗。因此，借助多元表征，能夠使學生在面對客觀事物時，將其數量內化為認知結構，從而加深對自然數“7”的認知。

概念在持續生成時，也會帶動具體表征的改變。以“認識100 以內的數”為例，教材中呈現出了多元化的表征方式，比如小棒計數器及實物等。借助不同的表征，不僅能夠使學生建立初步認知，把握數位的內涵，還能夠以書寫符號表征呈現書寫和模型之間的一一對應關系。此外，還需輔助教師的言語表征，幫助學生在數的讀法和書寫之間建立對應關系，使學生感受由具象到抽象的過程，加深對兩位數概念的認知。

（二）橫向化表征，促進學生對概念的多維度理解

所謂橫向化表征，也就是立足于不同的視角解讀數學概念的外延，既能夠呈現豐富的樣例，又能夠讓學生積累足夠的顯性經驗，使其能夠在解讀概念的過程中形成多視角、多維度的感知，進而完成對概念的初步梳理和歸納。

以“角的初步認識”教學為例。首先，教師可以呈現實物表征，比如生活中比較常見的剪刀、三角板等，引導學生從中發現角，學會畫角。在這一過程中，學生還能夠自主完成對角的分類，對不同類型的角建立圖形表征。其次，教師應引導學生基于文字進行歸納。在經歷了多元表征之后，學生不僅可以在腦海中初步架構角的外形，掌握其概念，而且還能夠結合圖形進行梳理，發現其特征。

二、借助多元形式，引導學生探究概念

隨著認知心理學的快速發展，概念教學呈現出了各種新的變化，不再以單一表征為主，而是逐漸發展到多元表征，強調概念本質及意義的探尋過程。教師在引入不同的表征方式之后，能夠對概念和問題展開不同維度的解釋，也就是基于不同的視角闡釋其本質。因此，在組織概念教學的過程中，教師要對學生進行正確的引導，為學生呈現不同的表征方式，幫助學生完成概念的建立及知識的內化，使學生能夠準確把握概念的內涵、外延。

（一）借助表象表征，豐富概念感知

對于學生來說，建立感知的外界因素就是具有直觀性的各種實物素材，并且需要對其表面現象及外部特征中的相關信息進行搜集與整理。可見，這部分認知主要體現在感性層面。學生只有積累豐富的感知，才能在腦海中建立清晰的表象，才有助于激活想象力，使實物和概念之間建立一一對應的關系，從而更好地理解概念、掌握概念。所謂豐富的感知，并不能僅限于某種感知的數量，而應借助多元的路徑及方法。而學生也應基于不同的角度、形式以及感官體驗，對素材留下深刻的印象，建立準確而具象的認知，提升數學思維。

例如，在講解“分數的初步認識（二）”時，教師在完成例題1 的教學之后，可以繼續追問：“桃子的總個數有6 個、4 個、8 個，由于總個數不同，均分為兩份的話，每份所得到的個數也有所不同，是否都可以用1/2 表示？如果需要分的桃子的數量是10 個、48 個，100 個，甚至更多，也可以這樣表示嗎？”教師通過呈現一組總數相同、均分份數相同的桃子的圖片，引導學生展開觀察、對比、思考、交流，最后將桃子的實物外形隱去，轉化為其他物體，并同時給出提示：“這個整體可以看作一盤桃子，也可以將其轉化為生活中常見的其他物體所組成的整體，只要將其均分為兩份，則每一份都代表本整體的1/2。”經歷了比較與辨析之后，學生可以清晰地把握部分和整體之間的關系，從而加深對某一整體的幾分之一的理解，深刻把握分數的本質。

（二）借助表達表征，促進概念理解

在學習數學概念時，教師都會提前布設實物，以幫助學生建立直觀感知，然后基于引導逐步過渡至圖形，最后再利用語言進行生動的描述。在用語言對概念進行表述的過程中，要經歷以下環節：基于學生的語言表述、基于規范的數學語言表述、基于個性化的語言表述。而這也是提升學生表述能力的重要途徑。

規范的數學語言一般包括符號、文字、圖示等多元化的形式，并且具體的學習過程要依賴于符號語言，因為這種方式既直接又具象。因此，教師應強化概念教學，一方面可以使學生建立正確的認知及進行清晰的表達；另一方面，也能夠推動學生學以致用，使學生可以在應用的過程中感受數學的奧秘。以“因數和倍數”教學為例。學生對因數、倍數等概念比較陌生，教師細致講解后，需要學生理解和記憶。一位教師在解讀這一環節時，首先為學生呈現了乘法算式——“4×3=12”，目的是借助這個算式幫助學生對上述概念建立初步認知。此后，這位教師還提供了表達方式：（ ）和（ ）是（ ）的因數，（ ）是（ ）的倍數，（ ）也是（ ）的倍數。這是一種規范的數學表達，在給出其他算式之后，要求學生借助這種表達方式說一說、練一練，從而使學生有效地將數學思維和數學表達結合起來，同時也有助于培養學生的語言表達能力，使學生體會到數學語言表達的規范性和科學性。所謂數學表達，簡單來說，就是在學習的過程中，對具體的實踐及應用過程作出規范的描述，這種描述有助于學生把握概念內涵、事物本質屬性，能夠為學生更好地理解和記憶知識提供助力。

