相繼投影同步及其在保密通信中的應用

祝曉靜，李科贊，丁 勇

(1.桂林電子科技大學數學與計算科學學院,廣西 桂林 541004;2.鵬城實驗室網絡空間安全研究中心,深圳 518055;3.江蘇省無錫交通高等職業技術學校， 江蘇 無錫 214000)

0 引言

復雜動力學網絡被定義為大量的網絡節點耦合形成的網絡，其中每個節點都是一個動態的子系統。復雜網絡是現實系統中常用的建模工具，其中，元素被定義為節點，鏈接表示元素之間的交互關系。過去十多年，我們見證了復雜動力學網絡在各個領域的發展，如生物網、神經網、食物鏈網、國家電網、互聯網、保密通信技術[1-6]等。復雜網絡無處不在，因此研究復雜網絡上的動力學行為是很有必要的。

網絡節點的同步性是復雜網絡的一種非常有趣的現象。同步是一個典型的集體行為，是指所有節點相互同步或到達期望的軌道[7-9]。網絡同步由于在通信、圖像處理、神經網絡和信息科學等領域[10-12]的潛在應用而受到越來越多的關注和廣泛的研究。到目前為止，關于復雜網絡的同步已經有很多成果。Hu等[13]和Parekh等[14]分別研究了兩種特定網絡中的同步:小世界網絡和無標度網絡。隨后Mahmoud等[15]引入了復雜的混沌系統，研究了耦合完全相同系統的全局同步問題。對于生活中的一些復雜網絡，為了更快實現同步，考慮添加適當的控制器，例如：線性控制、自適應控制、間歇控制[16-18]等。

相繼投影同步是完全同步和投影同步的推廣形式，然而有關它的控制理論，特別是牽制控制理論，仍相當缺乏。故本文對自適應牽制控制下實現相繼投影同步開展研究，具有重要的現實意義。

復雜網絡通常由大量的節點構成，出于實際考慮，引入了控制少量節點的思想，稱之為牽制控制策略。同時，自適應控制方法有利于整個網絡獲得合適的控制增益，保證網絡同步[19-20]。在不完全了解耦合系統的模型參數、耦合強度及外部干擾的情況下，更宜采用自適應控制。牽制控制和自適應控制的成本低，在實際動態網絡中得到廣泛應用。文獻[21]利用自適應反饋控制方法，研究了驅動網絡和響應網絡對應節點之間的投影同步。基于以往研究中提出的控制方法，如果驅動系統不是部分線性系統，要想實現投影同步，則需對驅動響應系統施加非線性控制[22]。當比例因子推廣成矩陣或者函數時，投影同步相應推廣為修正投影同步或函數投影同步[23-24]。Sun等[25]在驅動響應網絡之上引入通信時滯，通過對響應網絡的所有節點追加自適應反饋控制器，獲得了實現投影同步的充分條件。盡管許多研究者對網絡投影同步進行了研究，然而，關于自適應牽制控制下實現相繼投影同步還是一個開放性問題。另外以往的投影同步在保密通信中的應用，只適用于一對一發送信息。已有的保密通信系統都是基于低維的驅動響應系統[5-6,26]，驅動系統對應單個的信息發送者，響應系統對應單個的信息接收者。如果有多個接收者想同時接收發送者發出的信息，那么這些保密通信系統就不再適用了。

通過以上分析，本文做了以下工作：1)設計自適應牽制控制策略實現相繼投影同步問題，利用李亞普諾夫穩定性理論，得到了兩個簡單實用的同步判據；2)將相繼投影同步的牽制控制理論運用到保密通信，提出了一類能夠有效實現一對多實時發送信息信號的保密通信系統；3)借助數值仿真分析，檢驗了相繼投影同步理論的準確性和保密通信系統的可靠性。

1 網絡建模及預備知識

1.1 網絡建模

引入一類由n+1個節點耦合而成的復雜網絡[27]，描述如式(1)所示。

(1)

