基于灰色動態模型群的衡水市居民年用水量預測

吳永強，李明凱,2，唐中楠，王書盛，王錦濤

1.河北建筑工程學院市政與環境工程系

2.河北省水質工程與水資源綜合利用重點實驗室

水資源是生態環境建設和社會可持續發展的重要基礎。隨著衡水市城市規模的持續擴大，城市常住人口的不斷增加，用水量增長迅速，供水的復雜性和不確定性日益凸顯，難以對城市未來需水量和供水量進行準確把握。因此，準確預測分析城市供水量和需水量，對有效預防供水過剩導致的水資源浪費和供水不足導致的用戶缺水等問題具有重要意義。

用水量預測研究是水資源規劃和供水調度的重要基礎環節，只有準確合理地預測城市用水量，才能為城市水資源規劃調配提供合適的參考依據。秦歡歡等[1]采用系統動力學模型，考慮影響用水量等諸多因素，設定了4 種不同城市發展情景，對北京市用水量進行預測分析。宋帆等[2]建立灰色關聯—集對聚類預測模型，對吉林省進行短期用水量預測。在城市需水量預測方法中深度學習法逐漸被應用。如牟天蔚等[3]以深度學習框架為基礎建立了小波深度信念網絡（SW-DBN）時間序列模型，并應用該模型對城市日需水量進行預測，與BP 神經網絡預測模型相比，該模型可以對大樣本進行更加準確的預測，且提高了城市日用水量預測精度。

灰色模型預測用水量所需數據少，對短中期用水量預測有較好效果。相比其他預測模型顯示出一定的優勢，但當原始數據離散大時精度差[4]。基于灰色模型的優缺點，許多學者對灰色預測模型進行優化改進研究。如柳燁等[5]將微粒群算法優化結合GM(1,1)模型對城市用水量進行預測；任曄等[6]使用灰色神經網絡組合模型對年降水量進行預測；趙宇哲等[7]采用灰色振蕩序列GM(1,1)模型對城市用水量進行預測；唐萬梅[8]提出了一種新型的灰色支持向量機預測模型；劉獻等[9]采用馬爾科夫鏈修正的殘差灰色模型對生活用水量進行預測；杜懿等[10]在前人的研究基礎上進行概括總結，綜合預測方法，對比不同預測模型精度并應用于廣西省年用水量預測；白鵬等[11]以京津冀為研究區域，對比了灰色神經網絡法、年增長率法和自回歸模型法，并采用灰色神經網絡法進行京津冀地區2019—2025 年的年用水量預測；劉呈玲等[12]建立了用弱化算子改進后的灰色GM(0,N)模型，并對太湖流域2016—2020 年用水總量進行預測；唐曉靈等[13]以關中平原城市群為研究區域，應用網絡SBM-DEA 模型定量測度2005—2016 年工業用水效率，并將灰色預測法與定額比較法相結合，對未來5 年工業節水潛力進行預測，研究工業經濟與水資源之間的相關關系。

灰色系統分析方法在信息不完整或不完全的情況下具有良好的適用性[14]，其中GM(1,1)模型常用于城市用水量預測。但是單一的灰色模型在預測過程中會受到不穩定因素影響，使預測結果與實際值偏差較大。利用灰色動態模型群構造多個單一灰色GM(1,1)，并求取平均值作為預測結果，可較好地彌補單一的灰色模型不穩定因素對預測結果影響的缺陷。筆者以衡水市為研究區域，首先基于原始數據建立灰色動態模型群對衡水市居民年用水量進行預測，然后對不符合精度的GM(1,1)模型進行殘差修正，應用修正后的灰色模型群對衡水市2020—2030年居民用水量進行預測，最后將殘差修正后的灰色模型群的預測相對誤差分別與5 個單一GM(1,1)模型的預測相對誤差進行比較分析，以檢驗模型性能，旨在為衡水市未來居民用水量預測提供準確可靠的手段。

1 灰色動態模型群構建

1.1 GM(1,1)模型原理

GM(1,1)模型是灰色系統理論中常用的模型，在水量預測方面應用較為廣泛。該模型是通過對原始數據進行累加，將累加后的計算結果通過1 個一階變量的微分方程計算出來，最后將模型計算值進行累減后得到預測值[15]，其建模過程如下。

對于一個初始的時間序列X(0)(k)為：

式中：X(0)(k)為非負級數的原始數據；n為數據個數；k為不同時間點的數據編號，k取1，2，···，n。

對X(0)(k)做累加，可以得到：

則GM(1,1)模型的微分方程如下：

式中a、u為待解系數，分別稱為發展系數和灰色作用量。a、u采用最小二乘法確定。

式中：B為累加生產矩陣；Y為數據向量。

灰色預測模型可以通過a和u得到：

將預測模型計算得到的結果通過累減，即可求得模型的預測值：

1.2 GM(1,1)動態模型群的建立

依據單個GM(1,1)模型的建模理論，規定GM(1,1)動態模型群建模采用的數據序列x(0)(k)的數據個數需要大于4 個。假設原始數據序列x(0)(k)中有n個數，含有原始數據系列中最后一位數的組合數為n-3，則可建立起n-3 個子模型組成的灰色預測模型[16-17]。