（三）借助過程表征，推進概念內化

概念的學習需要經歷一個完整的過程：感知素材、建立表象、抽象概念、具體化概念。這也是在整個概念教學過程中教師必須關注的重要過程。首先，教師需要為學生創設可以促使其展開深入觀察、分析和思考的平臺，這樣才能夠使學生聚焦注意力，積極主動地參與一系列認知活動，例如建模、對比分析等，體驗概念的生成過程，進而更好地進行應用與實踐。只有經歷了這一過程，學生對概念的認知才能夠從具象化、感性化上升到理性層面，才能夠清晰地把握概念的本質屬性。

例如，在講解“分數的初步認識（二）”時，為了幫助學生建立直觀認知，教師首先提出問題，引導學生圍繞該問題直接開展操作活動，體驗完整的觀察、對比、分析等思維活動，從而建立起對“幾分之一”概念的認知。在經過了多次對比分析之后，學生能夠從中把握變量及定量的概念，并從中提煉出分數的本質屬性，作出規范的數學表達[1]。其次，引入變式，一方面是為了幫助學生建立新舊知識對比；另一方面也可以結合課后拓展等多元化的方式，促使學生的感性思維上升到理性思維，通過新舊知識之間的邏輯關聯，促進原有知識結構體系的完善。在經過實物操作、圖像操作及符號操作之后，學生可以結合多元表征實現對信息的操作處理，使信息外顯化、豐富化。這在一定程度上能對學生形成有效的思維引領，幫助學生完成對知識的意義架構，同時也有助于深化學生對概念的理解，并使學生在這一過程中獲得成功的體驗。

三、發揮表征魅力，引導學生內化概念

建構主義學習理論認為，在主動建構的過程中，作為認知主體的學生，具有極其重要的地位和作用。那么，如何才能幫助學生準確把握概念的內涵和外延，是教師需要深入考量的核心問題。將多元表征引入數學課堂教學，不僅有助于促進學生生成新知，而且也是發展學生數學思維、提高學生解題能力的關鍵路徑。因為多元表征的本質在于對數學概念進行多層次的抽象、多角度的歸納，有助于學生完成多維度的建構，改變數學內在表征及思維過程原本的不可視狀態，使其變得真實、可感。

（一）引導學生動手操作，促進概念內化

在小學數學概念教學中，教師要善于引導學生動手操作，促進學生對數學概念的內化。只有這樣，才能夠達到事半功倍的教學效果[2]。

例如，在講解“分數的初步認識（二）”時，教師可為學生提供自主探究的機會，由學生完成以下問題的探究：“給你24 顆糖，你認為可以平均分成幾份？根據你的分法，每一份是總數的幾分之幾？”接下來，教師可讓學生開展自主操作，并根據學情反饋，提出問題：“這里面哪些因素發生了改變？哪些沒有發生改變？為何會出現這樣的情況？”結合問題，教師可讓學生以小組為單位進行操作，并實時巡視，發現學生存在的問題并及時糾正。在這一過程中，教師不僅引入了聽思、學思相結合的教學方式，還實現了多感官的感知，使學生可以完整地體驗分數這一概念的創造過程，體會其應用。這顯然能夠改變概念的抽象性，使其變得具象可感、親切活潑。在教師的引導下，雖然最初呈現的是圖形表征，而學生通過操作可以將其轉化為符號表征、言語表征等多元化的方式，深化對分數概念的理解。引入遷移、變式等多元化的學習方式，不僅有助于推動概念的轉化，也能夠幫助學生鍛煉并提升數學思維，促進學生綜合素養的全面發展。

（二）運用 “大問題” 導學模式，深化概念理解

數學教學是為了發展學生的數學思維，提高學生的解題能力。在小學階段，教師可引入“大問題”導學模式。“大問題”是指一類問題，包括數學知識的本質、重點、關鍵點等。那么，怎樣才能更好地發揮“大問題”的導學功能，從而提高學生的數學思維水平呢？以下是結合教學實踐提出的具體教學舉措。

例如，在講解完“乘法的初步認識”后，為了能夠讓學生更好地鞏固新知，主動關聯舊知體系，順利解決現實問題，筆者設計了一個“大問題”，即“9+9+9+5+9=？”。設置這一問題的目的是引導學生回顧、梳理乘法的意義。經過討論之后，學生認為可以將加法轉換為乘法，這種方式會更加便捷。為了進一步引導學生思考，筆者提出問題：“那么，引入乘法計算的關鍵因素是什么？”學生的做法大多是在算式中找有幾個“9”，這樣就能夠對算式進行轉化，變成“9×4+5”。順著學生的思路，筆者繼續提問：“你能否找到其他的便捷方法？”此時，學生發現也可以把“5”當作“9-4”，這樣就能夠轉化為“5×9-4”，這同樣是一種有效的簡便方式。

在“大問題”的引導下，學生能夠成功地運用已經掌握的方法、知識，實現新、舊知識的相互轉化，將題目中的“5”轉化為“9-4”，以此提出乘法的簡便計算策略，這就是一種創新思維。

總之，多元表征與小學生的認知規律、認知特點相符。通過實踐操作，學生既能夠在各種表征之間建立溝通和聯系，又能夠形成從多個維度看待問題的意識，徹底領悟概念的本質，把握概念的內涵和外延。