把握度量本質，認識度量價值

董文彬

摘要：在分析教材的基礎上，由前測結果得到，《長方體的體積》一課的教學重在幫助學生把握度量本質，認識度量價值，從而發展度量意識。為此，需要引導學生利用體積單位（小正方體）度量長方體的體積，從而溝通體積與其他要素的聯系，得到長方體體積計算公式;還要引導學生比較長度、面積、體積的度量及計算（間接度量），建立小學數學圖形度量的知識結構。

關鍵詞：《長方體的體積》;度量本質;度量價值;度量意識;知識結構

一、教學思考

《長方體的體積》是小學數學“圖形與幾何”領域度量內容的核心課之一，也是學生在完成一維空間圖形長度度量和二維空間圖形面積度量的基礎上學習三維空間圖形體積度量的起始課，能為學生學習其他三維空間圖形體積的計算（間接度量）奠定基礎。

學習本節課之前，學生已經認識了體積和容積，建立了體積、容積的概念，理解了體積、容積的意義;同時，也認識了體積、容積的計量單位，會進行單位之間的換算，了解了1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的實際意義，發展了一定的量感。

對比人教、蘇教、北師大三版小學數學教材可以發現，本節課的重點是，借助體積單位（小正方體）擺拼，探索長方體體積的計算公式（經歷長方體體積計算公式的形成過程）。這能幫助學生進一步認識度量的本質是計量單位的累加，感受度量方法在計算公式推導中的作用。

課前，筆者對自己執教的兩個平行班的學生做了前測。

對于“你認為長方體的體積與什么有關”，702%的學生認為與長、寬、高有關（追訪發現，這部分學生中，有500%是利用長方體體積計算公式解釋的，有333%是舉例解釋的，比如，紙摞起來，高變，體積就變）;135%的學生認為與所占空間的大小有關，而沒有涉及長方體的要素;163%的學生認為與面有關（追訪發現，這部分學生中，有333%認為與底面積有關，有667%認為與表面積有關，比如，表面積大，六個面就大，圍起來構成的空間也大）。可見，多數學生對長方體的三個維度有一定的感知，能自覺地關聯。

對于“長方體的體積怎么計算？說說道理”，89.2%的學生知道長方體體積計算公式，其中，833%的學生說不清楚道理，167%的學生利用“長乘寬是底面積，再乘高就是有多少個底面積”解釋;108%的學生不知道怎么計算。可見，雖然大部分學生知道長方體體積計算公式，但是幾乎沒有學生能夠正確解釋。

由前測結果可知，學生雖然有過一維長度和二維面積的度量經驗，而且學過體積的計量單位，但是依然不能很好地把握度量本質、認識度量價值，因而依然缺乏度量意識，不能在三維體積的度量情境中遷移上位的度量思想（所以不理解公式背后的道理）。因此，本節課的教學，重在幫助學生把握度量本質，認識度量價值，從而發展度量意識。為此，需要引導學生利用體積單位（小正方體）度量長方體的體積，從而溝通體積與其他要素的聯系，得到長方體體積計算公式;還要引導學生比較長度、面積、體積的度量及計算（間接度量），建立小學數學圖形度量的知識結構。

二、教學實踐

（一）了解已有知識，提出探究問題

師今天我們一起來學習長方體的體積。對于長方體的體積，你都有哪些了解？

生長方體的體積就是長方體所占空間的大小。

生長方體的體積可以通過長乘寬乘高來計算。

師長乘寬乘高可以計算出長方體的體積，這個方法你們都知道嗎？

（大部分學生舉起了手。）

師你們都已經知道怎么計算長方體的體積了，那你們這節課還想知道些什么？或者還想研究些什么？

生為什么長方體的體積可以用長乘寬乘高來計算？

生長方體的體積等于長乘寬乘高，背后的道理是什么？

師你們提出的其實是同一個問題。這個問題很有價值，也很有挑戰性。下面，我們就來探索解決這個問題。

[設計意圖：開門見山，揭示主題。了解學生的已有知識后，引導學生提出有價值、有挑戰性的問題，引發本節課的數學探究。]