以及

(2)

1.2 預備知識

定義1[27]對任意的初始條件xi(0),i=0,1,2,…,n和y0(0)，如果存在M>0,α>0,t0>0,驅動響應網絡(1)～(2)的解滿足

‖x0(t)-βi-1xi(t)‖≤Mexp{-αt}

(3)

對所有的t>t0,i=1,2,…,n都成立，那么稱相繼投影同步是全局指數穩定的。

假設1[28]驅動系統(1)是最終有界的，即存在μ>0和t0>0，?t≥t0，有‖(x0(t),y0(t))‖≤μ。

引理1[27]已知對稱矩陣A=(aik)∈Rn×n不可約，Rank(A)=n-1，且行和皆為零。記Di(d)為第i個主對角元為d且其它對角元皆為零的n階對角矩陣，其中d≥0。以下結論成立：

1)A-Dj(d)<0，其中d>0，j=1,2,…,n。

2)對任意j∈{1,2,…,n}，若d>d′≥0，則λi(A-Dj(d))≤λi(A-Dj(d′))，i=1,2,…,n。

3)對任意j,k∈{1,2,…,n}且j≠k，d>0，d′>0，有λi(A-Dj(d)-Dk(d′))≤λi(A-Dj(d))，i=1,2,…,n。

引理2[29]已知G,H為n階實對稱矩陣，若H半正定，則

λi(G)≤λi(G+H),i=1,2,…,n

其中，等號對于某些i成立，當且僅當H是奇異的，且存在非零向量y使得Gy=λi(G)y，Hy=0，(G+H)y=λi(G+H)y同時成立。

引理3[29]對于任意實對稱n×n矩陣G和H，其特征值滿足

λk(G)+λn(H)≤λk(G+H)≤λk(G)+λ1(H)

其中，k=1,2,…,n。

2 主要結論

自適應控制策略能有效減少控制增益的大小，從而降低控制成本。依定義1，將同步誤差定義為：ei(t)=x0(t)-βi-1xi(t),i=1,2,…,n。

(4)

證明：在自適應控制器(4)下，驅動響應網絡(1)～(2)的相繼投影同步誤差系統為：

當i∈U時，

(5)

當i?U時，

(6)

構造Lyapunov函數如式(7)：

(7)

(8)

(9)

推論1給定δ>0，任選i0∈{1,2,…,n}。若存在t0，使得當t>t0時耦合強度滿足

(10)

則可設計如式(11)的自適應控制器

(11)

證明：由定理1，只需證明λ1(In?Ms(y0(t))+c(A-Di0(δi0))?Im)<0。由引理2，以及Kronecker積的性質，我們知道，

λ1(In?Ms(y0(t))+c(A-Di0(δi0))?Im)
≤λ1(In?Ms(y0(t)))+cλ1((A-Di0(δi0)))?Im)

=λ1(Ms(y0(t)))+cλ1(A-Di0(δi0))

由引理1的結論(1)，知λ1(A-Di0(δi0))<0。于是，式(10)成立時，必有λ1(In?Ms(y0(t))+c(A-Di0(δi0))?Im)<0。取U={i0}，依定理1，得證。

只要耦合強度足夠大，那么由推論1可知，在自適應控制(11)下，只需要控制一個節點，就能保證相繼投影同步的全局指數穩定性。如果耦合強度不夠大，由定理1，那么需要控制多個節點。文[19]和[20]利用自適應控制方法研究了復雜動力學網絡的投影同步問題，不過需要對網絡的所有節點追加控制器。因此，在實際應用中，特別是針對大規模的網絡結構，本文提出的只控制部分節點或一個節點的自適應牽制控制方法具有較大的優勢。

3 仿真檢驗與保密通信上的應用

3.1 仿真檢驗

(12)

其中,參數σ=10,α=28,b=(8/3)，f(x0(t),y0(t))=-by0(t)+x01(t)x02(t)，且

(13)