以X(0)(n-3)，X(0)(n-2)，X(0)(n-1)，X(0)(n)建立的第1 個模型為：

以X(0)(n-4)，X(0)(n-3)，X(0)(n-2)，X(0)(n-1)建立的第2 個模型為：

以X(0)(1)，X(0)(2)，···，X(0)(n)建立的第n-3 個模型為：

利用上述單一GM(1,1)模型分別進行預測，再以不同時間序列的各單一GM(1,1)模型預測結果的平均值作為各時刻的預測值。

1.3 灰色模型檢驗

針對建立的單一GM(1,1)模型，采用殘差檢驗的方法進行檢驗，根據各單一灰色GM(1,1)模型精度等級，確定灰色動態模型群的精度等級。采用殘差檢驗以及后驗差檢驗法來對建立的灰色預測模型進行精度檢驗[18]。

1.3.1灰色模型殘差檢驗

相對誤差(q)計算公式為：

1.3.2灰色模型后驗差檢驗法

通過灰色模型后驗差檢驗，可以檢驗灰色模型群中各單一GM(1,1)模型的擬合程度。

模型方差（S1）計算公式為：

模型殘差方差（S2）計算公式為：

模型后驗差比值（C）計算公式為：

模型的小誤差概率（P）計算公式為：

GM(1,1)模型精度由C、P2 項指標共同確定。其檢驗精度指示如表1 所示。當后驗差檢驗精度不合格時，可通過建立殘差模型來對原模型進行修正[19-21]。

表1 檢驗精度指示表Table 1 Check accuracy indicator

1.4 灰色模型殘差修正

灰色模型對數據樣本序列為非負，符合指數形式的變化規律且變化速度相對平緩，具有良好的預測效果，但是當原始數據樣本變化速度大或者波動較大的情況下，灰色模型的預測效果達不到理想狀態。因此需要建立殘差修正灰色模型以有效提高GM(1,1)模型預測精度。

依據1.1 節得到的原始數據x(0)(k)和預測值x?(0)(k)建立一階殘差序列：

以一階殘差序列建立GM(1,1)模型：

式中：E(0)(1)為一階殘差初始的時間序列；ae、ue為待解系數，分別稱為發展系數和灰色作用量，可用最小二乘法求得。

將一階殘差序列建立的GM(1,1)模型以及初始數據序列建立的GM(1,1)模型進行疊加，得到修正后模型：

將殘差修正模型計算得到的結果通過累減，即可求得模型的預測值

將殘差修正模型引入GM(1,1)模型，灰色模型增加了對預測結果準確度的評價，并對預測結果進行較為合適的修正，降低了因原始數據樣本變化速度大或者波動較大的情況下導致的誤差偏大，提高了灰色模型預測的合理性和預測精度[22-23]。灰色模型精度要求見表2。

表2 灰色模型精度要求Table 2 Grey model accuracy requirements

2 實例應用

2.1 研究區域概況

衡水市位于河北省東南部，地處河北沖積平原，地勢自西南向東北緩慢傾斜，總面積為8 815 km2。衡水市水資源嚴重匱乏，人均水資源量未達到河北省平均水平的40%。隨著衡水市社會經濟的快速發展、人民生活水平的不斷提高以及用水人數的增加，對水資源的需求量也越來越大，水資源矛盾日益凸顯。衡水市地表水已無法滿足當地的用水量需求，導致深層地下水超采嚴重，逐漸形成“冀棗衡”漏斗區。隨著漏斗中心水位的逐年下降，漏斗區的面積也在逐年擴大[24-25]。而未來隨著用水人數增長速度的加快，居民用水量預計會明顯增長。因此，對衡水市居民用水量進行合理預測，并為供水調度和水資源優化配置提供參考非常必要。根據《中國城市建設統計年鑒》[26]得到2007—2019 年居民年用水量數據，如表3 所示。

表3 2007—2019 年衡水市居民年用水量Table 3 Annual RWC in Hengshui City from 2007 to 2019 萬 m3

2.2 灰色動態模型群的建立與檢驗

利用2007—2014 年衡水市居民年用水量數據進行模型率定，建立5 個單一灰色預測模型：模型1采用2007—2014 年用水量數據；模型2 采用2008—2014 年用水量數據；模型3 采用2009—2014 年用水量數據；模型4 采用2010—2014 年用水量數據；模型5 采用2011—2014 年用水量數據。再利用所建立的灰色動態模型群對2015—2019 年用水量數據進行模擬預測，將預測值與實際數據進行對比[27]，并運用殘差法對模型進行精度檢驗，結果見表4。由表4 可看出，模型1～模型5 的精度等級均為合格以上，滿足模型建立的精度要求。