（二）估測氣球的體積，激活體積度量經驗

師（拿出一個未吹氣的氣球）請你根據經驗，估一估這個氣球的體積大約是多大，說一說你是怎么估的。

生我估計它的體積大約有2立方厘米，因為這個氣球是癟的，把它團在一起，大約有2粒花生米那么大。

生我估測它的體積應該有3立方厘米，我的想法也是想象把它揉在一起，但我感覺它應該有3個1立方厘米的小正方體那么大。

（教師請一名學生給氣球吹氣。）

師現在它的體積大約是多大呢？

生我猜現在它的體積有1立方分米，大約是1個粉筆盒那么大。

（教師請學生繼續給氣球吹氣。）

師現在它的體積大約又是多大呢？

生現在它的體積應該是2立方分米，大約有2個粉筆盒那么大。

生我覺得應該有2.5立方分米，用1立方分米的正方體模型做比對，現在氣球應該有2個半模型那么大。

師無論前面估的幾立方厘米，還是后面估的幾立方分米，實際上都是在用這個氣球和1立方厘米或1立方分米的體積單位進行比較，有多少個1立方厘米（分米），它的體積就是多少立方厘米（分米）。

[設計意圖：在估計氣球這樣不規則物體體積的過程中，學生借助1立方厘米、1立方分米的正方體做參照，發展了量感;同時，回顧體積和體積單位知識，激活體積度量經驗，為后面的研究做鋪墊。]

（三）實測長方體紙盒的體積，探索體積計算公式

師（出示大約250毫升牛奶盒大小的長方體紙盒）它的體積大約是多少呢？每個小組有一個塑料筐，里面有若干1立方厘米的小正方體。你覺得多少個小正方體能表示出這個長方體紙盒的體積，就抓出多少個小正方體。

（學生估測長方體紙盒的體積，根據估測結果抓取大致數量的小正方體。）

師估測得到的結果總是不夠準確，不能讓人信服。這回我們來實測一下。小組分工合作，共同完成任務：用筐里的小正方體表示長方體紙盒的體積（紙盒的厚度忽略不計）。

（學生小組操作、測量后，全班展示、交流。）

生（組1代表展示擺拼結果，如圖1所示）我們用小正方體比對著長方體紙盒擺拼出和它一樣大的長方體，數出小正方體（也就是體積單位）的個數是240：一層是10×6=60（個），總共擺了4層，總數就是60×4=240（個）。因為每個小正方體是1立方厘米，所以我們認為，長方體紙盒的體積是240立方厘米。大家同意我們的想法嗎？

生（組2代表）我們的最終結果和你們一樣，也是240立方厘米，但是，我們表示這個長方體體積的過程和你們不太一樣。

師有新的表示方法！快和大家分享一下。

生（組2代表展示擺拼結果，如圖2所示）我們是這樣表示的。我們先在紙盒里擺滿一層，擺這層的時候，先沿著長方體的長擺一行，是10個，然后共擺了這樣的6行，這樣底下這一層就是10×6=60（個）。我們接著往上擺，擺著擺著，我們發現，用不著全擺滿，因為這個紙盒正好能擺這樣的4層，一層擺60個，4層就是60×4=240（個）。所以，長方體紙盒的體積就是240立方厘米。大家有什么問題嗎？

生（組3代表）我們贊成你們的方法，其實我們組跟你們組差不多，也是不全擺滿。（展示擺拼結果，如圖3所示）我們組擺完是這樣的，列式計算是10×6×4=240（個）。大家能看懂我們的方法嗎？

生我看懂了。其實，你們兩個組表示的方法基本上是一樣的，都沒擺滿。因為擺出一部分之后就用不著再擺下去，能算出體積單位的個數了。這樣省了很多力氣！

生（組4代表）我們組也沒有全擺滿。（展示擺拼結果，如圖4所示）我們是這樣擺的：也先在盒子底部擺滿一層，是10×6=60（個），然后直接在盒子的拐角處往上連續擺3個。這樣就能計算出擺滿時小正方體的總數是60×4=240（個），所以體積就是240立方厘米。

生我覺得，你們組和前面兩個組的表示方法差不多，但是你們組擺得更加清楚：擺滿一層之后再連續擺3個，其他多余的一個都不用擺，就完全能說明這個長方體紙盒能擺這樣的4層，就可以計算出小正方體的總數了。

