基于主成分-逐步回歸的大跨彎連續剛構橋沖擊系數計算

韓智強，左新黛，周勇軍，劉世忠，晉民杰

(1. 太原科技大學 交通與物流學院，山西 太原 030024；2. 交通運輸部公路科學研究院，北京 100088；3. 長安大學 公路大型結構安全教育部工程研究中心，陜西 西安 710064)

0 引言

1 沖擊系數計算方法

1.1 理論法

車輛荷載作用橋梁結構產生動態響應[9]，為簡化計算，通常采用沖擊系數加以分析：

μ=1-Ydmax/Yjmax,

(1)

式中，Ydmax為車輛過橋時，橋梁動態響應的最大值；Yjmax為橋梁對應位置的靜力效應最大。

圖1 移動荷載下橋梁沖擊系數計算示意圖Fig.1 Schematic diagram of bridge impact coefficient under moving loads

1.2 規范法

中國公路橋涵通用規范[10](JTG D60—2015)：沖擊系數與結構基頻f的函數表達式為：

(2)

式中f為橋梁結構的基頻。

2 車橋耦合振動基本理論

2.1 車-橋耦合基本假定[11]

(1)橋梁的結構剛度和質量特性應均勻分配橋跨長度范圍內。

(2)忽略梁橫截面的變形。

(3)橋梁的阻尼采用瑞利阻尼。

2.2 車輛振動方程建立

本研究采用3軸5自由度平面車輛模型，其計算圖示如圖2所示。

圖2 3軸5自由度車輛模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of 3-axle 5-DOF vehicle model

圖中，Mc為車體質量;z為車輛豎向位移;α為車輛橫軸旋轉的自由度;m1，m2，m3為車輛懸架和車輪等效質量；z1，z2，z3為車輛懸架和車輪等效質量的豎向位移;z′1，z′2，z′3為支承車體點的豎向位移。

車輛的待求未知位移向量為：

ZV=[z1z2z3z′1z′2z′3]。

(2)

i=1,2,3。

(3)

由幾何關系可得：

Z=β3z′1+(β2+β1)z′3，

z′2=(β2+β3)z′1+β1z′3，

α=(z′3-z′1)/lu。

(4)

由廣義虛功原理得：

(5)

將公式(3)、(4)代入公式(5)，整理后，如式(6)所示：

(6)

式中，[Mv]為車體質量矩陣；[Cv]為車體阻尼矩陣；[Kv]為車體剛度矩陣；{Fbv}為車橋耦合荷載向量；{Gv}為重力荷載向量。

(7)

2.3 橋梁動力平衡方程建立

同理，可建立橋梁結構動力平衡方程：

(8)

2.4 橋面不平整度

橋面不平整度，又稱橋面粗糙度，表征橋面惡化程度的指標。在實際工程中，由于橋面不平整度的影響，使得車橋振動較為明顯，過大的振動會降低乘車人舒適性。因此，在進行車橋耦合分析時，應考慮該因素的影響。本研究根據三角級數疊加法[12]進行模擬，其公式如(9)所示：

(9)

式中，R(x)為橋面不平整度樣本點；N為采樣頻段數；θk為服從[0,2π]均勻分布的隨機相位角；S(Ωk)為功率譜密度函數；Ωk為車輛空間頻率；ΔΩ-Ωk為間隔帶寬[14]；

通過調研，我國橋面不平整度大部分處于A～C級，因此，本研究模擬生成3種橋面不平整度曲線,如圖3所示。

圖3 A，B和C級橋面不平整度曲線Fig.3 Curves of deck roughness of level A, level B and level C

2.5 結構動力響應求解

基于分離迭代法原理，采用Matlab編譯車橋耦合分析模塊，實現車輛過橋振動響應分析。

2.5.1 位移聯系方程建立

假設車輪在運動時始終與橋面保持接觸，則車輪位移可通過橋梁的相對位移表示[13]，如圖4所示：

Δyi=yi-wi-ri,

(10)

式中，yi為輪胎由平衡位置對應豎向位移；ri為車輪作用點處的不平整度豎向坐標；wi為輪胎作用下橋梁瞬時豎向變位；Δyi為車輛軸懸掛彈簧與輪胎豎向變形的相對豎向位移。

圖4 輪橋接觸點的位移關系Fig.4 Displacement relation at wheel-bridge contact position

2.5.2 車橋相互作用

將車輛和橋梁視作兩個分離體系，二者之間耦合作用通過輪胎與橋面間的相互作用聯系。其相互作用力為：

(11)