響應網絡大小為n=5，其耦合矩陣選取為

(14)

圖1 自適應控制下的時變增益di(t)Fig.1 Time-varying gain di(t) under adaptive control

圖2 自適應控制下的相繼投影同步誤差E(t)Fig.2 Successive projective synchronization error E(t) under adaptive control

圖3 驅動系統(15)的相圖Fig.3 Phase diagram of the drive system (15)

圖4 明文z(t)，同步誤差E(t)Fig.4 Plaintext z(t), synchronization error E(t)

圖5 第1個節點解密后的明文z1(t)，解密誤差Fig.5 Decrypted plaintext z1(t) of the first node and decryption error

圖6 第2個節點解密后的明文z2(t)，解密誤差Fig.6 Decrypted plaintext z2(t) of the second node and decryption error

圖7 第3個節點解密后的明文z3(t)，解密誤差Fig.7 Decrypted plaintext z3(t) of the third node and decryption error

圖8 第4個節點解密后的明文z4(t)，解密誤差Fig.8 Decrypted plaintext z4(t) of the fourth node and decryption error

圖9 第5個節點解密后的明文z5(t)，解密誤差Fig.9 Decrypted plaintext z5(t) of the fifth node and decryption error

3.2 基于投影同步的混沌保密通信

基于相繼投影同步原理，本節構建一類混沌保密通信系統，可實現一對多實時發送信息，較一對一的保密通信系統[5-6,26]具有更高的信息發送能力。該保密通信系統由發送端、接收端和解密過程構成。

1)發射端(信息發送者)。

(15)

其中,z(t)∈R為明文，即信息信號,發送端對應驅動系統。

2)接收端(信息接收者)。

(16)

其中,si(t)=β1-i(z(t),0,…,0)T+di(t)x0(t)為發送給第i個接收者的密文，即傳輸信號。x01(t)為混沌載波信號。假設信道是無損信道，即接收者能完全無損耗地收到密文。接收端對應響應網絡。

3)解密過程。

不同接收者的解密過程是不一樣的，主要依賴于該接收者在響應網絡中的編號。當第i個接收者收到密文si(t)后，作變換[si(t)-di(t)βi-1xi(t)]×βi-1，當相繼投影同步發生后，就有[si(t)-di(t)βi-1xi(t)]×βi-1→(z(t),0,…,0)T,這是因為

其中,zi(t)為解密后的明文。當相繼投影同步發生后，即ei(t)→0，就有zi(t)→z(t)，即解密成功。值得注意的是，每個接收者必須按照自己的編號進行解密，否則就會解密失敗。而且，di(t),β這些參數起到了密鑰的作用，接收者只有準確知道這些參數，才能成功地解密，大大增加了保密通信系統的安全性。

不難看出，系統(15)～(16)的相繼投影同步誤差系統與(6)完全一樣，這意味著第2節中的穩定性條件完全適用于系統(15)～(16)的相繼投影同步。方便起見，不加明文時，驅動系統仍設定為混沌的Lorenz系統，響應網絡結構仍由(14)給出。不過，需要注意的是，由于系統(15)是在Lorenz系統的基礎之上增加了信息信號，相當于對Lorenz系統做了擾動。此時，λ1(Ms(y0(t)))的上界需要重新計算。

4 結語

本文首先研究了自適應牽制控制下相繼投影同步問題。然后，設計了一種有效的自適應牽制控制策略，該策略具有更靈活的自適應律。自適應牽制控制策略通過調整反饋增益來實現反饋增益和耦合強度之間的平衡。在該控制方案中，只是控制部分節點，可以有效降低控制成本。同時，本文設計了一種基于混沌掩蓋技術的保密通信系統，可實現一對多實時發送信息，且具有解密速度快和安全性高的特點。最后，通過對兩個混沌系統的數值仿真，驗證了所提同步方案的有效性和可行性。