生他們只擺出底面一層和高的個數，就可以算出體積單位的總數了。這既簡便，又清楚！

（學生自發鼓掌。）

生（組5代表）我們組還有更簡便的表示方法。

師快來和大家交流一下！

生（組5代表展示擺拼結果，如圖5所示）我們組是這樣表示的。我們不解釋，大家能看懂嗎？

生我看懂了，他們組只擺出長、寬、高的個數，這樣就可以計算出體積單位的總數了：10×6×4=240（個）。

生只要分別沿著長方體盒子的長、寬、高擺小正方體就可以了。沿長擺10個，沿寬擺6個，就能算出一層是10×6=60（個）;沿高擺4個，就表示一共能擺4層，總數就是60×4=240（個）。他們這樣表示確實更簡便！

（學生自發鼓掌。）

師剛剛我們一起交流了這么多種用小正方體擺拼表示長方體紙盒體積的方法。縱觀這五種方法，你發現了什么？不同表示方法的背后有沒有共同之處？

生我發現，都是擺放作為體積單位的小正方體來表示長方體紙盒的體積的。

生雖然表示方法不同，但是最終通過計算得出用到的小正方體個數都是240，說明長方體的體積就是240立方厘米。

生我發現，這幾種表示方法在計算小正方體總數時的算式都是10×6×4=240（個），都是用長方體的長乘寬乘高。

師哎？還真是如此！那么大家認真想一想：為什么會這樣呢？為什么用長乘寬乘高就能得到小正方體的總數，也就是長方體的體積呢？長方體的長、寬、高與小正方體的總數之間是不是存在著一定的關系？是什么關系呢？

生我知道了！（指著組1的擺拼結果）大家看啊，長方體的長對應的是這一行的個數，長方體的寬就是這一層的行數，那么長方體的長乘寬就是這一層中一行的個數乘行數，也就算出了一層的個數;長方體的高就是層數，用一層的個數乘層數，對應的就是長乘寬之后再乘高，計算得出的就是小正方體的總數，也就是這個長方體的體積。

生小正方體擺拼的行、列和層，也就是一行的個數、行數和層數，對應的分別就是長方體的長、寬和高，它們相乘就能得出小正方體的總數，也就是長方體的體積。

師你們理解得很透徹！現在大家假想一下：如果不用這些1立方厘米的小正方體擺拼表示，你能直接算出這個長方體的體積嗎？

生能，只要知道長方體的長、寬、高，相乘就可以了。長、寬、高分別是10厘米、6厘米和4厘米，那么體積就是10×6×4=240（立方厘米）。

生我終于明白長方體的體積公式為什么是長乘寬乘高了！長、寬、高在這里都有各自的含義，也就是分別對應著一行的個數、行數和層數，三者相乘是為了計算出作為體積單位的小正方體的總數，也就是長方體的體積。

師（課件出示圖6）這么容易就能算出長方體的體積，那我們還利用小正方體體積單位又擺又拼又數的，有用嗎？

生有用，數體積單位的個數這種方法還可以用來測量形狀不規則的物體的體積。

生數體積單位的個數是最基本的體積測量方法，是體積計算公式的基礎。我們不能因為有了簡單的公式，就忘了基本的方法，還有很多情況是沒有簡單的公式的，而可以用基本的方法。

師你們說得真好！我們已經獲得了長方體體積的計算公式，那么正方體的體積又該怎么計算呢？

……

師你能用字母簡化表示這兩個公式嗎？

……

師你們很善于推理，還很很好的符號意識，真了不起！

[設計意圖：將學生帶回度量認知的原點，讓學生用體積單位（小正方體）表示長方體的體積，經歷擺拼、數算體積單位的過程，發現長方體體積計算公式實際上就是數算體積單位的結果，幫助學生把握度量本質，認識度量價值，從而發展度量意識。]

（四）比較多維度量，建立知識結構

師（課件演示長度、面積、體積的度量及計算過程，定格于圖7）從一維長度到二維面積再到三維體積，你對圖形的度量及計算有了哪些新的認識？

生我發現，從長度測量到面積測量再到體積測量，它們都有各自的單位。

生我發現，測量的過程都是在數單位的個數，面積公式、體積公式都是在計算單位的個數;有多少個相應的單位，長度、面積、體積就分別是多少。

[設計意圖：從長度到面積再到體積，在比較中，幫助學生進一步把握度量本質，認識度量價值，整體建立小學數學圖形度量的知識結構。]