式中，kti為第i個輪胎的剛度系數；ctj為第i個輪胎的阻尼系數。

3 主成分-逐步回歸基本原理

3.1 主成分分析

在大跨連續剛構橋動力特性的敏感參數分析時，由于車橋耦合作用受多種因素的共同作用，在計算分析時，如果采用較多參數進行分析，會使得計算過程較為繁瑣，且變量間的多重相關性會影響估計結果，造成模型的誤差增大。

主成分分析將多指標參數進行降維處理[14]，采用幾個變量來替代多個變量的統計方法。

(1)主成分標準化

在對建立模型進行主成分分析時，考慮多個變量間存在不同數量級和單位，在進行相互比較時，為消除量綱對計算模型的影響，需要提前對相關變量進行標準化變換。

(12)

經標準化后的樣本矩陣均為無量綱矩陣，且每個列向量的均值為0，標準差為1。

(2)求解特征值λi和特征向量ej

特征方程通常采用雅可比法(Jacobi)求解特征值λi，并根據特征值的大小進行排列，其中當λ1≥λ2≥…≥λp>0時，相應正則化特征向量為：

ej=|l1jl2j…lpj|′，j=1, 2，…,p。

(13)

(3)主成分方差貢獻率的確定

在實際工程中，主要通過方差貢獻率的累積量確定主成分的個數。其中λi的方差貢獻率可通過式(14)求解。

(14)

式中，αi為代表第i個因素的方差貢獻率；α(m)為前m個因素的方差累計貢獻率。

由式(14)可知：主成分的方差貢獻率越大，表明該主成分保留因變量的信息能力越強，如果前m(m≤p)個主成分的累計值達到一定數值(本研究取方差累計貢獻率Ti≥90%)，表明這m個主成分涵蓋了樣本的絕大部分信息，則這m個主成分可作為因變量分析的主要敏感參數。

3.2 逐步回歸分析

當沖擊系數受m個因素影響時，可通過多元線性方程來描述，其關系式為：

(15)

逐步回歸[15]是一種雙向篩選法，其本質屬于前進法，即變量從少到多引入時，采用最小二乘法建立多元回規方程，基于偏回歸平方和F檢驗,判斷方程是否顯著，剔除其中不顯著的影響因素，其主要步驟如下：

(1)對主成分分析中的相關自變量進行回歸分析，分別計算因變量與自變量間樣本點的擬合度R2。

(2)對各個自變量所對應的R2進行排序。

(3)選取最大值R2變量Ai建立回歸模型，計算R1，F1。

(4)選取排序第二R2的變量Aj的回歸模型,計算R2，F2。

若R1

(5)重復步驟(4)，進行下一個變量篩選，直到所有主成分變量都篩選后，結束計算。

圖5 技術路線圖Fig.5 Technology route

4 敏感參數下大跨彎連續剛構橋沖擊系數分析

4.1 工程簡介

本研究以某高墩大跨連續彎剛構橋為工程背景，橋梁全長239 m，跨徑組合 (65+108+65) m，上部結構采用單箱單室截面，曲率半徑R=960 m，下部結構采用薄壁空心墩，墩高60 m，主梁采用C50混凝土，橋墩采用C40混凝土[11]，其相關尺寸和仿真模型如圖6～7所示。

圖6 連續剛構橋總體布置(單位：cm)Fig.6 General arrangement continuous rigid frame bridge (unit：cm)

圖7 橋梁仿真示意圖(單位：cm)Fig.7 Schematic diagram of bridge simulation(unit：cm)

4.2 敏感參數主成分分析

根據相關學者的研究[16-17]，本研究選取了橋面不平整度、曲率半徑、橋墩高度、行車速度、車輛重量作為大跨彎連續剛構橋車橋耦合分析的敏感參數。為簡化計算，本研究對5個敏感參數進行主成份分析，確定其相對重要的敏感參數，見表1。

表1 車橋耦合敏感參數影響因素Tab.1 Influencing factors of vehicle-bridge coupling sensitive parameters

4.2.1 敏感參數降維分析

在敏感參數降維分析時，采用德爾菲法對敏感參數進行評估，具體步驟如下:

(1) 確定調研主旨和目的，設計敏感參數調查問卷。

(2) 選取在車橋耦合方面有較為豐富科研或工程經驗的專家。

(3) 發放調查問卷，并與專家建立函詢工作，搜集相關結果。

(4) 對結果進行統計匯總，并將計算結果進行主成分降維分析。

(5) 搜集原始資料

按照敏感因素對車橋耦合沖擊系數的影響程度劃分10個等級，使用0～10進行評分，見表2所示。

表2 影響因素評分劃分Tab.2 Score division of influencing factors

向上述專家進行問卷調查共計40人，回收篩選出有效樣本36份，進一步整理數據，得到待評價矩陣{Aij}n×k，其中k為評價因素，即k=5,n為有效樣本。

4.2.2 敏感參數主成分分析

采用SPSS22.0進行數據處理，得到相關系數矩陣R特性值，方差貢獻率和累計方程貢獻率，如表3所示。

表3 R的特征值、方差貢獻率、累計方差貢獻率Tab.3 Eigenvalues, variance contribution rates and cumulative variance contribution rates of R

通過表3可知，特征值大于1的主成分個數g=3，此時方差累計貢獻率為95.852%，超過了主成分分析的90%，即涵蓋了大部分信息，這表明前3個指標能代表5個指標來分析大跨彎連續剛構橋沖擊系數變化情況，通過文獻[18]可知，車速對于橋梁位移、彎矩和扭矩沖擊系數的影響幅度不大，驗證了降維方法的正確性，因此，本研究后續對前3個指標進行敏感性分析。

4.3 敏感參數下橋梁動力時程曲線

大跨彎連續剛構橋沖擊系數受多個敏感參數共同作用。本研究通過擬定，曲率半徑取值為250，500，750和960 m；墩高取值為60，80和100 m；路面不平整度等級取值為A， B和C級。求解橋梁關鍵截面的撓度、彎矩、扭矩的時程曲線，如圖8所示，其中車輛的基本參數如表4所示。

圖8 橋梁關鍵截面時程曲線Fig.8 Time-history curves of key sections of bridge

4.4 大跨彎連續剛構橋沖擊系數回歸分析4.4.1 關鍵截面沖擊系數最大值確定

通過公式(1)計算各個關鍵截面處撓度、彎矩和扭矩沖擊系數，從中找出撓度，彎矩和扭矩沖擊系數最大值，如圖9所示。

4.4.2 橋梁沖擊系數回歸分析

通過采用SPSS22.0對圖9中相關數據進行線性逐步回歸分析，得出各個敏感參數對沖擊系數的貢

表4 車輛技術參數 [19]Tab.4 Technical parameters of vehicles

圖9 大跨連續剛構橋最不利截面沖擊系數最大值Fig.9 Maximum impact coefficient of key section

獻性大小，結果如表5所示。

由表5可知：

(1)檢驗回歸系數全部為0，小于sig顯著性分析界限值0.05，表明自變量參數與因變量參數的線性相關性較好，模型1撓度沖擊系數分析時，主要取邊跨跨中截面和中跨跨中截面處撓度沖擊系數的最大值作為因變量，其因變量受橋面不平整度、墩高的影響性較為顯著，而曲率半徑對其影響相對較小，可忽略該因素的影響；模型2彎矩沖擊系數主要考慮跨中截面正彎矩和支點負彎矩的最大值作為因變量，其值受橋面不平整度的影響較為顯著，墩高和曲率半徑對其影響相對較小，可忽略不計；模型3扭矩沖擊系數分析時，其因變量受橋面不平整

表5 系數分析表[12]Tab.5 Coefficient analysis table

度和曲率半徑的影響較大，而墩高影響較小，可忽略不計。

(2)撓度、彎矩和扭矩沖擊系數的回歸公式相關系數R均在0.94以上，表明該回歸公式相關性較好；且各回歸公式均與橋面不平整度正相關，其標準化相關系數Beta均在0.9以上，表明該因素對大跨彎連續剛構橋沖擊系數的影響很大，而現有規范未考慮該因素的影響，建議后續規范修訂中考慮該因素的影響。

5 結論

(1)采用ANSYS軟件建立橋梁模型，通過Matlab軟件編譯車橋耦合分析模塊，基于位移協調方程構建車橋耦合分析模型。

(2)采用主成分-逐步回歸分析方法去確定橋面不平整度、曲率半徑和墩高作為橋梁沖擊系數分析的主要敏感參數，其方差累計貢獻率達到95%，并通過SPSS22.0進行逐步回歸，確定了橋梁撓度、彎矩和扭矩沖擊系數的計算公式。

(3)沖擊系數回歸公式相關系數R均在0.94以上，表明該回歸公式相關性較好，且各個公式中橋面不平整度標準化相關系數Beta均在0.9以上，表明該因素對大跨彎連續剛構橋沖擊系數的影響很大，而現有規范未考慮該因素的影響，建議后續規范修訂中考慮該因素的影響。