表4 GM(1,1)模型群及殘差檢驗Table 4 GM(1,1) model group and residual test

2.3 用水量預測灰色模型殘差修正及預測結果分析

根據表4 建立的灰色動態模型群對衡水市2015—2019 年居民年用水量進行預測，將預測結果與實際用水量進行比對，得到相對誤差和殘差（表5）。由表5 可知，衡水市2015—2019 年居民用水量的預測值和實際值相對誤差分別為-2.65%、-20.04%、-27.18%、-20.98%、-17.52%，2016—2018年誤差絕對值均大于20%，不符合灰色模型預測精度要求。因此，需要對該灰色動態模型群進行殘差修正。

表5 殘差修正前2015—2019 用水量預測值與實際值對比Table 5 Comparison of projected and actual water consumption data from 2015-2019 before residual correction

對5 個單一GM(1,1)模型分別以一階殘差序列建立GM(1,1)模型，得到修正預測模型（表6）。利用表6 模型對衡水市2015—2019 年居民年用水量進行預測，將殘差修正后的用水量預測值與實際值進行對比，結果如表7 所示。由表7 可知，殘差修正后的灰色動態模型群的預測相對誤差絕對值分別為7.17%、-11.98%、-19.72%、-12.96%、-9.43%，相對誤差均小于20%，符合灰色模型的中期預測相對誤差的范圍。殘差修正前后居民年用水量的預測值與實際值及相對誤差如圖1 所示。由圖1(b)可知，實際用水量趨勢與預測值趨勢大致相似且滿足精度要求。5 個單一灰色模型預測的相對誤差與灰色動態模型群預測的相對誤差如圖2 所示。由圖2 可知，2015—2019 年殘差修正后灰色動態模型群的預測相對誤差相比于單一灰色模型的預測相對誤差整體偏低。綜上可得，殘差修正后的灰色動態模型群對衡水市居民用水量預測更加準確合理。因此殘差修正后的灰色動態模型群具有良好的預測效果，可應用于未來衡水市居民用水量預測。

圖1 2015—2019 年衡水市居民年用水量預測值與實際值對比及相對誤差Fig.1 Comparison and relative error between predicted and actual annual RWC of Hengshui City from 2015 to 2019

圖2 2015—2019 年衡水市居民用水量灰色動態模型群誤差檢驗Fig.2 Error test of dynamic gray model group of RWC in Hengshui City from 2015 to 2019

表6 GM(1,1)殘差修正后預測模型群Table 6 GM(1,1) residual-corrected prediction model group

表7 殘差修正后2015—2019 用水量預測值與實際值對比Table 7 Comparison of predicted and actual water consumption data for 2015-2019 after residual correction

2.4 衡水市居民未來用水量趨勢預測分析

將表6 灰色動態模型群應用于衡水市2015—2030 年的年用水量預測，結果見表8，衡水市居民用水量變化趨勢見圖3。由表8 和圖3 可知，未來衡水市居民用水量將繼續保持增長趨勢，2020 年衡水市居民用水量預計增至1 795.44 萬m3，2030 年預計增至2 862.21 萬m3，這與衡水市居民生活水平的提高和用水人數的增長趨勢相符合。

圖3 衡水市居民用水量預測擬合效果及未來用水量預測Fig.3 Prediction and fitting effect and change trend of RWC in Hengshui City in the future

表8 衡水市居民年用水量預測結果Table 8 Projected annual water consumption of Hengshui residents 萬 m3

3 結論

（1）基于衡水市居民用水量數據建立灰色動態模型群，利用該模型群對衡水市2015—2019 年居民用水量進行預測，其相對誤差分別為7.17%、-11.98%、-19.72%、-12.96%、-9.43%，與單一灰色模型相比，灰色模型群的整體擬合程度更好，預測結果更精確，且降低了以往單一GM(1,1)模型建立過程中不穩定因素對預測結果的影響。

（2）應用建立的灰色模型群對2015—2019 年衡水市居民用水量進行預測并與實際值進行對比，發現預測值的相對誤差大于20%，不符合灰色模型預測精度。對5 個單一GM(1,1)模型進行殘差修正并建立了GM(1,1)殘差修正后預測模型群，預測值的相對誤差均小于20%，符合灰色模型預測精度。應用該模型群對衡水市未來10 年居民用水量進行預測，結果表明用水量呈上升趨勢，且當地居民用水量預計在2030 年達到2 862.21 萬m3。

（3）灰色模型在數據較多的情況下可以更穩定地預測居民用水量。該模型可用于其他與水有關的應用，如由于降水和季節變化引起的水位變化等。此外，該模型也可根據不同地區供水和用水數據的提供情況，對不同區域、不同用水類型及不同季節用水量進行預測。